Lectures part2
.pdf
|
|
|
|
|
- 41 - |
|
Тема №20. Статически неопределимые (неразрезные) балки |
||||||
|
Особенности опирания статически неопределимых балок |
|||||
Будем рассматривать балки, не имеющие шарниров, разрывающих ось |
||||||
балки. Такой шарнир есть, например, у балки на рис. 18.5. Проанализируем, ка- |
||||||
A |
|
|
|
|
B |
кие опоры могут быть у такой балки. |
|
|
|
|
Нет смысла рассматривать защемле- |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
i |
|
s |
ние внутри балки, оно разбивает |
|
балку на две независимые. Тогда |
|||||
|
Рис. 20.1 |
|
|
|
внутри балки могут быть только |
|
A |
|
|
|
|
B |
шарнирно подвижные и шарнирно |
|
|
|
|
|
|
неподвижные опоры (рис. 20.1). |
1 |
2 |
3 |
i |
|
s |
Горизонтальная связь шарнир- |
|
но неподвижной опоры влияет только |
|||||
|
Рис. 20.2 |
|
|
|
||
A |
|
|
|
на задачу растяжения-сжатия стержня, |
||
|
|
|
|
B |
||
|
|
|
|
а задачи растяжения-сжатия и изгиба |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для стержней в силу принятых гипо- |
|
Рис. 20.3 |
|
|
|
тез не связаны. Так что если решается |
|
A |
|
|
|
|
B |
задача изгиба, то горизонтальную |
|
|
|
|
|
|
связь можно не учитывать, и тогда |
1 |
2 |
3 |
i |
|
s |
в задаче изгиба все опоры внутри |
|
балки можно считать шарнирно под- |
|||||
|
Рис. 20.4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
вижными (рис. 20.2). |
||
|
q |
|
|
|
|
|
A |
|
M |
|
B |
Если опор больше двух, то |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
балка в задаче изгиба будет статиче- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ски неопределимой. Статически не- |
1 |
2 P1 |
3 |
i |
|
s |
определимые балки, не имеющие |
|
Рис. 20.5 |
|
|
|
шарниров, разрывающих ось балки, |
|
|
|
|
|
называются неразрезными балками. |
||
M1 |
M2 q M3 |
Mi |
|
MS |
||
M |
Задача растяжения-сжатия такой бал- |
|||||
A |
|
|
|
B |
ки также может быть статически не- |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
определимой, если горизонтальных |
1 |
2 P1 |
3 |
i |
|
s |
связей на балку наложено больше |
|
одной, как в случае на рис. 20.1. |
|||||
|
Рис. 20.6 |
|
|
|
Однако на краю неразрезной |
|
балки может стоять не шарнирно подвижная опора, а защемление (рис. 20.3) |
||||||
или же вообще может не стоять никаких опор. За крайнюю опору может высту- |
||||||
пать консольная часть балки (рис. 20.3). Возможно и защемление по обоим |
||||||
- 42 -
концам балки или консоль по обоим её концам. Эти особые случаи на краю балки рассмотрим отдельно несколько позже, а пока будем считать, что нераз- резная балка соответствует рис. 20.2.
Поскольку задача растяжения-сжатия сейчас не рассматривается, то у балки как у твёрдого тела остаются только две степени свободы: вертикальное перемещение и поворот. Замкнутых контуров и внутренних шарниров у нераз- резной балки быть не может, степень статической неопределимости задачи её
изгиба определяется поэтому формулой
s = R − 2 . (20.1)
Степень статической неопределимости оказывается равной числу промежуточ- ных опор, которые на рис. 20.2 пронумерованы от 1 до s.
Вывод уравнения трёх моментов для неразрезной балки
Как уже говорилось, у неразрезной балки есть оптимальная основная система, значительно снижающая трудоёмкость расчёта. Вместо внешних связей при выборе основной системы в данном случае лучше удалять внут- ренние связи по углу поворота, рассматривая в качестве основной системы разрезную балку (рис. 20.4), пролёты которой стыкуются через шарнир над опорой. Шарнир, соединяющий пролёты, становится простым внутренним шарниром конструкции, поэтому каждый такой шарнир удаляет одну внут- реннюю связь. Число этих шарниров равно числу промежуточных опор, т.е. степени статической неопределимости исходной конструкции, поэтому для
разрезной балки получаем |
|
s = R − 2 − Ш = 0 . |
(20.2) |
Из рис. 20.4, видно, что разрезная балка в задаче изгиба по сути представляет собой совокупность балок-пролётов, независимо воспринимающих изгибную нагрузку. Каждая такая балка-пролёт геометрически неизменяема. Поэтому разрезная балка является основной системой для неразрезной.
Пусть на балку для примера действует нагрузка балки на рис. 19.10, в которой, однако, будем учитывать только изгибную составляющую P1 силы
P (рис. 20.5). При получении эквивалентной системы (рис. 20.6) к основной системе (рис. 20.4) прикладываем силовые факторы от отброшенных внут- ренних связей. Это будут, очевидно, пары одинаковых моментов в сечениях над опорами. Они будут неизвестными в канонической системе уравнений. Поскольку это моменты, вместо обычного обозначения Xi используем для них обозначение Mi , т.е. Xi = Mi . Кроме них к основной системе надо при-
ложить нагрузку исходной конструкции. Канонические уравнения при таком выборе основной системы означают, что суммарный взаимный поворот по-
- 43 -
перечных сечений над каждой из опор от всех силовых факторов должен быть равен нулю. Каноническое уравнение для произвольного шарнира (опо- ры) с номером i имеет вид
|
|
|
|
|
δi1M1 + δi2M2 + ... + δiS M S + |
iP = 0 . |
(20.3) |
|||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
В соответствии с общей процедурой ме- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
||||||||||||||
|
|
Rпр |
Mi =1 |
Mi =1 |
|
|
Rпс |
тода сил следует найти эпюры Mi (x) от |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
моментов Mi =1 и эпюру от внешней на- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
грузки исходной конструкции в основной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
xпр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xпc |
|
|
xп*c |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
системе M P (x). |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lпр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим произвольную |
опору с |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пc |
|
|
|
|
|
|
|
|
номером i (рис. 20.7), в сечениях около ко- |
||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|||||||
Эп. Mi (x) |
Mi =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
торой приложены единичные моменты Mi . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты на участках будем измерять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так, как указано на рисунке. Длину преды- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 20.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
дущего пролёта балки, координаты на этом |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пролёте и другие величины пометим индек- |
||||||||||
сом «пр», те же величины последующего пролёта индексом «пс». Опорная реакция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
от единичного нагружения определяется из уравнения |
||||
на предыдущей опоре Rпр |
|
|||||||||||||||
равновесия предыдущего пролёта относительно i-го шарнира: |
|
|||||||||||||||
åMi |
= 0 = |
~ |
− |
~ |
|
|
|
|
(20.4) |
|||||||
Mi |
Rпрlпр , |
|
|
|||||||||||||
откуда |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
M |
i |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(20.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
пр |
|
lпр |
|
|
lпр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя метод сечений, получаем эпюру моментов на предыдущем |
||||||||||||||||
участке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
xпр |
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x)= |
|
|
|
= |
M |
i |
x = |
|
|
||||||
M |
пр |
R |
|
x |
|
|
|
. |
(20.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
пр пр |
|
|
|
|
пр |
lпр |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lпр |
|
|
|||
Полностью аналогично получается соотношение для последующего участка
с помощью координаты противоположного направления x* |
, которое легко пе- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, поскольку x* |
|
= l |
|
− x |
пc |
|
|
||||||
реписать и с помощью x |
|
|
|
: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
пc |
|
|
|
|
|
|
|
пc |
пc |
пc |
|
|
|
||
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
x |
* |
|
l |
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
i |
|
пc |
|
пc |
|
пc |
|
|
|
|
||||||
M |
пc |
(x)= R |
x* |
= |
|
x* = |
|
= |
|
|
|
. |
|
|
(20.7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
пс |
пc |
|
lпc |
|
пc |
lпc |
|
|
lпc |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|||||||
Две эпюры на предыдущем и последующем участках Mпр (x) |
и Mпc (x) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
образуют всю эпюру Mi (x) от единичного нагружения моментом Mi . Шарни-
ры не позволяют распространяться внутренним моментам на другие пролёты разрезной балки.
|
|
|
|
|
- 44 - |
|
|
|
|
|
На рис. 20.8 изображён примерный вид эпюр, необходимых для решения |
||||||||||
данной статически неопределимой задачи. Эпюры от единичных моментов ис- |
||||||||||
q |
|
|
M |
|
пользуются |
для вычисления коэф- |
||||
|
|
|
фициентов |
левой |
части канониче- |
|||||
A |
|
|
B |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ских уравнений. Поскольку каждая |
||||
1 |
2 P1 |
3 |
i |
|
i +1 |
из этих эпюр не распространяется на |
||||
|
всю |
балку, |
среди |
коэффициентов |
||||||
~ |
~ |
|
|
|
|
левой части, как видно из интеграла |
||||
Эп. Mi−2(x) |
= 1 |
|
|
|
||||||
|
Mi−2 |
|
|
|
Мора (19.14), многие окажутся нуле- |
|||||
|
|
|
|
|
|
выми. |
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
Отличными от нуля и всегда |
|||
Эп. Mi−1(x) |
|
Mi−1 |
= 1 |
|
положительными |
будут диагональ- |
||||
|
|
|
|
|
|
ные коэффициенты |
δii (i = k ), когда |
|||
~ |
|
|
|
~ |
|
под |
интегралом происходит умно- |
|||
|
|
|
=1 |
|
|
~ |
(x) |
саму на себя, |
||
Эп. Mi (x) |
|
|
|
Mi |
жение эпюры Mi |
|||||
|
|
|
|
|
|
т.е. возведение |
~ |
|
||
|
|
|
|
|
|
Mi (x) в квадрат. |
||||
~ |
|
|
|
|
~ |
При вычислении диагональных ко- |
||||
Эп. Mi+1(x) |
|
|
|
|
Mi+1 =1 |
эффициентов δii интеграл Мора бу- |
||||
|
|
|
|
|
|
дет отличным от нуля на двух про- |
||||
Эп. M P (x) |
|
|
|
|
|
лётах, на которых отлична от нуля |
||||
|
|
|
|
|
эта эпюра. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Всего один общий пролёт есть |
|||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
и |
~ |
|
|
|
|
|
|
у эпюр Mi−1(x) |
Mi (x), а также |
|||
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
поэтому коэффи- |
|
|
Рис. 20.8 |
|
|
|
Mi (x) и Mi+1(x), |
|||||
|
|
|
|
циенты δi i −1 и δi i+1 |
получатся нену- |
|||||
|
|
~ |
|
(x) |
~ |
|||||
левыми. У эпюр же Mi−2 |
и Mi (x) нет общих пролётов, поэтому интеграл |
|||||||||
Мора даст нулевое значение коэффициента δi i −2 . Нулевыми будут и все другие |
||||||||||
коэффициенты i-й строки матрицы коэффициентов левой части. В результате |
||||||||||
эта матрица оказывается ленточной, трёхдиагональной (20.8). Существуют спе- |
||||||||||
циальные экономичные алгоритмы решения систем линейных алгебраических |
||||||||||
уравнений с такой матрицей коэффициентов левой части. Ленточная структура |
||||||||||
матрицы получена вследствие выбора особой основной системы. Однако ещё |
||||||||||
более важное достоинство выбранной основной системы заключается в том, что |
||||||||||
однотипные единичные эпюры позволяют вычислить интегралы в общем виде |
||||||||||
и записать типовое каноническое уравнение с готовыми простыми формулами |
||||||||||
(без интегралов) для коэффициентов левой части: |
|
|
|
|||||||
éd |
d |
|
|
|
- 45 - |
|
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
... |
|
0 |
ù |
|
||||
ê |
11 |
12 |
d23 |
0 |
0 |
0 |
|
... |
|
0 |
ú |
|
|
êd21 |
d22 |
|
|
ú |
|
||||||||
ê |
0 |
d32 |
d33 |
d34 |
0 |
0 |
|
... |
|
0 |
ú |
|
|
ê |
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
... |
|
... |
ú |
|
|
ê ... |
|
|
ú |
(20.8) |
|||||||||
ê |
0 |
0 |
0 |
di i−1 dii |
di i+1 |
|
0 |
|
0 |
ú |
|||
|
|
|
|||||||||||
ê |
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
... |
|
... |
ú |
|
|
ê ... |
|
|
ú |
|
|||||||||
ê |
0 |
... |
0 |
0 |
0 |
dS −1 S −2 |
dS −1 S −1 |
dS −1 S |
ú |
|
|||
ê |
0 |
... |
0 |
0 |
0 |
0 |
d |
|
|
d |
|
ú |
|
ê |
S S |
−1 |
SS |
ú |
|
||||||||
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|||
Будем далее для простоты считать, |
что изгибная жёсткость балки EIz на |
||||||||||||
всех участках постоянна. Для вычисления трёх коэффициентов одного из кано- нических уравнений с номером i подставим в соответствующие интегралы Мо- ра полученные выражения эпюр от единичных моментов (20.6), (20.7) и возь-
мём эти интегралы
|
|
|
|
~ |
2 |
(x)]j |
|
dx = |
lпр |
~ |
2 |
|
|
|
|
|
l |
пс ~ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
EIzdi i = å ò [Mi |
|
òM |
пр |
(x)dx + òM пс (x)dx = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j l j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lпр æ x |
ö2 |
|
|
|
|
|
|
|
lпс |
æ |
|
|
* |
|
ö2 |
|
|
|
l3 |
3 |
|
1 |
(l |
+ l ) , |
|
|
||||||||||||||||
= |
ò |
ç |
пр |
÷ |
|
dx |
|
|
|
+ |
ò |
ç |
xпс |
|
÷ |
|
dx* |
= |
|
|
пр |
+ |
|
lпс |
= |
|
(20.9) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
÷ |
|
|
пр |
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
пс |
|
|
|
|
|
|
3 |
пр |
пс |
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
è lпр ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
è lпс |
ø |
|
|
|
|
|
3lпр |
|
3lпс |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
lпр |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
lпр |
lпр - xпр |
xпр |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xпр xпр |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
EIzdi i−1 = å |
ò [Mi−1 |
(x)Mi (x)]j dx = ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxпр = ò |
|
|
|
|
dxпр = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
lпр lпр |
|
lпр |
lпр |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
j l j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
æ |
|
|
|
|
lпр2 |
|
|
lпр3 |
ö |
|
|
|
lпр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
|
çl |
пр |
|
|
|
|
- |
|
|
÷ |
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20.10) |
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ç |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
÷ |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
lпр |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аналогично коэффициенту δi i−1 определяется и коэффициент δi i+1 . Однако в
формулу для этого коэффициента войдёт, очевидно, длина участка, располо- женного после i-й опоры, т.е. lпс :
|
EIzdii+1 = |
lпс |
. |
|
|
|
|
|
|
(20.11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Каноническое уравнение с номером i примет вид |
|
|||||||||||||
|
1 |
él |
пр |
Mпр + |
1 |
(lпр + lпс )Mi + |
lпс |
M |
ù |
+ DiP = 0 , |
|
|||
|
ê |
|
пc ú |
|
||||||||||
|
|
6 |
3 |
|
|
|||||||||
|
EIz ë |
|
|
|
6 |
|
û |
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lпрMпр + 2(lпр + lпс )Mi + lпсMпc = −6EIz |
iP . |
(20.12) |
||||||||||||
Это уравнение называется уравнением трёх моментов. Его правую часть также можно несколько преобразовать в стиле способа Верещагина, если учесть, что для балки эпюры от единичного нагружения всегда линейны:
|
|
|
|
- 46 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
lпр |
|
|
|
xпр |
|
lпр |
|
|
x* |
||
|
|
|
= ò |
M P (xпр ) |
dxпр + ò M P (xпс* ) |
||||||||||
EIz DiP = å ò[M P (x)Mi (x)]j dx |
lпр |
|
|
пс dxпс* . |
|||||||||||
|
|
j l j |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
lпс |
||
Входящие в эту формулу интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lпр |
|
|
|
|
|
lпс |
|
|
|
)xпс* dxпс* |
= Fпсaпс* |
|
||
Sпр = òM P (xпр )xпрdxпр = Fпрaпр , |
Sпс = òM P (xпс* |
, (20.13) |
|||||||||||||
Эп. M P (x) |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fпр |
|
Fпc |
представляют |
собой |
по |
определению |
|||||||||
|
|
статические |
|
моменты |
площадей эпюр |
||||||||||
|
|
|
|
моментов на предыдущем и последую- |
|||||||||||
|
|
|
|
щем участках относительно вертикаль- |
|||||||||||
x |
|
|
x* |
ных осей, проходящих через предыду- |
|||||||||||
i |
|
щую и последующую опоры соответст- |
|||||||||||||
пр |
|
пc |
венно. |
Статические моменты |
вычисля- |
||||||||||
aпр |
ц.т. |
ц.т. |
a* |
||||||||||||
|
|
|
пc |
ются как произведение площадей эпюр |
|||||||||||
lпр |
|
|
l |
||||||||||||
|
|
F |
и F |
(с учётом их знака) на коорди- |
|||||||||||
|
|
|
пc |
||||||||||||
|
|
|
|
|
пр |
|
пс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 20.9 |
|
наты центра тяжести эпюры, |
|
в данном |
||||||||||
|
|
случае на расстояния от центра тяжести |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
до предыдущей и последующей опор |
aпр |
и aпс* |
(рис. 20.9). Тогда уравнение |
||||||||||||
трёх моментов приобретает вид, который чаще всего используется в расчётах:
æ |
Fпрaпр |
|
|
* |
ö |
|
|
lпрMпр + 2(lпр + lпс )Mi + lпсMпc = -6ç |
+ |
Fпсaпс |
÷ . |
(20.14) |
|||
|
|
||||||
ç |
l |
пр |
l |
пс |
÷ |
|
|
è |
|
|
ø |
|
|||
Последняя форма записи правой части удобна, как и формула Верещаги- на, только при простых эпюрах нагрузок в пролётах разрезной балки, иначе оп-
ределение положения центра тяжести представляет собой слишком сложную задачу, чтобы предпочесть последнюю формулу непосредственному вычисле- нию интеграла Мора в формуле (20.12).
Уравнения трёх моментов, записанные для всех промежуточных опор не- разрезной балки, образуют систему канонических уравнений. После её решения оказываются найденными неизвестные этой системы, моменты, действующие в
исходной статически неопределимой системе в сечениях над опорами (рис. 20.6). Затем следует решать статически определимую задачу для эквива- лентной системы. Делать это можно по-разному. Наиболее очевидный путь: решить статически определимые задачи для отдельных пролётов, представ- ляющих собой независимые статически определимые балки. Объединив затем эпюры отдельных пролётов, получим эпюры для неразрезной балки в целом. Опорные реакции, возникающие в опорах, если их необходимо найти, получа- ются суммированием опорных реакций соседних пролётов, связанных с данной опорой.
|
|
|
|
|
|
- 47 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение уравнения трёх моментов для неразрезных балок, |
|
|||||||||||
|
|
имеющих заделку или консоль на краю |
|
|
|
|
|
|
||||||
A |
|
|
|
|
B |
|
Если на одном из краёв нераз- |
|||||||
|
|
|
|
резной балки установлена заделка, то |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 2 3 |
i |
i +1 s -1 s |
её, как говорилось ранее, можно заме- |
|||||||||||
нить двумя бесконечно близко стоя- |
||||||||||||||
A |
|
|
|
|
B |
|||||||||
|
|
|
|
щими шарнирными опорами. По- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
скольку в задаче изгиба связи вдоль |
||||||||
1 |
2 |
3 |
i |
i +1 |
s -1 s |
оси балки рассматривать не нужно, то |
||||||||
dlпр |
|
|
|
dlпс |
обе заменяющие опоры можно счи- |
|||||||||
|
|
|
Рис. 20.10 |
|
тать шарнирно подвижными. Одну из |
|||||||||
|
|
|
|
этих шарнирно подвижных опор есте- |
||||||||||
A |
|
|
|
|
B |
ственно поставить в сечении, где была |
||||||||
|
|
|
|
|
P |
заделка (рис. 20.10). Она становится |
||||||||
|
1 |
2 |
i |
s -1 |
s |
промежуточной |
опорой |
(на |
левом |
|||||
|
краю первой, на правом – последней), |
|||||||||||||
|
|
|
Рис. 20.11 |
|
||||||||||
|
|
|
|
поэтому её, а следовательно, и задел- |
||||||||||
|
|
|
|
|
Pk |
|||||||||
A |
|
|
|
|
ку следует пронумеровать как проме- |
|||||||||
|
|
|
|
Mk |
жуточную опору. Длину пролёта бес- |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
i |
s -1 |
s |
конечно малой длины обозначим dl. |
||||||||
|
Пролёт длиной dl является предыду- |
|||||||||||||
|
|
|
Рис. 20.12 |
|
||||||||||
|
|
|
|
щим для первой промежуточной опо- |
||||||||||
ры, так что уравнение трёх моментов для первой опоры (первое каноническое |
||||||||||||||
уравнение) запишется так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
æ |
Fпрaпр |
|
F |
a* |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
+ |
пс |
пс |
÷ |
|
(20.15) |
|
|
dlпрMпр + 2(dlпр + lпс )M1 + lпсMпc = -6ç |
dlпр |
lпс |
÷ , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
||||
где необходимо учесть, что на предыдущей опоре нет момента ( Mпр = 0 ). Сле- |
||||||||||||||
дует также считать, что никакой активной внешней нагрузки к пролёту длиной |
||||||||||||||
dl не приложено ( Fпр = 0 ), задача и без неё будет равносильной исходной; сла- |
||||||||||||||
гаемые, содержащие эти сомножители, обнуляться. Следует также пренебречь |
||||||||||||||
бесконечно малой длиной dlпр по сравнению с lпс в множителе для M1. Тогда |
||||||||||||||
уравнение трёх моментов для защемления на левом торце (для первой проме- |
||||||||||||||
жуточной опоры) принимает вид |
|
|||
|
F |
a* |
|
|
2lпсM1 + lпсMпc = -6 |
пс |
пс |
. |
(20.16) |
|
|
|||
|
lпс |
|
||
Аналогичный результат получится и для случая, когда заделка стоит в конце балки:
|
Fпрaпр |
|
- 48 - |
|
lпрMпр + 2lпрM s = -6 |
. |
(20.17) |
||
|
||||
|
lпр |
|
||
Если на краях балки расположена одна или две консоли (рис. 20.11), то
эпюры для консольной части могут быть найдены независимо от остальной балки. Затем действие консоли на балку можно заменить силой и момен- том (Pk , Mk ). Эту нагрузку логичнее рассматривать как внешнюю нагрузку ос-
тальной неразрезной балки. Тогда, например, рассматривая правый край бал- ки (рис. 20.12), внутренний момент в последнем каноническом уравнении с но- мером s на крайней правой опоре Mпc следует считать нулевым. Уравнение бу-
дет выглядеть так: |
|
|
|
|
|
|
|
æ |
Fпрaпр |
|
|
* |
ö |
|
|
lпрMпр + 2(lпр + lпс )M s = -6ç |
+ |
Fпсaпс |
÷ . |
(20.18) |
|||
|
|
||||||
ç |
l |
пр |
l |
пс |
÷ |
|
|
è |
|
|
ø |
|
|||
Объединив после раскрытия статической неопределимости эпюры консолей и остальной части балки, получим общие эпюры для всей балки в целом.
- 49 -
Тема №21. Пример расчёта трёхстержневой статически неопределимой конструкции. Особенности напряжённо-деформированного
состояния статически неопределимых систем
Пример расчёта трёхстержневой статически неопределимой конст-
рукции
Рассмотрим пример расчёта статически неопределимой конструкции, когда её
стержни нагружены только растяжением. Конструкция на рис. 21.1 является про- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
стейшей фермой. Стержни конструкции снаб- |
|||||
D |
C |
|
|
|
B |
жены на концах шарнирами, а нагрузка прило- |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
жена в узле (точке соединения стержней). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
Пронумеруем стержни как показано на |
|||||
|
|
|
|
|
|
рисунке. Конструкцию будем считать симмет- |
|||||||
|
β |
|
|
β |
|
||||||||
|
|
|
|
ричной относительно оси стержня AC, поэто- |
|||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
му считаем, что E2 = E3 (модули упругости) и |
|||||
|
|
|
|
|
P |
|
F2 = F3 |
(площади |
поперечных |
сечений). |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
То, что эта стержневая система статически не- |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Рис. 21.1 |
|
определима, можно установить по общей фор- |
||||||||||
D |
C |
|
|
|
B |
муле для плоских статически неопределимых |
|||||||
|
|
|
систем. Опорных связей у неё шесть (R = 6), |
||||||||||
3 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
замкнутых контуров |
нет |
(K = 0). |
Шарнир, |
||
|
|
|
|
|
расположенный в узле A, |
является сложным, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
β |
|
|
β |
|
соединяющим три стержня, поэтому он экви- |
|||||||
|
A |
|
|
|
О. C. |
валентен двум простым шарнирам. Шарниры, |
|||||||
|
|
|
|
входящие в изображения опор, учитывать не |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
Рис. 21.2 |
|
нужно, поэтому |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s = R - 3 + 3K - Ш = |
|
|
|
||
D |
C |
|
|
|
B |
= 6 - 3 + 3×0 - 2 =1 . |
|
(21.1) |
|||||
3 |
1 |
|
|
|
|
N1 |
2 |
То, что эта конструкция один раз ста- |
|||||
|
|
|
|
|
тически |
неопределима, очевидно |
также из |
||||||
N1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
β |
|
того, что узел A будет |
закреплен |
любыми |
||||||
|
β |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Э. C. |
двумя стержнями из трёх. Третий стержень |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A |
|
|
|
|
|
является дополнительным и, поскольку он |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
нагружен только растяжением, |
накладывает |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
одну дополнительную связь. |
Откуда тоже |
|||||
|
Рис. 21.3 |
|
|||||||||||
|
|
следует, |
что степень статической неопреде- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
лимости в данном случае равна единице.
Для получения основной системы удалим одну внутреннюю связь, разре-
D |
C |
~ |
=1 B |
N1 |
|||
3 |
1 |
|
2 |
~ =
b b
N1 1
A
Рис. 21.4
- 50 -
зав стержень AC. В этом случае симметрия сохраняется, что несколько упрощает реше- ние задачи. Основная система изображена на рис. 21.2. Для получения эквивалентной сис- темы (рис. 21.3) к основной добавляем внеш-
нюю нагрузку исходной конструкции и две равные, противоположно направленные не- известные растягивающие силы N1 = X1 в
сечении разреза, заменяющие отброшенную внутреннюю связь. Каноническое уравнение будет одно:
~ |
|
|
~ |
=1 |
|
~ |
δ11N1 + 1P = 0 . |
(21.2) |
|||
|
|
N1 |
|
|
|
||||||
|
N2 |
|
b |
|
b |
N3 Оно выражает равенство нулю суммы взаимных переме- |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
y |
|
|
|
щений берегов разреза вследствие действия всех внешних |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
сил, приложенных к эквивалентной системе. Найдём вза- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
имные перемещения δ11 и |
1P с помощью интеграла Мора |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Рис. 21.5 |
|
для плоской задачи: |
|
||||
|
|
|
|
j=n |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
(x)ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é N(x)N(x) |
|
M z (x)M z |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
D = å |
|
ò |
ê |
|
|
|
|
+ |
|
|
ú |
dx . |
|
|
(21.3) |
||
|
|
|
|
|
|
EF |
EIz |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
j=1 l j |
ë |
|
|
|
û j |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Для определения необходимых эпюр к берегам разреза приложим еди- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
(рис. 21.4). Определим усилия в других стержнях от этой на- |
||||||||||||
ничные силы N1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
грузки. Применим один из методов расчёта |
||||||
|
D |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
B |
статически определимых ферм, вырежем |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
узел A фермы на рис. 21.4 и рассмотрим его |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равновесие (рис. 21.5), записав суммы про- |
||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
екций всех сил в направлении горизонталь- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной и вертикальной оси. Из равенства нулю |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
сил в направлении горизонтальной оси полу- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чаем только равенство сил N2 |
и N3 |
, вполне |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Рис. 21.6 |
|
|
очевидное и из симметрии задачи |
|
||||||||||||
N2P |
N |
= 0 N3P |
|
|
åPx i = |
|
~ |
|
~ |
~ |
~ |
(21.4) |
||||||||
|
|
0 = -N2 sinb + N3 sinb , Þ |
N2 = N3 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
1P |
|
|
|
|
|
|
Записав сумму сил в направлении вертикальной оси, нахо- |
||||||||||
|
y |
b |
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
дим |
åPy i = 0 = N1 |
+ N |
2 cosb + N3 cosb , |
|
|
|||||||
0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 21.7 |
|
|
|
|
откуда, учтя что N1 =1, находим усилия в боковых стерж- |
||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
|
1 |
|
нях от единичного нагружения |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
N2 |
= - |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(21.5) |
|
|
|
2cosb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||