Lectures part2

- 11 -

Сдвиговые слагаемые в этом соотношении получены на основе неточной мо- дели. При необходимости их несложно уточнить и эти слагаемые записать в форме

Однако теоретически и численным экспериментом можно показать, что накап- ливаемая в стержне сдвиговая энергия значительно меньше энергии других ви- дов деформации стержня, прежде всего энергии изгиба, поэтому выражение для этой части энергии обычно не только не уточняют, а вообще им пренебрегают и записывают потенциальную энергию стержня так:

что соответствует гипотезе плоских сечений при изгибе. Действительно, пред- положив, что сечение остаётся перпендикулярным продольной оси стержня, мы полагали, что γxy = 0 , а это означает, что и dΠQ = 0.

В плоской задаче нет изгиба во второй плоскости и кручения, поэтому в плоской задаче для плоскости x0y остаётся только два слагаемых выражения (16.39) – первое и последнее:

В большинстве задач для плоских рам (но не во всех) оказывается малым и сла- гаемое от осевой силы:

т.е. потенциальная энергия записывается только с одним слагаемым от изги- бающего момента.

- 12 -

Тема №17. Некоторые энергетические теоремы

Теорема взаимности работ (теорема Бетти).

Теорема. В линейных задачах работа первой силы на перемещении в на- правлении этой силы, вызванном второй силой, равна работе второй силы на

Далее рассмотрим состояние III от последовательного приложения снача- ла силы P1, затем P2 . Потенциальную энергию в состоянии III снова предста-

вим как работу сначала по перемещению тела из состояния 0 в состояние I, за- тем из состояния I в состояние III

P1 и P2 (рис. 17.1) всегда представляют собой сумму перемещений от каждой из сил независимо от порядка их приложения. В частности, решение может

где первый индекс у перемещения указывает, в направлении какой силы оно

Существует и более общая формулировка этой теоремы. В линейных зада-

чах работа первой системы обобщённых сил на обобщённых перемещениях, вызван- ных второй системой обобщённых сил, равна работе второй системы сил на пере- мещениях, вызванных первой системой сил.

На доказательстве этой формулировки останавливаться не будем.

При равенстве сил получаем равенство перемещений, или теорему взаим-

т.е. перемещение точки 1 в некотором выбранном направлении под действием силы, приложенной в точке 2 ( 12 ), равно перемещению точки 2 под действи-

ем такой же по величине силы, приложенной в точке 1 ( 21) в выбранном на-

правлении. При этом говорится о составляющих вектора перемещений в на-

правлении действия сил (рис. 17.3) . Изображёны равные по модулю силы, при- кладываемые к недеформированному состоянию тела, и составляющие векто- ров перемещений в направлении действия этих сил.

Теорема Клапейрона

Теорема. В линейных задачах потенциальная энергия упругих деформа- ций, возникающая в результате действия нескольких обобщённых сил, равна половине суммы произведений обобщённых сил на обобщённые перемещения,

где i – указанные обобщённые перемещения.

Доказательство. Как и в предыдущей теореме, рассмотрим ряд состояний

- 15 -

упругого тела, а также потенциальную энергию упругих деформаций и работу, создающую эту энергию при статическом приложении сил. 0 – состояние тела без нагрузки, I – состояние тела от действия силы P1. Тогда

где для перемещения использован двойной индекс, такой же по смыслу, как и в предыдущей теореме, т.е. 11 – перемещение первой точки в направлении этой

III – состояние тела от действия последовательно прикладываемых статических сил: сначала силы P1, затем P2 . Как и в предыдущей теореме, запишем

приложена и не менялась в процессе приложения силы P2 . Распишем это сла- гаемое как сумму двух половин, а затем используем теорему взаимности работ

Подставив полученный результат в формулу (17.17) и сгруппировав слагаемые с одинаковыми силами, найдём

что и требовалось доказать.

Однако утверждение пока доказано только для двух сил. Для моментов до- казательство аналогично. Чтобы доказать теорему для трёх сил, следует сначала прикладывать вместе силы P1 и P2 , затем силу P3 . Записывая аналогично преды-

дущему потенциальную энергию деформаций нагруженного тела, легко получить доказательство и для этого случая. Возможно и полное доказательство теоремы методом полной математической индукции, на котором останавливаться не будем.

Теорема Кастильяно

Теорема. В линейных задачах частная производная от потенциальной

энергии деформации твёрдого тела по обобщённой силе равна обобщённому перемещению точки приложения силы по направлению действия этой силы.

Доказательство. Снова рассмотрим ряд состояний закреплённого деформи- руемого твёрдого тела (рис. 17.4): 0 – состояние тела без нагрузки; I – состояние тела от действия системы сил P1, P2, P3 . Потенциальная энергия упругих де-

формаций в состоянии I запишется как работа при приложении этой системы

альной энергии упругих деформаций в состоянии I на значение работы по перево- ду тела из одного состояния в другое, но в непрерывной дифференцируемой зада- че это отличие будет бесконечно малым, поскольку сила dP1 бесконечно мала.

Считая потенциальную энергию упругих деформаций функцией приложенных к телу сил, малое приращение энергии можно записать как частный дифференциал этой энергии по силе P1, который затем удобно представить как производную энергии по силе, умноженную на приращение силы:

Вновь рассмотрим состояние II, но получим его иначе, приложив сначала силу dP1, а затем систему сил P1, P2, P3 . По принципу суперпозиции получится

то же значение потенциальной энергии упругих деформаций:

что и при их приложении к ненагруженному телу. Это следует, как и при доказа- тельстве теоремы взаимности работ, из принципа суперпозиции линейных задач, суммарное перемещение от действия сил должно оставаться неизменным при лю- бом порядке приложения нагрузок (17.4), как и слагаемые, из которых перемеще- ния складываются. Меняется только порядок слагаемых. Поэтому те же силы P1, P2 , P3 совершат на тех же перемещениях 1, 2, 3 ту же работу, что и при

их приложении к ненагруженному телу A0−I = ΠI , но одновременно с ними рабо- ту совершит и сила dP1 на перемещении 1. Соответствующее слагаемое работы от силы dP1 запишется без коэффициента 0,5, поскольку сила dP1 уже приложена

-17 -

ине меняется в процессе приложения сил P1, P2, P3 . Так что

Подставив полученное выражение в (17.24), найдём ещё одно выражение для энергии ΠII :

Приравняв правые части последнего выражения и выражения (17.22), получим

PI + ∂ΠI dP1 = 0,5dP1dD1 + PI + dP1D1 . (17.27)

¶P1

В этом выражении слагаемые PI взаимно уничтожаются, после чего его можно сократить на бесконечно малый, но ненулевой множитель dP1 :

В правой части полученного соотношения, которое дальше не упрощается, вхо- дят одновременно перемещение первой точки D1 и его дифференциал. Удержи- вать в этом случае дифференциал, бесконечно малую величину, бессмысленно,

её отбрасываем и получаем

∂ΠI (17.29)

¶P1

что и требовалось доказать.

Ничего в рассуждениях не изменится, если вместо сил и перемещений рассмотреть моменты и соответствующие им углы поворота, поэтому в теореме говорится об обобщённых силах и перемещениях.

Применение теоремы Кастильяно для определения перемещений и углов поворота

Рассмотрим балку, изображённую на рис. 17.5. Требуется определить прогиб и угол поворота поперечного сечения в точке A. При записи выражения потенциальной энергии пренебрежём энергией сдвига, энергия растяжения- сжатия в этом случае нулевая, поэтому

Для определения прогиба в точке A следует вычислить частную произ- водную этого выражения по силе P. Выражение эпюры моментов можно рас- сматривать как функцию одновременно и координаты x и различных внешних

- 19 -

ле и для нулевых значений этих величин. Положив M A = 0 в формуле (17.37),

получаем искомое значение угла поворота поперечного сечения в точке A для балки, на которую действует только сила:

В использованном приёме для определения угла поворота нет ничего необыч- ного. Так всегда приходится поступать, если требуется найти значение производной известной функции в одной точке. Сначала отыскивают производную функцию, а затем присваивают её аргументу нужное значение и находят значение производной,

было положено равным нулю. (Формулу для производной функции по аргументу невозможно найти, если в самой функции задать фиксированное значение этого аргумента.)

Полученное значение отличается знаком от значения угла поворота попе- речного сечения, определяемого интегрированием уравнения изогнутой оси балки. В данном случае определялось перемещение в направлении приложен- ного момента, а он действовал по часовой стрелке. Это направление было при- нято положительным. При записи же уравнения изогнутой оси балки положи- тельным принималось направление отсчёта угла правой системы координат, т.е. против часовой стрелки. Поэтому и получены разные знаки.

Результат свидетельствует ещё об одном факте. Решение из энергетиче-

ских соображений в данной постановке совпадает с решением этой же задачи интегрированием уравнения изогнутой оси балки, следовательно, уравнение

энергии без учёта сдвиговой деформации соответствует по точности принятым ранее гипотезам. Дополнительное же сдвиговое слагаемое в выражении энер- гии будет уточнять решение.