Lectures part2

- 141 -

где nτ – запас выносливости по касательным напряжениям. Из этой формулы

Полученный запас прочности сравнивается затем с допускаемым значением со-

При развитых пластических деформациях можно пренебречь упругой деформа- цией и принять модель жесткопластичного материала (рис. 29.3) с упрочнением ( E1 ¹ 0 ) или без упрочнения ( E1 = 0).

Большая или меньшая потеря точности при упрощении диаграммы ком- пенсируется простотой вычислений.

Рис. 29.4 Рис. 29.5

Заметим, что при появлении пластических деформаций нарушается закон Гука, а следовательно, линейность задачи. Такого рода задачи называются фи- зически нелинейными. Как и для всех нелинейных задач, в этом случае переста- ёт действовать принцип суперпозиции. Это демонстрирует пример, представ- ленный на рис. 29.4 и 29.5.

Пусть действующие на стержень силы P1 и P2 такие, что сила P1 вызы- вает в стержне пластические деформации, а P2 их не вызывает. Тогда при на- гружении стержня силой P1 деформация стержня будет соответствовать участ-

ку ОА диаграммы нагружения, данной на рис. 29.4. Если теперь, не снимая си- лы P1 , нагрузить стержень силой P2 , то его деформация в соответствии с зако-

ном разгрузки будет происходить по участку АВ. В итоге под нагрузкой P1 − P2

удлинение будет состоять из двух частей: упругого KL и остаточного удлине- ния OK, обусловленного пластическими деформациями. Если изменить порядок приложения сил и сначала нагрузить его силой P2 , а потом P1 (рис. 29.5), то

деформации могут (в зависимости от значений сил) остаться в пределах закона Гука и итоговое удлинение стержня окажется меньше, чем в первом случае. Как мы видим, результат воздействия системы сил зависит от порядка их приложе- ния, что нарушает принцип суперпозиции.

- 144 -

Пример определения предельной нагрузки для простейшей фермы

Найдём нагрузку, вызывающую разрушение при однократном нагруже-

нии для рассмотренной нами ранее трёхстержневой статически неопределимой ферменной конструкции (рис. 29.6). Такую нагрузку назовём предельной. Пред- положим, что площади поперечных сечений и материалы стержней одинаковы. Тогда, как было получено ранее для этой задачи:

ных сечениях стержней, l1 и l2 – длины стержней. Все величины второго и третьего стержней одинаковы в симметричной задаче. Из этого соотношения

жение в центральном стержне оказывается известным (оно равно σт ) и больше

В результате задача становится статически определимой. Выделив узел A по методу сечений (рис. 29.7), можно записать уравнение равновесия этого узла

откуда найдутся силы и напряжения во втором и третьем стержне после дости-

При такой нагрузке несущая способность фермы будет исчерпана и она разру- шится от однократного нагружения силой Pр .

Графики зависимости напряжений в стержнях от силы P представлены на рис. 29.8. Из графиков видно, что напряжение в первом стержне растёт по прямой OA, а после точки A оно уже не меняется. Во втором и третьем стержне напряжение сначала изменяется по прямой OB. А после достижения напряже- ния в первом стержне значения σт – по прямой BC. Больший наклон прямой

BC обусловлен тем, что напряжение и усилие в первом стержне после достиже-

если положить коэффициент запаса n равным двум, то сила P[σ], вызывающая допускаемые напряжения, получится равной

странятся от верхних и нижних волокон внутрь, к волокнам, лежащим ближе к нейтральной оси. Распределение напряжений примет вид, показанный на рис. 29.11. В предельном случае пластическая деформация распространяется на все сечение (рис. 29.12). В наиболее нагруженном корневом сечении возни- кает так называемый пластический шарнир, в результате происходит поворот балки в этом сечении, и её несущая способность оказывается исчерпанной. Момент M z пр , при котором это происходит, легко вычислить, записав момент

от напряжений на рис. 29.12 как произведение равнодействующей силы N от напряжений на половине сечения на плечо h2 получающейся пары:

предельная сила вызывает разрушение при однократном её приложении. Сила, которая чуть больше P[σ], вызывает разрушение только при многократном при-

ложении нагрузки. Назначая же [σ], стремятся обеспечить длительную экс- плуатацию изделия. Кроме того, в этой задаче [σ], также как и в предыдущей, только по диаграмме σ(ε) не удаётся (без решения нелинейной задачи) судить о том, во сколько раз надо увеличить нагрузку после достижения [σ], чтобы по- лучить предельную нагрузку.

- 149 -

были меньше предела пропорциональности и при эксплуатационной нагрузке оставались бы в упругой области.

Затем конструкцию проектируют таким образом, чтобы она выдерживала расчетную нагрузку Pр и разрушалась при её превышении. Это требует расчё-

та конструкции в нелинейной области, т.е. при нелинейной зависимости σ(ε) и

с учетом потери устойчивости отдельных её элементов. А для решения нели- нейной задачи обычно приходится прибегать к методу последовательных при- ближений, и расчёт сильно усложняется. Полученный в ходе расчёта результат обычно проверяют в эксперименте на изготовленной по результатам проекти- рования конструкции, в ходе которого опытным путём определяют Pпр , после

чего сравнивают Pр и Pпр или f и полученный в ходе эксперимента коэффици-

- 150 -

Тема №30. РАСЧЁТ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Основные особенности расчёта пластин и оболочек

Очень многие элементы инженерных сооружений, если не большинство, подлежащие расчету на прочность, могут быть сведены к расчетным схемам бруса, пластины или оболочки.

Пластины и оболочки столь же распространены, как и брусья. Это эффек- тивные элементы силовых конструкций, поскольку они способны не только не- сти нагрузку, но и разделять объёмы, совмещая таким образом различные функции. Расчёт этих тел также важен для конструктора, как и расчет стержней и брусьев.

Пластины и оболочки очень разнообразны. Со схемой пластины прихо- дится иметь дело при расчетах плоских днищ баков, стенок различных резер- вуаров, плоских перегородок в самолетных, корабельных строительных и дру- гих конструкциях и во многих других случаях. Оболочка может быть расчётной схемой баллонов давления, корпусов и крыльев летательных аппаратов, авто- мобилей и судов, остекления кабин пилотов, оболочек воздушных шаров, эле- ментов приборов и т.д. Оболочки могут сильно отличаться друг от друга меха- ническими свойствами. Купол здания из монолитного железобетона и купол парашюта – оба представляют собой оболочки. Поэтому при наличии общих черт расчётные схемы оболочек могут сильно отличаться.

Пластины и оболочки значительно более сложные для расчёта объекты, чем брусья, поскольку описываются функциями не одной, а как минимум двух переменных, что приводит к уравнениям в частных производных. Построение математической модели для тонких пластин и оболочек осуществляется прин- ципиально таким же образом, как и для тонких брусьев, и представляет собой обобщение этой методики на более сложный случай. Соотношения для брусьев основаны на гипотезе плоских сечений (гипотезе Бернулли), согласно которой

поперечное сечение остаётся плоским и перпендикулярным продольной оси бруса (если дополнительно не учитывается сдвиг). Введение этой гипотезы оз-

начает отказ от установления точных законов распределения напряжений и других величин по поперечному сечению. Вместо напряжений в соотношения вводятся внутренние силовые факторы (силы и моменты), передающиеся в це- лом от одного сечения к другому. В рассмотренном нами способе решения за- дачи для брусьев первыми определялись внутренние силовые факторы в сече- ниях, а по ним все прочие величины задачи.

Подобным образом строится и математическая модель пластин и оболо- чек. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей обо- лочки, называют срединной поверхностью, и вместо гипотезы плоских сечений