Lectures part2

A* = D*ст

1

.

(27.52)

ö2

æ

w2

2

w2

ç

-

2

÷

+ y

2

ç1

÷

è

w0

ø

w0

Здесь коэффициент

b =

1

(27.53)

2

æ

-

w2

ö

w2

ç1

2

÷

+ y2

2

ç

÷

è

w0

ø

w0

A* = D*

b .

(27.54)

ст

Зависимость коэффициента b от отношения частот w2

w2

и коэффициен-

0

b

y = 0

го графика легко вычислить, например:

если

w2

w2 = 0 (нет возмущающей си-

4

y =1 4

0

3

лы),

то

β =1; если w2 w02 ® ¥ (очень

y =1 2

2

высокая частота возмущающей силы),

1

то β → 0 ; если w2 w02 =1 (резонанс), то

0

1 2 3 4

w w0

β =1 ψ .

Из последнего соотношения

видно, что при резонансе, когда ψ = 0

Рис. 27.17

(нет трения), β → ∞ , т.е. амплитуды ко-

b =

1

1 - w2 w02 .

(27.55)

d 2v

- 123 -

dP

qy ин =

ин

= −ρF

.

(27.61)

dt2

dx

dQy

= qy ин ,

dx

(27.62)

dM z

= Qy ,

dx

EIz

d 4v

= qy ин ,

(27.63)

dx4

ными:

∂4v(x,t)

∂2v(x,t)

EIz

= −ρF

.

(27.64)

∂x4

∂t2

EIz

∂4v

= qy ин + qy .

(27.65)

∂x4

v(x,t) = V (x)sin ω0t .

(27.66)

времени:

M z (x = 0) = 0 ;

(27.76)

3) если x = l , то прогиб над правой опорой равен нулю в любой момент

времени:

V (x = l) = 0;

(27.77)

M z (x = l) = 0.

(27.78)

ругости):

2) если x = 0, то момент на одном краю

EIz

d 2V

= 0 ,

(27.79)

dx2

x=0

4) если x = l , то

EIz

d 2V

(27.80)

= 0 .

dx2

x=l

dV

= kC coskx - kC

2

sin kx + kC

chkx + kC

sh kx ,

(27.81)

dx

1

3

4

d 2V

= -k 2C sin kx - k 2C

2

coskx + k 2C

sh kx + k 2C

4

chkx .

(27.82)

dx2

1

3

Подстановка в функции V (x) и её второй производной в граничные усло-

вия 1 и 2 приводит к равенствам:

V (x = 0) = C1 sin k0 + C2 cos k0 + C3sh k0 + C4ch k0 = 0 ,

(27.83)

d 2V

= -k 2C sin k0 - k 2C

2

cosk0 + k 2C

shk0 + k 2C

4

ch k0 = 0 ,

(27.84)

dx2

1

3

x =0

ì

C2 + C4

= 0 ,

(27.85)

í

= 0 .

î- C2 + C4

- 126 -

Эта система имеет единственное решение:

C2 = C4 = 0 .

(27.86)

Воспользовавшись граничными условиями 3 и 4 при нулевых значениях

констант C2 и C4 , получим

V (x = l) = C1 sin kl + C3sh kl = 0 ,

(27.87)

d 2V

= -k

2C sin kl + k2C shkl = 0 .

(27.88)

dx2

x=l

1

3

Из этих равенств следует система уравнений для определения констант C1 и C3 :

ì (sin kl)C1 + (sh kl)C3 = 0 ,

(27.89)

îí(- sin kl)C1 + (sh kl)C3 = 0 .

можно только при равенстве нулю определителя системы:

sin kl

shkl

= 0 ,

(27.90)

- sin kl

shkl

откуда после раскрытия определителя получаем

2sin kl sh kl = 0 .

(27.91)

Последнее уравнение выполняется при условии

sin kl = 0 ,

(27.92)

или

sh kl = 0 ,

(27.93)

или оба сомножителя равны нулю одновременно.

Равенство (27.92) справедливо при условии

kl = pn , n = 0, ±1, ± 2, ...,±¥ .

(27.94)

ì (sin pn)C1

+ (shpn)C3

= 0 ,

îí(- sin pn)C1

+ (shpn)C3

= 0 ,

так и получается,

но при этом константа C3 должна оставаться нулевой, иначе

w01

Из четырёх констант, входящих в

функцию V (x)

(27.74), с помощью крае-

вых условий удаётся найти только три

константы, они нулевые. Сама же функ-

w02

ция V (x) , являющаяся решением диф-

ференциального

уравнения

(27.69),

с учётом краевых

условий

принимает

вид

x ö

æ

(27.96)

w03

V (x) = C1 sinçpn

l

÷ ,

è

ø

где учтено, что из (27.94) следует

k = πn .

(27.97)

l

что решение при n = 0,

Рис. 27.20

Заметим,

как видно из (27.96), снова даёт триви-

что в качестве решения вместо (27.94) можно принять

kl = πn , n = 1, 2, 3, ... ,∞ .

(27.98)

Подставив равенство (27.97) в (27.70), получим

p4n4

rF

2

=

w ,

(27.99)

l4

EIz

0

откуда

p2n2

w0n =

EI

z

,

(27.100)

l2

rF

v (x,t) = C

sin pn

x

sin w

t .

(27.101)

n

1n

l

0n

- 129 -

Тема №28. РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИ

ПЕРЕМЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ НАПРЯЖЕНИЯХ

Понятие об усталости материалов

σ

Напряжения в конструкции могут

изменяться во времени по произволь-

ным законам, которые зависят от зако-

нов изменения нагрузок на конструк-

T

t

цию, а они могут быть самыми разнооб-

разными.

Переменность

напряжений

Рис. 28.1

может быть вызвана различными этапа-

ми полёта самолёта, вращением деталей

σ

машин или же колебаниями конструк-

σmax

σa

ции от

периодической

возмущающей

σср

нагрузки. Законы изменения напряже-

σa

σmin

ний в этих и других случаях цикличе-

T

t

ские. Они могут иметь, например, вид,

представленный на рис. 28.1 – 28.3. При

Рис. 28.2

циклических напряжениях конструкции

σ

могут разрушаться от напряжений, ко-

σmax

σa

торые

существенно

меньше

предела

σср = 0

пропорциональности. От постоянных во

σa

t

времени нагрузок разрушение при этих

σmin =

напряжениях невозможно.

= −σmax

T

Этот вид разрушений был обна-

Рис. 28.3

ружен

19-м веке при

анализе

причин

аварий на железных дорогах, вызванных

поломками стальных осей железнодорожных вагонов. Схема нагружения оси

дана на рис. 28.4, где показана также эпюра изгибающих моментов. При враще-

нии оси продольное «волокно» последовательно переходит из растянутой зоны

сверху в сжатую снизу, в результате чего реализуется симметричный цикл из-

менения напряжений, показанный на рис. 28.3. Зона разрушения осей машин, в

том числе осей колёсных пар вагонов от циклических напряжений, имеет ха-

рактерную структуру. В середине сечения расположена крупнозернистая зона A

(рис. 28.5). Такой характер разрушения характерен для хрупких материалов,

хотя ось стальная, а это весьма пластичный материал. Вблизи же поверхности

наблюдается гладкая, притёртая зона B.

В ходе анализа причин разрушений было выяснено, что существенного

снижения предела прочности металла вследствие действия циклических напря-

- 130 -

жений не происходит, не происходит и увеличение хрупкости материала. Это

показали результаты механических испытаний металла из зон разрушения.

2P

Опытным путём было установле-

но, что когда напряжения достигают

определённого значения для данного

Ось

материала, то после некоторого числа

циклов изменения напряжений в мате-

риале возникает трещина. Гладкая зона

P

P

B – это, конечно, зона развития трещи-

ны. Части материала, лежащие по обе

a

P

P

a

стороны трещины, при переменной на-

грузке трутся друг о друга, и поверх-

Эп. M z (x)

ности

соприкосновения

становятся

гладкими. Зона же A – это зона мгно-

Рис. 28.4

Pa

венного

излома ослабленного трещи-

ной материала. Хрупкий характер из-

лома пластичного материала в зоне A

A

B

объясняется концентрацией

напряже-

ний в вершине трещины, вследствие

чего в этом месте возникает разновид-

ность объёмного напряжённого со-

стояния, при котором даже пластичные

материалы разрушаются по хрупкому

Рис. 28.5

механизму.

Но

откуда возникает

трещина?

В материале до приложения к нему переменных нагрузок трещин не было.

Они появляются только при действии нагрузок. По современным представ-

лениям трещины возникают так. Материал всегда имеет несовершенства кри-

сталлической структуры, дислокации. При повышенных напряжениях дисло-

кации приходят в движение, вызывая небольшие пластические деформации –

на границах кристаллов появляются поры, которые накапливаются с ростом

пластической деформации. В результате в зонах материала, где много пор,

появляются микротрещины, являющиеся сильными концентраторами напря-

жений. Они растут, сливаются и в итоге образуют трещину, ведущую к мгно-

венному разрушению.

Данное явление называется усталостью материала, усталостным разру-

шением, способность материала выдерживать циклические напряжения называ-

ется выносливостью.