Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lectures part2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

1.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

- 111 -

электродвигатель, тем более под рабочей нагрузкой, может создавать вращаю- щуюся с угловой скоростью двигателя ω неуравновешенную центробежную силу Pцб , порождающую периодическую поперечную силу в вертикальной пло-

скости Py (t) , закон изменения которой может быть записан так:

Py (t) = Pцб sin ωt .

(27.5)

Действие не слишком большой по величине силы Pцб (она просто не

должна быть близка к разрушающей) ведет обычно к возникновению колеба- ний, которые в некоторый первоначальный промежуток времени носят неуста- новившейся характер и происходят с переменной амплитудой. Затем они пере- ходят в установившийся режим с постоянной амплитудой и частотой, равной частоте вращения возмущающей силы, т.е. круговой частотой ω силы Py (t) .

Первоначальный неустановившийся режим называется переходным про- цессом. Из-за пиков амплитуд он может быть опасен для прочности. Однако точный расчёт этого движения более сложен, и часто переходным процессом пренебрегают, рассматривая только установившийся процесс колебаний, что не во всех случаях обосновано.

Возникающие установившиеся колебания могут быть не опасны для прочности конструкции вообще или приводить к разрушению только вследст- вие усталости материала (о чём скажем в теме 28). Но в случае совпадения час- тоты свободных колебаний и частоты возмущающей силы возникает явление, называемое резонансом. Амплитуды колебаний в этом случае резко возрастают

и могут стать опасными для прочности даже при относительно небольшой силе Pцб . При проектировании конструкций необходимо уметь предсказывать это

явление.		Объяснить явление резонанса проще
		Объяснить явление резонанса проще
		всего на примере качелей. Подталкивая
		качели в сторону движения на каждом
		цикле качания, т.е. с частотой свободных
m2	m2	колебаний качелей, совершаем работу,
m2	m2	которая идёт на увеличение энергии каче-
		лей. Если сообщаемая таким образом на
		каждом цикле качания энергия превосхо-
m1	m1	дит энергию, рассеиваемую различными
m1	m1	видами трения, то амплитуда движения
Рис. 27.9	Рис. 27.10	будет возрастать. Именно это и происхо-
Рис. 27.9	Рис. 27.10	дит при резонансе. В результате в движу-
		дит при резонансе. В результате в движу-
щуюся систему относительно небольшими долями закачивается энергия, что со
временем непременно ведёт к разрушению, если только силы трения не возрас-

- 112 -

тут с увеличением скорости и амплитуды движения и не остановят этот про- цесс. Очевидно, что резонансным воздействием может быть разрушена стати- чески очень прочная конструкция.

m1	m2		Как уже говорилось, в механиче-
m1	m2		ской системе может быть несколько сте-
			пеней свободы или же бесконечно мно-
1		2	го. Колебания таких систем происходят
		2	по более сложным законам. Рассмотрим
Рис. 27.11			по более сложным законам. Рассмотрим
Рис. 27.11			системы с двумя степенями свободы:
невесомую балку с	двумя		грузами (рис. 27.4) и двухзвенный маятник

(рис. 27.9). Непосредственным экспериментом, отводя грузы перед началом ко- лебаний от положения равновесия, можно убедиться в том, что у этих систем возможны две формы колебаний, отличающиеся частотой свободных колеба- ний. Первая форма такая же по виду, как у систем с одной степенью свободы. Она изображена на рис. 27.4 и 27.9. Оба груза уходят от положения равновесия в одну сторону. Частоту этих колебаний обозначим ν01 . Однако если грузы

первоначально развести в разные стороны, а затем отпустить, то можно наблю- дать и вторую форму колебаний. Грузы движутся в противоположные стороны, говорят, что они движутся в противофазе (рис. 27.10, 27.11). Частоту этих сво- бодных колебаний обозначим ν02 , причём ν01 < ν02 . Вторая частота свободных

колебаний оказывается выше первой.

ν01								Если система имеет три степени
ν01	m1		m2		m3			свободы, то у неё есть три формы сво-
								бодных колебаний и соответствующие
		1		2		3		им три частоты, причём ν01 < ν02 < ν03 .
		1		2		3		Получить устойчивое движение систе-
ν02 m								Получить устойчивое движение систе-
ν02 m			m	2	m	3		мы по третьей форме колебаний за счёт
	1			2		3		начального отклонения трудно, оно бы-
								начального отклонения трудно, оно бы-
				2 = 0				стро сбивается, переходя в первую фор-
		1		2 = 0		3		му колебаний. Однако, воздействуя на
ν03			m2					систему периодической силой, дейст-
		1	m2				3	вующей с переменной частотой, можно
		1					3
	m1				m3			получить резонанс для всех форм коле-
	m1			2	m3			баний такой системы. При совпадении
								баний такой системы. При совпадении
								частоты возмущающей силы с одной из
		Рис. 27.12						частоты возмущающей силы с одной из
		Рис. 27.12						частот свободных колебаний возбужда-
								частот свободных колебаний возбужда-

ется форма, совпадающая с соответствующей формой свободных колебаний. Для трёх одинаковых точечных масс, равномерно распределённых по невесо- мой балке, эти формы показаны на рис. 27.12.

		- 113 -
Система с бесконечным числом степеней свободы имеет соответственно
бесконечное число форм свободных колебаний. В этом случае увидеть в экспе-
рименте значительное число низших форм свободных колебаний также можно,
получая резонанс с помощью вибратора. Первые три формы колебаний кон-
сольной балки показаны на рис. 27.13. Частоты колебаний образуют в этом
случае дискретный, но бесконечный ряд.
Свободные колебания с определённой формой и соответствующей ей
частотой называются тоном (колебаний).
ν01		Важно отметить, что чем выше
		номер тона, тем выше должна быть
		энергия, сообщаемая балке вибратором,
		чтобы получить заметные амплитуды
ν02		колебаний. Происходит это потому, что
		с ростом номера тона усложняется фор-
		ма колебаний, и возрастают скорости
		движения масс, а потому увеличивается
ν03		рассеивание энергии. Отсюда следует,
		что для конструкций особенно опасен
		резонанс на нескольких первых тонах
		колебаний.
	Рис. 27.13	Очевидно, что колебания могут
		быть опасны для прочности конструк-

ций. Известны случаи, когда большие строительные сооружения, например
мосты, построенные с большим запасом прочности на статическую нагрузку,
разрушались	под действием	сравнительно небольших периодических сил.
С большими трудностями сталкиваются создатели авиационной техники, решая
задачи колебаний упругих конструкций самолётов в потоке воздуха (флаттер и
другие явления). Много проблем из-за колебаний возникает при создании вер-
толётов. Эти машины подвергаются мощным периодическим воздействиям от
несущего винта, поэтому элементы конструкции не должны иметь частоты сво-
бодных колебаний, совпадающие с частотами рабочих режимов его вращения.
Проблемы вибраций весьма серьёзны и сложны при проектировании машин с
быстро вращающимися деталями: турбин, компрессоров и других. При колеба-
ниях сравнительно легкая и непрочная, на первый взгляд, конструкция может
легко выдержать нагрузку, а массивная – быстро разрушиться.
Необходим специальный расчёт конструкций при колебаниях. Свободные
колебания сами по себе редко бывают опасны для прочности. После первого,
максимального отклонения от положения равновесия амплитуды колебания па-
дают, а вместе с ними уменьшаются и максимальные напряжения в конструк-

- 114 -

ции. Небольшое число циклов до полного прекращения колебаний обычно не приводит к усталостным разрушениям. Расчёт же прочности в начальном со- стоянии не является расчётом при колебаниях. Однако частоты свободных ко- лебаний необходимо определять, чтобы оценить возможность возникновения резонанса при появлении периодической возмущающей силы. В отдельных слу- чаях бывает необходимо найти формы свободных колебаний: например, в узлах колебаний (неподвижные точки при колебаниях) корпусов ракет ставят гиро- скопические приборы управления полётом. Если же необходимо проверить прочность при вынужденных колебаниях, приходится рассчитывать макси- мальные отклонения тел от положения равновесия при колебаниях как в уста- новившемся режиме, так (в отдельных случаях) и при переходных процессах.

Свободные и вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

Итак, были рассмотрены физические процессы, происходящие в упругих системах при колебаниях. Остановимся теперь на математическом описании некоторых из них.

Невесомая балка (см. рис. 27.8) несёт на себе сосредоточенную массу электродвигателя и совершает вынужденные поперечные колебания в верти- кальной плоскости x0y под действием периодической возмущающей силы

Py (t) . Обозначим снова буквой отклонение массы от положения равновесия.

Силу веса, а также начальную деформацию от веса электродвигателя и возни- кающие при этом напряжения учитывать не будем. При необходимости реше-

ние от силы веса легко получить из решения статической задачи и добавить по принципу суперпозиции к решению. На движущуюся массу будут действовать сила Py (t) , сила упругой реакции невесомой балки Pуп и сила трения Pт . Доба-

вив, по принципу Даламбера, к системе действующих на тело сил силу инерции Pин , получим равновесие. Предполагаем, что все эти силы положительны, если

направлены в сторону оси y, в этом же направлении положительно перемеще- ние , а следовательно, скорость & и ускорение && . Запишем уравнение равно- весия с помощью алгебраической суммы сил в направлении оси y:

åYi = 0 = Py (t) + Pупр + Pт + Pин .

(27.6)

Распишем величины, входящие в это уравнение. Вертикальную состав- ляющую центробежной силы зададим законом (27.5). Сила упругости балки всегда действует на движущуюся массу противоположно направлению её пере-

мещения , поэтому
Pупр = −C .	(27.7)

Сила трения всегда направлена противоположно направлению движения. Будем

- 115 -

считать, что это сила пропорциональна скорости движения, тогда она запишет-

ся так:
P = −r & .	(27.8)
т

Подчиняющаяся этому закону сила трения называется силой вязкого трения,

коэффициент r в формуле называется коэффициентом вязкого трения.

Сила инерции всегда противоположна ускорению, поэтому

= −m&& .

(27.9)

ин

Подставив выражения сил в уравнение равновесия, получаем

sin ωt − C

− r & − m&& = 0 ,

(27.10)

цб

откуда

& + C

Pцб

&& +

sin ωt .

(27.11)

Обозначим

2b =

(27.12)

ω02 =

(27.13)

Дифференциальное уравнение приобретает вид

&& + 2b & + ω02

Pцб

sin ωt .

(27.14)

Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, неоднородное. Его решение, как известно, состоит из суммы общего решения однородного уравнения (состоящее из левой части неоднородного) и частного решения неоднородного. Рассмотрим общее решение однородного уравнения:

&& + 2b & + ω02 = 0 .

(27.15)

Это уравнение, в котором отброшена периодическая возмущающая сила, описывает свободные колебания при учете сил вязкого трения. Если не учиты- вать ещё и силы вязкого трения, то получаем дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания системы без учёта сил трения:

&& + ω2	= 0 .	(27.16)
0

Его решение с учётом начальных условий представляет собой соотноше- ние (27.2). Величина ω0 одинакова в соотношениях (27.2) и (27.13). Она вво-

дится формулой (27.13), а её смысл (круговая частота свободных колебаний) виден из (27.2). Решение уравнения (27.16) подробно рассматривается в курсе физики.

Заметим, что с помощью круговой частоты можно записать по формулам (27.3) (27.4) частоту свободных колебаний:

C .

- 116 -

= 1

(27.17)

Поскольку вес P массы m вызывает статический прогиб балки

ст , и при этом

P и

ст связаны коэффициентом жёсткости

P = C ст

(27.18)

то подставив значение коэффициента C из (27.18) в (27.17) и учтя, что

= g ,

(27.19)

где g – ускорение свободного падения, приходим к другой часто используемой

формуле для частоты свободных колебаний:

= 1

g .

(27.20)

Dст

Свободные колебания с одной степенью свободы

при учёте сил вязкого трения

Вернёмся к решению однородного уравнения (27.15), описывающего сво-

бодные колебания при учёте силы вязкого трения. Его решение зависит от ре-

шения характеристического алгебраического уравнения

s2 + 2bs + w02 = 0 .

(27.21)

У этого квадратного уравнения два корня:

= -b ±

b2 - w2 .

(27.22)

1,2

Решение дифференциального уравнения

зависит от значения подкоренного вы-

ражения.

Если b2 - w02 ³ 0 , то решение

дифференциального уравнения

описы-

вает непериодическое

движение

к по-

Рис. 27.14

ложению

равновесия.

Действительно,

коэффициент

характеризует

вязкое

трение. Если этот коэффициент превы-

шает значение круговой частоты свбод-

ных колебаний,

то это соответствует

Рис. 27.15

случаю очень высокого вязкого трения,

когда упругая система выведена из по-

ложения равновесия в густой, вязкой жидкости. Вместо колебаний происходит

движение к положению равновесия, примерный график отклонения от положе-

ния равновесия D по времени t для этого случая представлен на рис. 27.14.

Если разность отрицательна b2 - w02 < 0 , то корни квадратного уравнения

- 117 -

мнимые. В этом случае возможно возникновение колебательного движения, но

только если ω02 >> b2 , откуда
ω0 >> b ,	(27.23)

поскольку ω0 > 0 и b > 0 . Движение, возникающее при малых значениях разно- сти ω02 − b2 (рис. 27.15), колебательным назвать трудно.

Обозначив

~
~	2	− b	2	,
ω =	ω0	− b		,

запишем решение характеристического уравнения:

				~
	2	− b	2
s1,2 = −b ± i ω0				= −b ± iω .

(27.24)

(27.25)

При таком решении характеристического уравнения решение дифферен-

циального имеет вид

= e	−bt	~	~	(27.26)
		(C1 sin ωt + C2 cosωt) .

Сумму тригонометрических функций одного аргумента можно представить с помощью одной функции синуса

~			−bt			~ ~	(27.27)
= A0e					sin(ωt + ϕ) ,		(27.27)
где
~
~			2		2	,	(27.28)
A0 =		C1 + C2				,	(27.28)
~	C2
tgϕ =				.			(27.29)
tgϕ =	C			.			(27.29)
	1
Введя дополнительно обозначение
~	~				−bt ,		(27.30)
A(t) = A0e					−bt ,		(27.30)

получаем решение дифференциального уравнения в форме, аналогичной реше- нию задачи без учёта сил трения:

~	~ ~	(27.31)
= A(t)sin(ωt + ϕ) ,

где, однако, амплитуда переменна и уменьшается по закону (27.30), т.е. колеба- ния оказываются затухающими.

Из (27.31) видно также, что ω~ представляет собой круговую частоту сво- бодных колебаний системы при учёте сил вязкого трения. Согласно формуле (27.24), круговая частота, а следовательно, и сама частота в этом случае оказы- вается ниже частоты колебаний без трения. Это и понятно, в вязкой среде ско- рость движения уменьшается, время, необходимое для прохождения одного ко- лебания (период), возрастает, а число колебаний в единицу времени (частота) падает. Но различие частот ω0 и ω~ , как следует из (27.23) и (27.24), небольшое. Константы C1 и C2 могут быть найдены из начальных условий задачи: по зна-

чениям отклонения массы от положения равновесия в момент начала движения

- 118 -

0 =

(t = 0) и скорости её в этот же момент & 0 = & (t = 0). Тогда становятся оп-

ределёнными и константы A0

и ϕ .

, он равен,

Обозначим период колебаний при учёте сил вязкого трения T

как всегда

2π

(27.32)

T =

~ .

Запишем с его помощью отношение

следующих друг за другом через период

амплитуд

времени T

Ai+1 = A0e

−b(t +T )

(27.33)

= e−bT

A e−bt

откуда

Рис. 27.16

(27.34)

= e−bT

A .

i+1

Таким образом, амплитуды представляют члены геометрической прогрессии со

и t изо-

знаменателем e−bT . Процесс затухающих колебаний в координатах

бражается графиком на рис. 27.16.

Величину D, определяемую равенствами

D = ln

2πb

(27.35)

= lnebT

= Tb

= ~

Ai+1

называют логарифмическим декрементом колебаний (англ. decrement означает

затухание, успокоение, демпфирование). Эта величина характеризует, конечно,

затухание колебаний: чем она больше, тем быстрее затухают колебания.

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

Общее решение однородного уравнения (27.15) найдено. Теперь для по- лучения общего решения неоднородного уравнения (27.14), описывающего движение в случае вынужденных колебаний, следует ещё получить частное решение неоднородного уравнения. Это решение будем искать в виде

* = L sin ωt + L cosωt ,						(27.36)
1	2
где ω – круговая частота вынуждающей силы Pцб . Чтобы выполнить уравнение
(27.14), в него необходимо подставить выражение для						* и соответствующим
образом подобрать значения произвольных констант L1 и L 2 . Для этого потре-
буются выражения производных по времени:
&* = ωL cosωt − ωL		2	sin ωt ,
	1					(27.37)
&&* = −ω2 L sin ωt − ω2 L					cosωt .
				2
	1

После подстановки в (27.14) получим

- w2 L sin wt - w2 L			- 119 -
- w2 L sin wt - w2 L	2	coswt +
1	2
+ 2bwL1coswt - 2bwL 2sin wt +			(27.38)

+w02 L1 sin wt + w02 L2 coswt - Pmцб sin wt = 0 ,

иперепишем так

(- w2 L - 2bwL	2	+ w2 L - P		m)sin wt +
1	2	0 1	цб		(27.39)
+ (- w2 L	2	+ 2bwL	+ w2 L )coswt = 0 .		(27.39)
	2	1	0	2

Это уравнение должно быть справедливо в любой момент времени t. Требуется указать любое его частное решение. Очевидно, что уравнение выполнится, если будут равны нулю коэффициенты при синусах и косинусах:

ì- w2 L

- 2bwL

+ w2 L - P m = 0 ,

í- w2 L

цб

(27.40)

+ 2bwL

+ w2 L

= 0 .

Уравнения можно рассматривать как систему для определения констант L1 и L 2 .

Из второго находим

2= L1

2bω

(27.41)

- w2

подставим в первое:

w2 - w2

1= -

цб

(27.42)

(w2 - w02 )2

+ 4b2w2

Теперь исключим L1 из (27.41):

2= -

Pцб

2bw

(27.43)

(w2 - w02 )2 + 4b2w2

Частное решение (27.36) можно переписать по-другому, вновь использо-

вав, как и при записи (27.27), только функцию синуса:

D* = L sin wt + L

coswt = A* sin(wt + j* ) ,

(27.44)

где

- w

0 )

A* = L12+ L 22 =

цб

(

2 ù2

+ 4b

ê(w

- w0 )

Pцб

(27.45)

(w2 - w02 )2 + 4b2w2

L 2

2bω

j = arctg

= arctg

(27.46)

w2 - w02

В результате общее решение дифференциального уравнения (27.14), описы-

- 120 -

вающего движение системы с одной степенью свободы при наличии периодиче- ской возмущающей силы (27.5), возвращающей силы (27.7), пропорциональной отклонению, и силы вязкого трения (27.8), получается как сумма общего решения однородного уравнения (27.31) и частного решения неоднородного (27.44):

~	~ ~	*	*	(27.47)
D = A(t)sin(wt + j)+ A sin(wt + j ) .

Первое слагаемое этой суммы через некоторый промежуток времени ста- новится, согласно (27.30), исчезающе малым, после чего его можно не учиты- вать. Очень часто так и делают, не рассматривают его вообще, ограничиваясь при этом изучением только установившихся вынужденных колебаний, описы- ваемых вторым слагаемым. Хотя во многих случаях так можно поступать,

вотдельных случаях процесс начала колебаний, представляющий собой част- ный пример переходного процесса, может приводить к опасному для прочности конструкции или же для её работоспособности сложению амплитуд вынужден- ных и свободных колебаний. Свободные и вынужденные колебания происходят с разной частотой, в результате сложение амплитуд возникает непериодически,

вразличные моменты времени, обусловленные начальными условиями дина- мической задачи. Напомним, что чем выше амплитуда колебаний, тем выше и напряжения в конструкции и тем опаснее они для прочности. Таким образом, пренебрежение переходным процессом не всегда оказывается обоснованным.

Проанализируем второе слагаемое, описывающее вынужденные колеба- ния. Перепишем выражение для амплитуды этих колебаний (27.45):

цб

(27.48)

mw02

ö2

4b2w2

ç1

Обозначим

y = 2b . (27.49) w0

Эта величина характеризует затухание, поскольку содержит в числителе коэффи- циент вязкого трения b. Она очень напоминает логарифмический декремент коле- баний, который также характеризует затухание. В числителе формулы (27.49) от- сутствует множитель p, а в знаменателе вместо ω~ используется близкая к ней час- тота свободных колебаний ω0 . Обозначение (27.13) показывает, что

mw2 = C ,			(27.50)
0
но C – коэффициент жёсткости, поэтому
	Pцб	= D*ст ,	(27.51)
	C

где D*ст –		статическое перемещение точки,	в которой размещена масса m, от

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.08.2019195.58 Кб5Lection 5.doc
#
18.08.2019239.1 Кб2Lection 6.doc
#
04.11.2018179.83 Кб9lections.docx
#
15.04.2019980.99 Кб9lecton.DOC
#
12.03.20151.35 Mб117Lectures part1.pdf
#
12.03.20151.33 Mб23Lectures part2.pdf
#
26.04.20191.77 Mб9lekcii_po_nachertatelnoy_geometrii.doc
#
01.05.2025327.68 Кб2Lektsia_11.doc
#
01.05.2025569.34 Кб1Lektsia_12.doc
#
01.05.2025428.03 Кб0Lektsia_14.doc
#
16.04.201983.46 Кб2Lektsia_16 (1).doc