Lectures part2

- 102 -

Тема №26. Расчёты на прочность при ударе

Понятие удара. Основные гипотезы, принимаемые при решении за-

дачи удара

Ударом в теоретической механике называют такое взаимодействие аб- солютно твёрдых тел, при котором скорости этих тел изменяются на конеч- ную величину за относительно малый промежуток времени. В результате в момент удара тела испытывают большие ускорения. Очевидно, что вследствие

ускорений внутренние силы при ударе могут быть очень большими и опасными для прочности тел.

ивзаимодействовать с ним. Волны возникнут и в самом молоте. В результате

силы взаимодействия молота и стержня будут быстро и по сложному закону изменяться по времени. Движение молота будет замедляться и в некоторый момент остановится в нижней точке, когда деформации соударяющихся тел максимальны. После этого молот будет отброшен вверх на некоторую высоту

накопленной к моменту останова внутренней потенциальной энергией упругих деформаций. Очевидно, что в процессе удара рассеивается часть энергии, по- этому возврата молота на первоначальную высоту не произойдёт.

Можно сделать вывод, что решать задачу следует не в силах, поскольку си- лы слишком быстро меняются, а на основе энергетического подхода. Необходимы

иупрощающие гипотезы, позволяющие отбросить менее существенные детали этого сложного процесса. Значительное число практически важных задач можно решить, приняв следующие упрощающие предположения:

1.Местными явлениями смятия (пластическими деформациями) в первый

Удар падающего груза по упругой системе, масса которой мала по

сравнению с массой груза

Груз весом P падает с высоты H на упругую систему значительно меньшей массы, чем сам груз (рис. 26.2). Упругой системой могут быть изображённые на рисунке стержень (удар направлен вдоль его оси) и балка (удар направлен поперёк оси стержня) или любое другое упругое тело или система. Исходя из малости мас-

сы ударяемой системы, считаем, что инерцией обладает только груз, но не ма- териальные точки упругой системы. Считаем, что ударяющее тело весьма прочное и жёсткое и при решении задачи удара усилия и деформации в нём мож-

но не учитывать. Рассмотрим решение этой задачи на основе сформулированных гипотез.

С точки зрения прочности наибольший интерес вызывает момент макси- мального перемещения груза вниз, когда упругая система наиболее деформиро- вана и в ней возникают наибольшие напряжения. В этот момент груз останав- ливается, его кинетическая энергия становится равной нулю, а потенциальная энергия взаимного положения тел Π полностью переходит в потенциальную

Величина потенциальной энергии упругих деформаций ΠR , накапливае-

мая в упругой системе при статическом приложении силы R и равная работе, совершаемой при её приложении AR , записывается (как было показано при

рассмотрении выражений энергии) с коэффициентом 1/2

где д –перемещение, равное наибольшему перемещению ударяемой точки в

направлении удара, но вызванное статической силой R. Подставив сюда выра- жение для силы R из (26.3), получим

Согласно третьему упрощающему предположению, форма упругой сис- темы в момент останова ударяющего тела при ударе и в результате статическо- го приложении силы R получится одинаковой, поэтому и потенциальная энер- гия упругих деформаций в этих двух состояниях одинакова:

которое можно рассматривать как квадратное уравнение для определения д .

Но отношение PC есть отношение силы веса к коэффициенту жёсткости в

точке удара. Из определения коэффициента жёсткости, соответствующего форму- ле (26.3), следует, что это отношение равно перемещению точки удара в направ- лении удара от статического приложения силы P. Обозначим эту величину:

Теперь решение квадратного уравнения примет вид

Получающееся со знаком «минус» перед корнем отрицательное значение д нас не интересует, поэтому рассматриваем только одно решение:

том динамичности. Решение и должно было получиться в форме (26.21), по-

скольку форму упругой системы при статическом приложении силы удара и при ударе мы считали одинаковой. Естественно, что формы тела при статиче- ском приложении силы веса и силы удара в той же точке оказываются подоб- ными. Задача решается в линейной постановке, поэтому увеличение прогиба в kд раз приводит к увеличению во столько же раз всех величин задачи, в том

числе нормальных напряжений, которые особенно важны при проверке проч- ности:

Напряжения σст получаются при решении статической задачи от силы веса груза P.

ударяемого тела испытывают большие ускорения, т.е. удар в этом случае дей- ствительно происходит. Этот случай называют «внезапным» приложением на- грузки. Значение динамического коэффициента показывает, что уже в этом случае прогибы, напряжения и все другие величины задачи будут в два раза

- 107 -

больше, чем при статическом действии того же груза, что говорит об опасности ударной нагрузки для прочности конструкций. Часто высота H оказывается значительно больше малых перемещений ударяемого тела от статического дей- ствия груза. И тогда значение коэффициента оказывается весьма большим.

Полученная формула подсказывает и способ снижения динамического эффекта при ударе. Следует увеличивать статическое перемещение ударяемого тела. Значение динамического коэффициента может резко уменьшиться, если вместо обычных опор (рис. 26.2) балку поставить на податливые пружи- ны (рис. 26.3). Статическое и динамическое перемещения ударяемой точки

сложатся из перемещения от изгиба балки и перемещения вследствие осадки пружин. В результате статическое перемещение ст сильно возрастает, а дина-

мический коэффициент падает. Становится понятным, для чего на автомашины ставят рессоры.

Полученное решение, конечно, не всегда пригодно. Подобным способом невозможно решать, например, задачу удара автомобиля о вертикальную стен- ку, когда, несомненно, надо учитывать пластические деформации. Не годится оно и во многих других случаях. Решение также требует уточнения в части учё- та массы ударяемого тела, которую редко можно без существенной погрешно- сти считать малой по сравнению с массой ударяющего тела.

- 110 -

тема с одной степенью свободы, но без упругих элементов) коэффициент C приблизительно равен отношению Pl . Коэффициент A называется амплиту-

дой колебаний, причём очевидно A = max ; ϕ0 – фазовый угол, или фаза коле- баний; ω0 – круговая частота свободных колебаний.

Напомним, что из анализа синусоиды в формуле (27.2) следует, что вре-

и называется периодом колебаний. Обратная периоду величина показывает чис- ло колебаний в единицу времени:

ν0 = 1 , (27.4)

T0

и называется частотой колебаний.

При рассмотрении процесса колебаний весьма удобен энергетический подход. Когда отклонение от положения равновесия максимально (см. рис. 27.1), а тело неподвижно, в нем накапливается максимальная потенци- альная энергия Πmax (для колебаний упругого тела это потенциальная энергия

упругих деформаций). После начала движения к положению равновесия она начинает переходить в кинетическую энергию движущихся масс K. При про-

хождении положения равновесия потенциальная энергия упругих деформаций становится нулевой, кинетическая же энергия достигает максимального значе- ния Kmax . После прохождения положения равновесия возвращающая сила на-

чинает замедлять движение, кинетическая энергия падает, а потенциальная энергия вновь возрастает до максимального значения Πmax в противоположном

крайнем положении движущейся массы. Если рассеивания энергии нет, то по- сле обратного хода движущаяся масса вернётся в своё первоначальное, макси- мально отклонённое положение. Если бы не было рассеивания энергии, то про- цесс свободных колебаний продолжался бы неограниченно долго. Обычно же рассеивание энергии довольно значительно и свободные колебания быстро за- тухают. Редко когда число циклов свободных колебаний упругих систем выра- жается хотя бы сотнями единиц.