Lectures part2

из которого легко получается ограничение на гибкость стержня:

Подстановка в эту формулу реальных значений модуля упругости и предела пропорциональности для большинства реальных материалов даёт довольно

большие значения гибкости, например: для стали Ст. 3 при E = 2 ×105 МПа , σпц = 200МПа получаем l ³ 99,3 . Для стержня круглого поперечного сечения

бражен стержень, имеющий плоские торцы, сжимаемый двумя плоскими плитами (например, рабочими поверхностями испытательной машины). Чтобы найти вто- рую форму потери устойчивости необходимо рассматривать небольшие, но ко- нечные отклонения от исходного положения равновесия.

- 95 -

Эйлера (рис. 24.16). Считаем перемещения и деформации, в том числе прогибы v(x) , по-прежнему малыми, поэтому направления перерезывающих и осевых сил

можно считать параллельными осям, так что уравнения равновесия в проекциях на оси записываются как обычно. По-другому записывается только моментное уравнение, которое и рассмотрим. Как нетрудно видеть, осевая сила создаёт в де- формированном стержне дополнительный изгибающий момент, равный произве- дению этой силы на плечо, представляющее собой прогиб бруса:

Такой же момент возникал и в задаче Эйлера. В данной задаче этот момент увеличивает прогиб от поперечной изгибающей нагрузки. В результате, про- гиб v(x) является следствием одновременного действия двух видов нагрузки.

стержня) уравнением изогнутой оси стержня. Учтём это уравнение и выраже- ние (24.38). В результате получаем дифференциальное уравнение для опреде- ления прогиба стержня:

частного решения неоднородного уравнения. Однако последнее существенно зависит от вида поперечной нагрузки, и для каждой новой нагрузки его надо строить заново. Мы не будем здесь получать эти решения, они достаточно гро- моздки, их можно найти в рекомендованной литературе. Заметим, что из-за произведения Pv(x) задача оказывается нелинейной. Увеличение нагрузки Р в

некоторое число раз не ведёт к такому же увеличению прогиба от этой силы. Заметим, что тогда и принцип суперпозиции нарушается.

Вместо различных частных решений этой задачи рассмотрим более уни- версальный приближённый приём её решения. Обозначим момент поперечной нагрузки Mп . Предыдущее уравнение с его помощью запишется так:

- 96 -

От одной нагрузки Mп возникает прогиб vп (x) , связанный с изгибающим моментом уравнением изогнутой оси стержня:

Примем, что форма изогнутой оси балки при наличии осевой силы и без неё

близка к синусоидам

В этом и заключается основное допущение, делающее дальнейшее решение приближённым. Тогда из (24.43) получаем

Это выражение при произвольной по длине балки координате x равно нулю,

только если

При других способах закрепления балки часто пользуются этой же формулой, но под- ставляют другие, соответствующие иному закреплению значения критической силы.

Предполагая изгибающие моменты пропорциональными прогибам, для

них также принимают

Нормальные напряжения от изгиба вычисляют далее по моментам M z max . При

необходимости к ним добавляют напряжения от осевой силы.

Согласно полученному решению, при приближении осевой силы к крити- ческой прогибы стержня и напряжения в нём будут неограниченно возрастать.

- 97 -

ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И КОЛЕБАНИЯ

Тема №25. Динамические нагрузки. Принцип Д'Аламбера. Расчёт на

прочность при равномерном вращении

Понятие динамической нагрузки. Принцип Д'Аламбера

которое и выражает третий закон Ньютона. Напомним, что равновесия сил в данном случае нет, хотя силы и равны между собой, поскольку приложены эти силы к разным телам. Обратим специально внимание на то, что сила инерции масс ускоряемой балки приложена к действующему на балку телу, а не к самой балке.

- 98 -

Как известно, сила инерции равна по абсолютной величине произведению массы на ускорение:

а по направлению обратна ускорению. Ускорения в деформируемом теле пред- ставляют собой вторые производные по времени от перемещений его точек, в том числе и вследствие деформации тела (а не только из-за перемещений все- го тела как абсолютно твёрдого). Задачи определения сил и вычисления пере- мещений оказываются связанными, и проблема их решения сильно усложняет- ся.

Во многих практически важных задачах решение может быть относи- тельно легко получено, если воспользоваться принципом (аксиомой) Д’Аламбера, который в теоретической механике формулируется так: если к каждой из точек движущейся ускоренно системы, кроме фактически дейст- вующих на них сил, добавить силы инерции, то система материальных точек окажется в равновесии, а их силы взаимодействия будут такими же как дви- жущейся ускоренно системе.

В механике деформируемых тел этот принцип может быть сформулирован по-

другому: если к деформируемому твердому телу, движущемуся с ускорением, доба- вить силы инерции, то деформируемое твёрдое тело окажется в равновесии, а внутренние усилия в нём будут такими же, как и в движущемся ускоренно теле.

Вторая формулировка, конечно, следует из первой, но вторая полнее рас- крывает преимущества использования данного принципа в механике деформи- руемых тел.

при вращении деформируемых тел с постоянной угловой скоростью, если при- меним принцип начальных размеров (о нём говорилось во вводной теме курса).

Так, при решении задачи о равномерном вращении рамы, изображённой на рис. 25.3, с угловой скоростью ω считаем, что справедлив принцип началь- ных размеров, а потому при определении сил считаем раму недеформирован- ной. Тогда распределение масс известно до решения задачи, как и значения центростремительных ускорений её точек aц , определяемых равенством