lec8
.pdf
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) |
|
|
strts-online.narod.ru |
К1 |
|
|
+ |
К2 |
КО |
|
|
|
СВМ |
К3 |
|
|
+ |
К4 |
КО |
|
|
Рис.8.12. Структурная схема различителя двух квазидетерминированных |
|
|
сигналов |
Рассмотрим случай, когда на вход различителя поступает адди- |
|
тивная смесь первого сигнала и шума |
|
. |
|
|
Опорный сигнал коррелятора К1 ортогонален в усиленном |
||
смысле опорным сигналам корреляторов К3 |
и К4. Действительно, |
|
ортогональность в усиленном смысле |
и |
определена |
условием (8.41) рассматриваемого частного случая, а коэффици-
ент корреляции по комплексным огибающим для |
и |
ра- |
||||
вен |
|
|
||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Опорный сигнал коррелятора К2 ортогонален в усиленном смысле опорным сигналам корреляторов К3 и К4:
,
.
Соответственно, опорные сигналы корреляторов К3 и К4 ортогональны в усиленном смысле опорным сигналам корреляторов К1 и К2.
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
Тогда, с учѐтом результатов решения вспомогательной зада-
чи рис.8.11, можно утверждать, что отклики корреляторов |
и |
|||||
не коррелированны с |
и |
. Поскольку рассматривае- |
||||
мые случайные величины являются гауссовыми |
|
(получены ли- |
||||
нейным преобразованием гауссова процесса |
), то некоррели- |
|||||
рованность для них равнозначна независимости. |
Отклики корре- |
|||||
ляторов огибающих |
и |
, получаемые нелинейным безы- |
||||
нерционным преобразованием |
независимых пар |
, |
и |
|||
,, следовательно, также являются независимыми случай-
ными величинами, а их совместная ПРВ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Плотность распределения вероятностей |
из (5.49) с учѐ- |
||||||||||
том (8.41) |
|
|||||||||||
где |
. |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(8.44) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Плотность распределения вероятностей |
из (5.49) |
||||||||||
где |
. |
|
|
|
|
|
, |
(8.45) |
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вероятность ошибки при приѐме первого сигнала
(8.46)
,
где |
|
– ФРВ релеевской величины |
|
из (3.61).
Подставляя (8.45) и учитывая условие нормировки
,
выражение (8.46) продолжим следующим образом:
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.47) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полученный интеграл имеет структуру (7.73), при |
|
|
, |
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
с учѐтом этого (8.47) приведѐм к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(8.48) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
– максимальное отношение сигнал/шум на выходе |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
согласованного фильтра для сигнала |
или |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Ввиду симметрии решаемой задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||
из (8.19), (8.48) для вероятности ошибочного приѐма получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.49) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вероятность ошибочного приѐма определяется отношением сигнал/шум.
|
|
|
|
|
|
1 |
0.5 |
Pe |
|
|
|
|
10 2 |
|
|
|
|
|
||
0.4 |
|
|
|
|
|
10 4 |
0.3 |
|
|
AM |
|
|
10 6 |
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
10 8 |
|
ЧМ |
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
10 12 |
Pe
0 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 10 q |
|
|
|
|
|
|
|
АМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧМ |
|
Рис.8.13. Вероятность ошибочного различения сигналов со случайной начальной фазой в линейном и логарифмическом масштабе
В качестве примера ортогональных в усиленном смысле сигналов можно привести прямоугольные радиоимпульсы, отли-
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
чающиеся значением несущей частоты, так, чтобы их амплитудные спектры не перекрывались . В этом случае, как уже отмечалось, сигнал, получаемый при передаче последовательности двоичных символов, представляет собой час- тотно-манипулированный (ЧМ) сигнал. Возможны и другие способы построение ансамблей ортогональных в усиленном смысле сигналов. Зависимость вероятности ошибочного приѐма от максимального отношения сигнал/шум показана на рис.8.13 с пометкой «ЧМ».
8.6. Различение сигналов со случайной начальной фазой и амплитудой
8.6.1. Структура оптимального различителя сигналов со случайной начальной фазой и амплитудой
Ансамбль сигналов со случайной начальной фазой и амплитудой определяется выражениями
, (8.50)
где |
, |
-приведѐнная мгновенная фаза,
–приведенная несущая частота,
–независимые случайные величины, равномерно распреде-
лѐнные на интервале |
, |
– независимые случайные величины, распределѐнные по за- |
|
кону Релея с параметром |
. |
Оптимальный различитель реализует правило (8.10), где отношение правдоподобия даѐтся (7.74). В результате подстановки получим:
, (8.51)
где |
|
, |
- средняя энергия |
– го сигнала, |
|
- энергия сигнала |
. |
|
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
КО |
∑ |
КО |
∑ |
СВМ |
|
|
КО |
∑ |
Рис.8.14.а. Структурная схема оптимального различителя сигналов со случайной начальной фазой и амплитудой с корреляторами огибающих
СФ0 |
ДО |
∑ |
СФ1 |
ДО |
∑ |
СВМ |
|
|
||
|
|
|
СФM-1 |
ДО |
∑ |
|
|
Рис.8.14.б. Структурная схема оптимального различителя сигналов со случайной начальной фазой и амплитудой с согласованными фильтрами
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
Переходя к логарифмическим функциям от левой и правой частей неравенства, (8.51) перепишем в виде:
|
|
|
|
, |
(8.52) |
|
где |
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
Структурные схемы оптимального различителя сигналов со |
|||||
случайной начальной фазой и амплитудой, соответствующие (8.52), показаны на рис.8.14.а,б.
В частном случае, когда сигналы равновероятны, имеют одинаковую среднюю энергию и одинаковое значение парамет-
ров распределения величин |
, (8.52) перепишется в виде: |
|
|
, |
(8.53) |
Различение сигналов со случайной начальной фазой и амплитудой основано на многоканальном их сравнении с опорными сигналами по комплексным огибающим с последующим сравнительным анализом откликов каждого из каналов.
8.6.2. Помехоустойчивость различителя двух сигналов со случайной начальной фазой и амплитудой
Ввиду сложности и громоздкости подробного анализа помехоустойчивости различителя сигналов со случайной начальной фазой и амплитудой в данном разделе будут рассмотрены два частных случая.
Когда один из сигналов равен нулю , правило (8.52) можно переписать в виде:
, |
(8.54) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
||
|
|
|
|
|
||||||||
порог принятия решения;
– среднее максимальное отношение сигнал/шум
на выходе согласованного фильтра для сигнала |
. |
Структурная схема различителя сигналов, соответствующая |
|
(8.52) показана на рис.8.9 и аналогична структурной схеме разли-
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
чителя сигналов со случайной начальной фазой в подобном частном случае.
Будем рассматривать повторение опытов по различению сигналов (рис.8.10). При этом приходим к задаче о воздействии на коррелятор огибающих смеси сигнала со случайной начальной фазой и белого шума (когда передавался сигнал ) или только шума (когда сигнал не передавался), которая решена в п.5.4.
В случае, когда сигнал отсутствует ПРВ отклика коррелятора огибающих имеет распределение Релея (5.52) с параметром
. Вероятность ошибки – это вероятность того, что при отсутствии сигнала отклик КО превысит пороговое значение и будет принято решение о наличии сигнала. На осно-
вании (3.19), с учѐтом (3.61) и (3.79), запишем:
(8.55)
.
В случае, когда сигнал присутствует, отклик КО также имеет распределение Релея (5.63) с параметром (5.65)
. Вероятность ошибки – это вероятность того, что при наличии сигнала отклик КО будет меньше порога принятия решения и будет принято решение об отсутствии сигнала. На основании (3.19), с учѐтом (3.57), находим:
(8.56)
.
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
Вероятность ошибки найдѐтся подстановкой (8.55) и (8.56) в
(8.19):
(8.57)
.
В частном случае, когда сигналы передаются с одинаковой вероятностью (8.57) перепишем в виде:
(8.58)
.
График зависимости вероятности ошибочного приѐма от среднего максимального отношения сигнал/шум (8.58) показан на рис.8.15 с пометкой «АМ».
Рассмотрим второй частный случай, когда сигналы ортогональны в усиленном смысле, имеют одинаковые средние энергии,
а их передача |
равновероятна: |
, |
, |
|||
, |
|
|
, |
– независимые одинаково распре- |
||
|
||||||
делѐнные релеевские случайные величины.
Правило принятия решения (8.53) перепишется следующим образом:
, |
(8.59) |
Структурная схема различителя показана на рис.8.12. |
В п.8.5.2 |
показано, что отклики корреляторов огибающих и являются независимыми случайными величинами с совместной ПРВ
.
Пусть на вход различителя поступает аддитивная смесь первого сигнала и шума
,
При этом, как показано в п.5.4, отклики корреляторов огибающих имеют распределение Релея (5.63):
, |
(8.60) |
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
|
|
|
|
|
, |
где |
, |
. |
|
||
|
|
||||
Вероятность ошибки при приѐме первого сигнала (аналогично
(8.46))
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (8.61) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– ФРВ величины |
из (3.61). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Выражение |
(8.61) |
с |
|
|
|
учѐтом |
условия |
нормировки |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
продолжим следующим образом: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.62)
,
где |
|
- среднее максимальное отношение сигнал/шум |
|
на выходе согласованного фильтра.
Ввиду симметрии решаемой задачи для вероятности ошибочного приѐма получаем
. (8.63)
График зависимости вероятности ошибочного приѐма от среднего отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра показан на рис.8.15 с пометкой «ЧМ».
На рис.8.16 совмещены все характеристики помехоустойчивости, полученные в п.8. Сплошными линиями показаны зависимости при различении детерминированных сигналов (рис.8.7), пунктирными – при различении сигналов со случайной начальной фазой (рис.8.13), штрихпунктирные линии соответствуют
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
различению сигналов со случайной начальной фазой и амплиту-
дой (рис.8.15).
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
20 40 60 80 100qсф.ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Pe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 1 |
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
АМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
АМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
ЧМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
qсф.ср |
|
ЧМ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 4 |
|
|
Pe
Рис.8.15. Вероятность ошибочного приѐма сигналов со случайной начальной фазой и амплитудой в линейном
и логарифмическом масштабе
0.6 |
Pe |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 10 q |
|
|
0 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
|
|
|
|||||||||
0.5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
10 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
Pe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.8.16. Вероятность ошибочного приѐма (сравнительный анализ)
Главная страница