lec8
.pdf
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
ного приѐма окончательно получим:
(8.27)
.
В большинстве практических случаев символы 0 и 1 являются равновероятными, что обусловлено их «равноправностью»
при представлении информации, |
|
, при этом |
|
и |
||||||||
|
|
|||||||||||
(8.27), с учѐтом свойства |
|
, при подстановке |
||||||||||
|
|
|
|
|
, принимает вид: |
|
|
|
(8.28) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вероятность ошибочного приѐма определяется средним арифметическим энергий сигналов, уровнем шума и коэффициентом
корреляции между сигналами. Так как |
- монотонная функ- |
||
ция, то при заданном отношении |
|
наибольшую помехоустой- |
|
|
|||
чивость обеспечивает использование сигналов, для которых нормированный коэффициент корреляции минимален.
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1. Один из сигналов равен нулю, что соответствует так называе-
мой системе передачи информации с пассивной паузой |
, |
|||||||||
|
. При этом |
, |
|
|
, |
|
, вероятность оши- |
|||
|
|
|||||||||
бочного приѐма из (8.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(8.29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
- максимальное отношение сигнал/шум на выходе |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
согласованного фильтра для сигнала |
|
. |
|
|
||||||
Сигнал, получаемый при передаче последовательности двоичных символов с пассивной паузой, представляет собой один из видов амплитудно-манипулированных (АМ) сигналов. Пример АМ сигнала, соответствующего последовательности 101101 показан на рис. 8.6.
2. Энергии сигналов равны, что соответствует так называемой
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
системе передачи информации с активной паузой. Система передачи информации с равновероятными сигналами одинаковой
энергии называется симметричной. При этом |
. |
||||
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
t |
t
t |
Рис.8.6. Примеры АМ, ЧМ и ФМ сигналов (схематично)
2.1. В случае ортогональных сигналов |
|
с равными энер- |
|||||||
гиями (8.28) перепишется следующим образом: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(8.30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||||
где |
|
|
- максимальное отношение сигнал/шум на выходе |
||||||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
согласованного фильтра для сигнала |
или |
. |
|||||||
|
В простейшем случае ортогональные сигналы представляют |
||||||||
собой прямоугольные радиоимпульсы, отличающиеся значением несущей частоты, так, чтобы их амплитудные спектры не перекрывались . Тогда равенство нулю коэффициента взаимной корреляции следует из (5.6). Сигнал, получаемый при передаче последовательности двоичных символов, представляет собой частотно-манипулированный (ЧМ) сигнал. Схематично пример ЧМ сигнала, соответствующего последовательности 101101 показан на рис. 8.6.
2.2. В случае противоположных сигналов нормированный коэффициент взаимной корреляции достигает минимального значения и (8.28) даѐт
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
. |
(8.31) |
В качестве примера противоположных сигналов можно рассмотреть прямоугольные радиоимпульсы, разность фаз которых равна . Соответствующий сигнал, получаемый при передаче последовательности двоичных символов, является фазоманипулированным (ФМ) сигналом. Схематично пример ФМ сигнала, соответствующего последовательности 101101 показан на рис. 8.6.
Анализ (8.29)-(8.31) показывает, что в случае равновероятных сигналов помехоустойчивость различителя определяется коэффициентом их взаимной корреляции и отношением сигнал/шум на выходе согласованного фильтра. Графики зависимости вероятности ошибочного приѐма от отношения сигнал/шум для рассмотренных частных случаев показаны на рис.8.7.
|
|
1 |
0 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 10 q |
|
|
|
|||||||||
0.6 |
Pe |
10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.5 |
|
10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
АМ |
10 6 |
|
|
|
|
|
|
|
АМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0.3 |
|
10 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
ФМ |
|
|
|
|
|
|
|
ЧМ |
||
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 2 3 4 5 |
6 10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pe |
|
|
|
|
|
ФМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.8.7. Вероятность ошибочного приѐма в линейном и логарифмическом масштабе
8.5.Различение сигналов со случайной начальной фазой
8.5.1.Структура оптимального различителя сигналов
со случайной начальной фазой
Ансамбль сигналов со случайной начальной фазой определяется выражениями
, (8.32)
где |
, |
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
-приведѐнная мгновенная фаза,
–приведенная несущая частота,
–независимые случайные величины, равномерно распреде-
лѐнные на интервале .
Оптимальный различитель реализует правило (8.10), где отношение правдоподобия даѐтся (7.54). В результате подстановки получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(8.33) |
где |
|
|
|
|
- опорные сигналы КО. |
|
|||
Переходя к логарифмическим функциям от левой и правой частей неравенства, (8.33) перепишем в виде:
|
|
|
|
, |
(8.34) |
||
где |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Соответствующие схемы оптимального различителя сигналов со случайной начальной фазой показаны на рис.8.8а,б.
В частном случае, когда сигналы равновероятны
|
и имеют одинаковую энергию |
, будем иметь одинако- |
|
|
|||
вые , а вместо (8.34), с учѐтом монотонности |
, запишем |
||
|
|
, |
(8.35) |
при этом в схемах рис.8.8 остаются только корреляторы огибающих, согласованные фильтры и схема выбора максимума (ср. с
рис.5.1).
В основу оптимального различения сигналов со случайной начальной фазой в рассматриваемом случае положено их многоканальное сравнение с опорными сигналами без учѐта начальных фаз с последующим анализом значений модуля коэффициента корреляции комплексных огибающих.
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
КО |
∑ |
КО |
∑ |
СВМ |
|
|
КО |
∑ |
Рис.8.8.а. Структурная схема оптимального различителя сигналов со случайной начальной фазой с корреляторами огибающих
СФ0 |
ДО |
∑ |
СФ1 |
ДО |
∑ |
СВМ |
|
|
||
|
|
|
СФM-1 |
ДО |
∑ |
|
|
Рис.8.8.б. Структурная схема оптимального различителя сигналов со случайной начальной фазой с согласованными фильтрами
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
8.5.2. Помехоустойчивость различителя двух сигналов со случайной начальной фазой
Анализ помехоустойчивости различителя сигналов со случайной начальной фазой является сложным и математически громоздким, поэтому в данном разделе будут рассмотрены два частных случая.
Когда один из сигналов равен нулю , правило (8.34) можно переписать в виде:
|
, |
(8.36) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
- порог принятия решения; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
- максимальное отношение сигнал/шум на выходе со- |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
гласованного фильтра для сигнала |
. |
|||||||
|
Структурная схема различителя сигналов, соответствующая |
|||||||
(8.36) показана на рис.8.9 и аналогична структурной схеме обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой (рис.7.8). При
этом передача сигнала |
|
эквивалентна отсутствию сигна- |
||||||
ла, а передача |
– его наличию. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КО |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СФ 
ДО 
h 
Рис.8.9. Структурные схемы оптимального различителя квазидетерминированных сигналов
Будем рассматривать повторение опытов по различению сигналов (рис.8.10). При этом приходим к задаче о воздействии на коррелятор огибающих смеси сигнала со случайной начальной фазой и белого шума (когда передавался сигнал ) или только шума (когда сигнал не передавался), которая решена в п.5.4.
В случае, когда сигнал отсутствует ПРВ отклика коррелято-
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
ра огибающих имеет распределение Релея (5.52) с параметром
. Вероятность ошибки – это вероятность того, что при отсутствии сигнала отклик КО превысит пороговое значение и будет принято решение о наличии сигнала. На основании (3.19), с учѐтом (3.61), запишем:
(8.37)
.
КО 
h 
Рис.8.10. К расчѐту характеристик помехоустойчивости различителя
В случае, когда сигнал присутствует, отклик КО имеет рас-
пределение Райса (5.49) |
с параметрами |
и |
. |
Вероятность ошибки |
– это вероятность того, |
что при |
|
наличии сигнала отклик КО будет меньше порога принятия решения и будет принято решение о отсутствии сигнала. На основании (3.19), с учѐтом (3.57), запишем:
(8.38)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В интеграле сделаем замену переменной |
|
|
, и учтѐм, что |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (8.39)
Подставляя (8.37) и (8.39) в (8.19) для вероятности ошибочного приѐма получим:
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
(8.40)
.
Интеграл в (8.38) - (8.40) в элементарных функциях не выражается и может быть рассчитан численно. В частном случае
больших отношений сигнал/шум, когда |
|
(см. п.3.3), |
|
|
|||
ФРВ Райса |
удовлетворительно аппроксимируется ФРВ |
||
Гаусса (см. (3.58)), при этом (8.38) и (8.40) принимают вид:
. (8.38а)
(8.40а)
.
Вероятность ошибочного приѐма в рассмотренном случае определяется априорными вероятностями передачи сигналов и максимальным отношением сигнал/шум на выходе фильтра согласованного с сигналом . График зависимости вероятности ошибочного приѐма (8.40) от отношения сигнал/шум при показана на рис.8.13 с пометкой «АМ».
Перейдѐм к рассмотрению второго частного случая, когда сигналы передаются с одинаковыми априорными вероятностями
и имеют равные энергии .
Общий анализ помехоустойчивости различителя двух сигналов со случайной начальной фазой показывает, что наибольшая помехоустойчивость при указанных условиях обеспечивается когда соответствующие опорные сигналы имеют ортогональные комплексные огибающие, то есть
. |
(8.41) |
Такие сигналы называются ортогональными в усиленном смысле. Из (5.30) следует, что для ортогональных в усиленном смысле сигналов коэффициент взаимной корреляции также равен нулю
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
|
|
|
. |
(8.42) |
Прежде чем рассматривать указанный частный случай, ре- |
||||
шим вспомогательную задачу (рис.8.11). |
|
|||
|
|
|
Пусть на вход корреляторов с ор- |
|
|
К |
|
||
|
тогональными в усиленном |
смысле |
||
|
|
опорными сигналами |
и |
|
|
|
|||
|
|
( |
) поступает аддитивная смесь |
|
|
|
белого шума и квазидетерминирован- |
||
|
|
ного сигнала: |
|
|
|
К |
|
||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
.
Покажем, что отклики корреляторов являются некоррелированными случайными величинами.
Коэффициент взаимной корреляции:
.
Отклик коррелятора с опорным сигналом
|
|
. |
|
|
|
||
С учѐтом (5.32) |
|
, поэтому |
|
|
|||
|
|
. |
|
|
|||
Математическое ожидание |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
|
Так как случайные величины |
и независимы |
|
|
||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
Поскольку равномерно распределена на интервале |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
Далее, учитывая, что |
- центрированный процесс, |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Отклик коррелятора с опорным сигналом |
: |
|
|||||
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
|
|
. |
С учѐтом (5.30) |
(в силу равен- |
|
ства нулю |
), поэтому |
|
|
|
. |
Математическое ожидание |
|
|
|
|
. |
Возвращаясь к коэффициенту взаимной корреляции откликов корреляторов, запишем
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
Так как случайные величины |
, и случайный процесс |
не- |
||||||||||
зависимы, |
|
|
|
|
|
. |
||||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
В последнем интеграле |
|
|
- |
корреля- |
||||||||
|
||||||||||||
ционная функция процесса |
. С учѐтом этого |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (8.43) видно, что ортогональность опорных сигналов определяет некоррелированность откликов корреляторов. В силу очевидной симметрии задачи, некоррелированность откликов бу-
дет иметь место и в том случае, когда |
. |
Отметим также, что проведѐнные рассуждения нетрудно по- |
|
вторить и для случая, когда случайная величина |
приняла из- |
вестное значение, при этом снова приходим к (8.43).
Вернѐмся к анализу помехоустойчивости различения двух сигналов со случайной начальной фазой. Структурная схема различителя, соответствующая (8.35) показана на рис.8.12.