
- •Глава 3. Динамические характеристики систем автоматического управления.
- •3.1.1. Ачх и фчх при последовательном соединении
- •3.1.2. Логарифмические частотные характеристики
- •3.1.3. Прямое и обратное преобразование Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа.
- •3.1.4. Единичная ступенчатая функция Хевисайда. Функция Дирака. Типовые временные характеристики. Взаимосвязь временных характеристик
- •Вопросы к главе 3.
- •Глава 4. Типовые линейные звенья
- •Представление передаточной функции через сомножители
- •Простейшие звенья
- •4.2.1. Пропорциональное (безинерционное) звено
- •Интегрирующее звено
- •Дифференцирующее звено
- •Звенья первого порядка
- •Инерционное звено первого порядка
- •Звенья второго порядка
- •Вопросы к главе 4.
- •Глава 5. Устойчивость систем автоматического управления.
- •5.1. Понятие устойчивости
- •5.2. Условие устойчивости линеаризованных систем. Прямой метод исследования устойчивости, его геометрическая интерпретация.
- •5.3. Алгебраические критерии устойчивости.
- •5.3.1. Критерий Вышнеградского
- •5.3.2. Критерий Гурвица
- •5.3.3. Критерий Рауса
5.3. Алгебраические критерии устойчивости.
Алгебраические
критерии устойчивости позволяют судить
об устойчивости системы по коэффициентам
характеристического уравнения
,
являющегося знаменателем передаточной
функции.
Рассмотрим следующие алгебраические критерии: критерий Вышнеградского, критерий Гурвица и критерий Рауса.
5.3.1. Критерий Вышнеградского
- Критерий Вышнеградского применяется для исследования систем автоматического регулирования 3-го порядка с характеристическим уравнением
(59)
Уравнение (59) приводится к нормализованному виду:
(60)
Для подстановки
в уравнение (60) вводится переменная
.
После преобразований
выражение (60) приобретает вид
.
Переменные Х и У выражаются через коэффициенты исходного уравнения. Условием устойчивости является неравенство ХУ >1. При ХУ = 1 система находится на колебательной границе устойчивости. Линия ХУ = 1, изображенная на рисунке 52, отображает границу устойчивости на плоскости ХУ и называется гиперболой Вышнеградского.
Рис. 52. Гипербола Вышнеградского
5.3.2. Критерий Гурвица
Критерий Гурвица применяется для определения устойчивости системы по значениям коэффициентов характеристического уравнения.
Применение данного критерия требует построения главного определителя Гурвица и вычисления определителей Гурвица. Главный определитель Гурвица имеет n-й порядок, где n - степень характеристического уравнения.
По главной диагонали определителя записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты от а1 до аn. Вверх от главной диагонали столбцы заполняют коэффициентами с последовательно возрастающими индексами, вниз заполняют коэффициентами с последовательно убывающими индексами. Вместо отсутствующих коэффициентов ставят нули. В последнем столбце остается одно ненулевое значение аn.
Определители
младшего порядка получают как диагональные
миноры определителя
,
и т.д.
Критерий Гурвица требует, чтобы все определители Гурвица были больше 0 (при условии, что а0 больше нуля). Если хотя бы один определитель меньше 0, система неустойчива.
Система находится на колебательной границе устойчивости при совместном соблюдении следующих условий:
1)
2)
3)
4)
Апериодическая граница устойчивости требует соблюдения следующих условий:
1)
2)
3)
4)
5.3.3. Критерий Рауса
Для определения
устойчивости САУ по критерию Рауса
требуется построить таблицу Рауса и
исследовать знаки элементов ее первого
столбца. Построение таблицы Рауса
показано в таблице 3. В
первой строке таблицы ставят коэффициенты
с четными, а во второй – с нечетными
последовательно возрастающими индексами.
Элементы третьей и последующих строк
находятся с использованием вспомогательных
коэффициентов через элементы следующего
столбца двух предыдущих строк.
Вспомогательные коэффициенты
определяются как отношение элементов
первого столбца двух предыдущих строк.
Таблица 3. Таблица Рауса.
Вспомогательный коэффициент |
Столбец№
№ строки |
|
|
|
... |
– |
|
|
|
|
... |
– |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
В последней (n+1)
строке остается только один ненулевой
элемент. Система устойчива, если все
элементы 1-го столбца таблицы Рауса
больше 0 при условии, что
.
Если хотя бы один элемент первого столбца
меньше нуля, то система неустойчива.
Система находится на апериодической
границе устойчивости, если
и на колебательной границе устойчивости,
если предпоследний элемент первого
столбца равен 0, остальные положительны.
Данный критерий имеет преимущественное
применение для системы высокого порядка,
так как сложность вычислений с увеличением
порядка не повышается.