3. Звенья первого порядка

К звеньям первого порядка относятся инерционное звено первого порядка, форсирующее звено, инерционно-дифференцирующее звено, инерционно- форсирующее звено

1. Инерционное звено первого порядка

Дифференциальная форма записи инерционного звена первого порядка .

Операторная форма записи

Форма записи в изображениях по Лапласу

Передаточная функция в операторной форме записи

Передаточная функция в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях .

АФХ инерционного звена первого порядка

.

На комплексной плоскости АФХ расположена в четвертом квадранте (рис. 35) и представляет собой полуокружность, построенную на отрезке вещественной оси с центром в точке .

Рис. 35. АФХ инерционного звена первого порядка.

АЧХ описывает выражение

ФЧХ определяет уравнение .

ЛАЧХ вычисляется по формуле . Для практических расчетов пользуются приближенной асимптотической ЛАЧХ , которая состоит из низкочастотной и высокочастотной асимптот

. (49)

Частота называется сопрягающей частотой. Она соответствует общей точке сопряжения приближенной асимптотической ЛАЧХ (49). Данная частота имеет большое значение при построении ЛАЧХ и ЛФЧХ, которые представлены на рисунке 36.

Переходная функция инерционного звена первого порядка описывает выражение

(50)

Переходная характеристика является экспонентой, асимптотически стремящейся к установившемуся значению k.

Свойства переходной характеристики:

Рис. 36. ЛАФХ и ЛФЧХ инерционного звена первого порядка.

- Свойство касательной к экспоненте. Проекция на ось времени отрезка касательной, заключенного между точкой касания и точкой пересечения с линией установившегося значения, всегда равна Т. Свойство касательной к экспоненте продемонстрировано на рисунке 37.

- В выражении (50) экспонента зависит от относительного времени . Данная зависимость позволяет использовать нормированные характеристики h(τ), т.е. позволяет перейти к абсолютному времени, используя Т как масштаб времени. Данной свойство позволяет приводить в справочниках нормированные характеристики.

Рис.37. Свойство касательной к экспоненте.

Весовая функция инерционного звена первого порядка асимптотически стремится к нулю . Данное звено является наиболее распространенным. Примеры его реализации даны в таблице 2.

Таблица 2. Представления инерционных звеньев второго порядка

Название инерционного звена первого порядка	Представление
Интегрирующая цепь для высоких частот
Генератор постоянного тока после его линеаризации (ПД – приводной двигатель)
Операционный усилитель

2. Форсирующее звено.

Форсирующее звено ускоряет переходные процессы за счет компенсации инерционности звеньев

Дифференциальная форма записи форсирующего звена .

Операторная форма записи .

Форма записи в изображениях по Лапласу форсирующего звена .

Передаточная функция в операторной форме записи .

Передаточная функция в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях .

Передаточная функция форсирующего звена является обратной по отношению к передаточной функции инерционного звена первого порядка. Следствием этого является то, что при последовательном включении инерционного звена первого порядка и форсирующего звена возможна полная компенсация инерционности звеньев

АФХ форсирующего звена .

АФХ представляет собой прямую вертикальную линию на комплексной плоскости, которая изображена на рисунке 38.

Рис. 38. АФХ форсирующего звена

АЧХ описывает выражение

ФЧХ определяет уравнение .

ЛАЧХ вычисляется по формуле , ее асимптотическое представление

ЛФЧХ форсирующего звена представляет собой зеркальное отражение инерционного звена первого порядка.

ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена изображены на рисунке 39.

Переходную функцию форсирующего звена описывает выражение вида .

Рис. 39. ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена

3. Инерционно-дифференцирующее звено.

Инерционно-дифференцирующее звено можно представить как последовательное соединение инерционного звена первого порядка и форсирующего звена, изображенное на рисунке 40.

Рис. 40. Представление инерционно-дифференцирующего звена.

Дифференциальная форма записи инерционно-дифференцирующего звена .

Операторная форма записи .

Форма записи в изображениях по Лапласу .

Передаточная функция в операторной форме записи .

Передаточная функция в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях .

АФХ инерционно-дифференцирующего звена

.

АФХ инерционно-дифференцирующего звена представляет собой полуокружность, которая расположена в первом квадранте комплексной плоскости. Ее графическое изображение дано на рисунке 41.

Рис. 41. АФХ форсирующего звена

АЧХ описывает выражение

ФЧХ определяет уравнение .

Логарифмические частотные характеристики можно построить по соответствующим характеристикам инерционного звена первого порядка и форсирующего звена, используя правила преобразования последовательно соединенных звеньев.

На рисунке 42 показано построение ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционно-дифференцирующего звена.

Рис. 42. ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционно-дифференцирующего звена.

ЛАЧХ инерционно-дифференцирующего звена

ЛФЧХ инерционно-дифференцирующего звена

Переходная функция инерционно-дифференцирующего звена .

Следует заметить, что переходная функция инерционно-дифференцирующего звена совпадает с весовой функцией инерционного звена.

На рисунке 43 представлены примеры инерционно-дифференцирующих звеньев. Это дифференцирующая цепь, операционный усилитель, трансформатор, гидромеханическое устройство.

Дифференцирующая цепь

Операционный усилитель

Трансформатор

Гидромеханическое устройство (х – вход, у –выход, 1-пружина, 2 - пор шень 3-цилиндр)

Рис. 43. Примеры инерционно-дифференцирующих звеньев

4. Инерционно-форсирующее звено

Дифференциальная форма записи инерционно-форсирующего звена .

Операторная форма записи

Форма записи в изображениях по Лапласу

Передаточная функция в операторной форме записи инерционно-форсирующего звена

Передаточная функция в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях .

Для удобства анализа частотных характеристик инерционно-форсирующее звено можно представить как последовательное соединение инерционного и форсирующего звена анализа, изображенное на рисунке 44.

Рис. 44. Представление инерционно-форсирующее звена в виде последовательного соединения инерционного и форсирующего звена.

АФХ инерционно-форсирующего звена

АЧХ описывает выражение

ФЧХ определяет уравнение

.

ЛАЧХ инерционно-форсирующего звена согласно свойств последовательно соединенных звеньев определяется как сумма ЛАЧХ инерционного и форсирующего звеньев. ЛФЧХ инерционно-дифференцирующего звена.

ЛФЧХ инерционно-форсирующего звена согласно свойств последовательно соединенных звеньев определяется как сумма ЛФЧХ инерционного и форсирующего звеньев.

Свойства инерционно-форсирующего звена зависят от соотношения . При преобладают форсирующие свойства, при - инерционные свойства. На рисунке 45 представлены ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционно-форсирующего звена при и . ЛФЧХ имеет экстремум при частоте .

Рис.45. ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционно-форсирующего звена при и .

Для определения динамических характеристик инерционно-форсирующее звено удобно представить как параллельное соединение инерционного и инерционно-дифференцирующего звеньев первого порядка, изображенное на рисунке 46.

Рис. 46. Представление инерционно-форсирующего звена как параллельного соединения инерционного и инерционно-дифференцирующего звеньев первого порядка.

Используя принцип суперпозиции, переходная функция при таком представлении запишется как

.

Примеры инерционно-форсирующих звеньев изображены на рисунке 47.

Рис. 47. Инерционно-форсирующие звенья