Глава 3. Динамические характеристики систем автоматического управления.

Динамические характеристики определяют свойства системы, когда на ее вход подают сигналы, меняющиеся во времени. В зависимости от вида входного воздействия различают временные и частотные характеристики. На рисунке 28 показана классификация динамических характеристик систем автоматического управления.

Рис. 28. Классификация динамических характеристик.

1. Частотные характеристики. Физический смысл частотных характеристик.

Рассмотрим уравнение в операторной форме для линейной системы (11). Для системы с одним входом по управлению выражение (11) преобразуется к виду

(28)

Его передаточная функция

(29)

Найдем математическое описание вынужденного движения системы, описываемого уравнением (28) при подаче на ее вход гармонического воздействия . Общее решение системы имеет вид:, где- общее решение неоднородного уравнения, а- частное решение неоднородного уравнения. Составляющаяопределяет свободное движение или переходной процесс. В устойчивых системах она со временем затухает. Вынужденное решение описывает частное решение. Пусть на вход подается гармонический сигнал. Используя формулу Эйлера для преобразования гармонической функции, входной сигнал преобразуется к виду. Данное преобразование представляетв виде суммы двух сигналов

(30)

где , а.

Частное решение уравнения (28) будем искать в виде

(31)

Используя формулу Эйлера и принцип суперпозиции выражение (31) преобразуется к виду

(32)

где , а.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

Подставив по очереди первые и вторые слагаемые выражений (30) и (32) в уравнение (28), имеем соотношения:

для первого слагаемого и

для второго слагаемого

Выражение для первой составляющей выходного сигнала преобразуется к виду:

(33)

Это есть не что иное, как произведение передаточной функции на входной сигнал . Оператор дифференцирования р в передаточной функции (29) приобретает значениесоответствующей степени как результат операции дифференцирования. Соответственно уравнение (33) можно записать в следующем виде

Рассуждая аналогичным образом, получают решение для второго слагаемого выражения (32)

Сложив между собой результаты выражений для и, получают представление уравнения (32) для описания вынужденного движения системы при гармоническом воздействии

(34)

Таким образом, полученное решение в виде уравнения (34) позволяет сделать вывод, что при гармоническом воздействии в устойчивых системах выходная величина также изменяется по гармоническому закону, но с другими значениями амплитуды и фазы.

При этом отношение амплитуд входной и выходной величин равны модулю, а сдвиг фаз – аргументу передаточной функции. С точки зрения практического применения это означает, что в уравнение для передаточной функции (29) вместо оператора дифференцирования р следует подставить . Полученное выражение определяет амплитудно-фазовую характеристику (АФХ)

(35)

АФХ - зависимость отношения комплексов выходного и входного сигналов от частоты . АФХ имеет две формы записи: в показательной -и в алгебраической -. Уравнение (35) определяет алгебраическую форму записи.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - это зависимость амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала в зависимости от частоты:

(36)

Фазо - частотная характеристика (ФЧХ) - зависимость разности (сдвига) фаз колебаний выходного и входного сигналов от частоты:

(37)

Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) – это зависимость действительной части АФХ от частоты, мнимая частотная характеристика (МЧХ) – зависимость мнимой части АФХ от частоты.

Характеристики АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ являются скалярными величинами и строятся в прямоугольной системе координат, где по оси абсцисс откладывается частота, а по оси ординат соответствующая функция.

АФХ не является скаляром. Каждое значение АФХ – комплексная величина, которая рассматривается как вектор на комплексной плоскости с координатами и. АФХ есть годограф векторапри изменении частоты от 0 до. На рисунке 29 дана представление АФХ на комплексной плоскости.

Рис.29. Представление АФХ на комплексной плоскости

Длина вектора, проведенного из начала координат в любую точку годографа характеризует значение АЧХ, а угол между положительным направлением вещественной полуоси и вектором дает значение ФЧХ для заданного значения частоты.

Формула (35) для вычисления АФХ позволяют выразить АЧХ и ФЧХ через ВЧХ и МЧХ. Уравнение (36) для расчета АЧХ приобретет вид

Выражение (37) для ФЧХ запишется как

при

При к правой части последнего равенства следует добавитьрад для получения углов во втором и третьем квадрантах комплексной плоскости.