4. Звенья второго порядка

-

Звенья второго порядка описываются дифференциальными уравнениями второго порядка как в левой, так и в правой части уравнения

(51)

В зависимости от значений коэффициентов уравнения (51) различают следующие виды уравнения второго порядка:

- инерционное звено второго порядка (если и ).

- дифференцирующее звено второго порядка (если и ).

1. Инерционное звено второго порядка

Дифференциальная форма записи инерционного звена второго порядка .

Операторная форма записи .

Форма записи в изображениях по Лапласу .

Передаточная функция в операторной форме записи

(52)

Передаточная функция в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях

(53)

АФХ инерционного звена второго порядка

.

АЧХ описывает выражение

ФЧХ определяет уравнение .

Из курса математики известно, что любой многочлен может быть разложен на множители через его корни. Корни знаменателя полинома (53), являющегося характеристическим уравнением, определяются по формуле

(54)

Инерционное звено второго порядка, описываемое передаточной функцией (53) есть последовательное соединение двух инерционных звеньев первого порядка. Свойства инерционного звена второго порядка зависят от величины степени затухания ξ. При ξ>1 знаменатель имеет два разных отрицательных действительных корня, т.е. звено можно представить как два последовательно соединенных инерционных звена первого порядка с разными значениями постоянных времени. Такое звено называется апериодическим из-за непериодического характера переходного процесса. При ξ=1 знаменатель имеет два одинаковых действительных корня и звено второго порядка может быть рассмотрено как два последовательно соединенных инерционных звена первого порядка с одинаковым значением постоянных времени. При 0<ξ<1 знаменатель имеет комплексно сопряженные корни и именно для этого случая рассматриваемое звено второго порядка называется колебательным. При ξ=0 знаменатель имеет мнимые сопряженные корни , где - частота собственных незатухающих колебаний. Такое звено называется консервативным, поскольку оно имеет постоянную амплитуду колебаний

• колебательное звено. (0<ξ<1)

Переходная функция колебательного звена

.

Импульсная переходная (весовая) функция колебательного звена

АФХ колебательного звена проходит через четвертый и третий квадранты комплексной плоскости как показано на рисунке 48.

Рис. 48. АФХ колебательного звена.

Частота ω_с называется сопрягающей частотой. Ее величина определяется как . При уменьшении ξ на графике АФХ инерционного звена второго порядка увеличивается длина векторов при частотах, близких к ω_с. В этом проявляются резонансные свойства колебательного звена, где ω_р– есть частота собственных незатухающих колебаний. При частотах, близких к резонансной частоте на основании выражения (54) частота собственных незатухающих колебаний определяется по формуле В пределе, при ξ=0, когда звено становится консервативным, характеристическое уравнение имеет мнимые сопряженные корни, ее величина определяется как , АФХ вырождается в две полупрямые, уходящие в бесконечность на вещественной оси, и характеристика имеет разрыв второго рода.

Переходная и весовая характеристики показаны на рисунке 49.

Переходная характеристика колебательного звена

Весовая характеристика колебательного звена

Рис. 49. Характеристики колебательного звена

ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена показано на рисунке 50. На низких частотах, когда амплитуда приблизительно равна 1, а фаза нулю. На высоких частотах при амплитуда асимптотически стремится к величине . ЛАЧХ спадает с наклоном -40дБ/дек. В этом диапазоне фазовая характеристика пройдя на сопрягающей частоте продолжает спадать асимптотически приближаясь к –π. На частотах, близких к резонансной частоте происходит подъем АЧХ

Рис. 50. ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена

2. Дифференцирующее звено второго порядка.

Дифференциальная форма записи дифференцирующего звена второго порядка .

Операторная форма записи .

Форма записи в изображениях по Лапласу .

Передаточная функция в операторной форме записи

Передаточная функция в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях

АЧХ дифференцирующего звена второго порядка

ФЧХ дифференцирующего звена второго порядка

Дифференцирующее звено второго порядка может рассматриваться как комбинация дифференцирующих звеньев и пропорционального звена с единичным коэффициентом передачи. На рисунке 51 показаны ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена второго порядка.

Рис. 51. ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена второго порядка.

Само по себе дифференцирующее звено второго порядка физически не может быть реализовано, но оно входит в состав режекторных («отбракавывающих») звеньев, предназначенных для подавления помех или сигналов фиксированной частоты.