3.1.4. Единичная ступенчатая функция Хевисайда. Функция Дирака. Типовые временные характеристики. Взаимосвязь временных характеристик

Временные характеристики представляют собой реакцию звена или системы на типовые воздействия при нулевых начальных условиях. Типовыми временными воздействиями являются широко применяемая функция Хевисайда и дельта – функция.

Единичная ступенчатая функция Хевисайда u(t) равна нулю при t<0 и равна единице при t>0. Изображение единичного скачка . Если единичный скачок произошел не в нулевой момент времени приt=0, а при t=>=0, то соответствующая ступенчатая функция имеет видu(t-), а ее изображение получается из правила сдвига. На рисунке 30 дано геометрическое представление функции Хевисайда.

Рис. 30. Геометрическое представление функции Хевисайда

С точки зрения классического математического анализа производная единичного скачка всюду, кроме нулевой точки равна нулю. В точке t=0 производная не существует. Однако, действуя формально, можно получить изображение производной функции Хевисайда u`(t) в соответствии с правилом дифференцирования оригинала

, соответственно

Функция, изображение которой есть 1, называют δ-функцией Дирака δ(t). Эта функция везде равна нулю, кроме нулевого момента времени. Ее можно рассматривать как воздействие бесконечной мощности, приложенное к системе, на бесконечно малом интервале времени.

δ-функция обладает следующими свойствами

1. Функция δ(t)=0 при t не равным 0, и δ(t) стремится к бесконечности при t=0.

2.

С практической точки зрения важнейшим является фильтрующее свойство δ-функции

На рисунке 31 дана геометрическая интерпретация фильтрующего свойства δ-функции.

Рис. 31. Геометрическая интерпретация фильтрующего свойства δ-функции.

Любую функцию времени можно представить суммой большого числа близко расположенных импульсов малой длительности, причем высота каждого импульса равна значению функции времени в момент появления импульса. Чтобы найти реакцию линейной системы на произвольное воздействие , следует определить реакцию системы на каждый отдельный импульс в последовательные моменты времени t. Сумма этих реакций будет реакцией системы на произвольное воздействие.

Единичную дельта - функцию можно аппроксимировать в виде прямоугольного импульса единичной площади и бесконечно малой длительности или в виде предела целого ряда «гладких» функций. Например, или.

Функция Хевисайда и δ-функция играют огромную роль при исследовании систем автоматического управления.

Если на вход системы поступает единичное ступенчатое воздействие, то реакция системы на это воздействие называется переходной функцией .

Если на вход линейной системы в нулевой момент времени поступает δ-функция, то реакцию системы на такое воздействие называют импульсной переходной функцией системы (или весовой функцией).

Изображение по Лапласу δ-функции есть единица. . Если в выражение (28) в качестве входного сигнала подставить δ функцию и выполнить преобразование Лапласа, то изображение выходного сигнала будет соответствовать передаточной функции.

Изображение по Лапласу функции Хевисайда есть . Если в выражение (28) в качестве входного сигнала подставить функцию Хевисайда и выполнить преобразование Лапласа, то изображение выходного сигнала будет соответствовать частному передаточной функции иs.

Данный вывод можно использовать для получения коэффициента передачи. По определению коэффициент передачи устойчивого звена определяется как . Учитывая, что при входном сигнале выходной сигнал есть и , выражение для коэффициента передачи преобразуется к виду

(38)

Согласно теореме о конечном значении оригинала уравнение (38) преобразуется к виду

(39)

Согласно соотношения (39) коэффициент передачи устойчивого линейного статического звена равен пределу его переходной функции при или пределу передаточной функции при. В данной интерпретации понятие коэффициента передачи применимо только к статическим звеньям.