
- •Глава 3. Динамические характеристики систем автоматического управления.
- •3.1.1. Ачх и фчх при последовательном соединении
- •3.1.2. Логарифмические частотные характеристики
- •3.1.3. Прямое и обратное преобразование Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа.
- •3.1.4. Единичная ступенчатая функция Хевисайда. Функция Дирака. Типовые временные характеристики. Взаимосвязь временных характеристик
- •Вопросы к главе 3.
- •Глава 4. Типовые линейные звенья
- •Представление передаточной функции через сомножители
- •Простейшие звенья
- •4.2.1. Пропорциональное (безинерционное) звено
- •Интегрирующее звено
- •Дифференцирующее звено
- •Звенья первого порядка
- •Инерционное звено первого порядка
- •Звенья второго порядка
- •Вопросы к главе 4.
- •Глава 5. Устойчивость систем автоматического управления.
- •5.1. Понятие устойчивости
- •5.2. Условие устойчивости линеаризованных систем. Прямой метод исследования устойчивости, его геометрическая интерпретация.
- •5.3. Алгебраические критерии устойчивости.
- •5.3.1. Критерий Вышнеградского
- •5.3.2. Критерий Гурвица
- •5.3.3. Критерий Рауса
3.1.1. Ачх и фчх при последовательном соединении
Эквивалентная передаточная функция при последовательном соединении звеньев равна произведению передаточных функций входящих в нее звеньев. АФХ последовательного соединения имеет вид:
При последовательном соединении линейных блоков их АЧХ перемножаются, ФХЧ алгебраически суммируются.
Для параллельного соединения не существует столь простых правил.
3.1.2. Логарифмические частотные характеристики
Логарифмическими частотными характеристиками являются: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ)
Логарифмические
частотные характеристики строят в
логарифмическом масштабе. Термины,
применяемые при построении и анализе
логарифмических характеристик, взяты
из акустики. Если две частоты
и
отличаются в два раза, то говорят, что
они отличаются на октаву, если
то говорят об отличии на декаду.
ЛАЧХ строят в
двойном логарифмическом масштабе. По
оси абсцисс откладывают десятичный
логарифм частоты
.
На отметке, соответствующей значению
,
пишут само значение
,
а не
,
по оси ординат – величину ЛАЧХ (
).
ЛФЧХ называют
график зависимости фазовой частотной
функции
от логарифма частоты
.
При его построении на отметке
соответствующей значению
пишут само значение
,
а не
.
Единицей логарифма
амплитуды
является децибел, единицей логарифма
частоты - декада.
Изображая изменения
амплитуды и частоты в логарифмическом
масштабе, многие логарифмические
характеристики аппроксимируются прямыми
или отрезками прямых. Это возможно
благодаря тому, что при перепадах
частоты, превышающих декаду, АЧХ
большинства звеньев изменяются
пропорционально целой степени частоты
.
3.1.3. Прямое и обратное преобразование Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа.
Решение линейных
дифференциальных уравнений упрощается
благодаря применению операторного
метода. При использовании данного метода
дифференциальное уравнение преобразуется
в алгебраическое, которое намного легче
поддается решению. Метод основан на
преобразовании Лапласа
,
которое ставит в соответствие функции
действительной переменнойt
(0≤t≤
)
функциюF(s)
комплексной переменной s.
Функцию F(s)
называют изображением (по Лапласу)
функции
,
а функцию
оригиналом изображенияF(s),
s
– есть комплексная переменная s=r+j
.
Область допустимых значений r
подбирается таким образом, чтобы интеграл
сходился. Сокращенная форма записи
преобразования Лапласа имеет вид
.
В физических приложениях переменнаяt
имеет размерность времени, комплексная
переменная s
имеет размерность частоты (время)-1.
Функция x(t),
которая подвергается преобразованию
Лапласа, должна обладать следующими
свойствами: x(t)
должна быть определена и кусочно-дифференцируема
при
иx(t)=0
при t<0.
Существуют такие положительные числа
М и с, что
при
.
Функции, обладающие указанными свойствами,
называются функциями-оригиналами.
Переход от
изображений к оригиналам производится
с помощью обратного преобразования
Лапласа
приt>0,
сокращенный вид которого
.
Связь междуf(t)
и F(s)
называется соответствием и обозначается
при помощи знака соответствия
Основные свойства преобразования Лапласа
-Свойство линейности. Изображение суммы двух функций времени равно сумме изображений функций, взятых по отдельности. Умножение оригинала на постоянный коэффициент соответствует умножению на него изображения и обратно
- Умножение аргумента оригинала на постоянный коэффициент а>0 приводит к делению аргумента изображения на этот постоянный коэффициент (теорема подобия)
Эта теорема имеет физический смысл. «Растяжение» шкалы времени в а раз, приводит к аналогичному растяжению периодов всех колебаний, содержащихся в сигнале. Т.е. частоты этих колебаний должны уменьшиться в а раз.
- Сдвиг оригинала по оси времени вправо (запаздывание) на постоянное число τ.
При отрицательных
значениях аргумента функция
должна быть равна нулю.
- Сдвиг изображения (теорема затухания оригинала или смещения)
где α - произвольное комплексное число. Действительное затухание происходит при положительном значении α.
- Изображения производных оригинала (теорема дифференцирования оригинала).
Если производная
x(t)
является функцией-оригиналом, то
,
где
,
.
Соответственно для n-й производной:
Здесь
-
начальные значения функцииf(t)
и ее производных при
.
Если начальные условия нулевые, т.е.
предельные значения этих функций
стремятся к нулю, то дляn-й
производной можно записать
Т.е. при нулевых начальных условиях операции дифференцирования оригинала соответствует умножение изображения на s.
- Оригиналы производных изображения (теорема дифференцирования изображения)
В теореме дифференцирования оригинала проявляется симметрия преобразования Лапласа. Подобно тому, как дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на s, дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на (-t) в соответствующей степени.
- Изображения интегралов оригинала
Изображение функции
,
проинтегрированнойn
раз от 0 до t,
имеет вид
.
Это достаточно
сложная операция на комплексной плоскости
и применяется крайне редко.
- Интеграл свертки и произведение изображений.
Интеграл свертки
и произведение изображений используется
для оценки суммарного эффекта от
некоторого физического процесса,
выходная переменная которого описывается
функцией
,
а сам процесс длится от 0 до
=t.
Этот эффект описывается интегралом
.
Пусть на процесс действует фактор,
зависящий от временного интервалаt-
.
Воздействие этого фактора можно описать
как произведение функции
на весовую функцию
.
Тогда эффект от процесса имеет вид
.
Этот интеграл называется интегралом
свертки и символически обозначается
.
- Теорема о начальном значении оригинала.
Если
существует, то
.
Зная изображение функции, на основании
теоремы о начальном значении оригинала
можно определить значение оригинала в
нулевой момент времени.
- Теорема о конечном значении оригинала
Если значение
приt,
стремящемся к бесконечности, существует,
то