3.1.1. Ачх и фчх при последовательном соединении

Эквивалентная передаточная функция при последовательном соединении звеньев равна произведению передаточных функций входящих в нее звеньев. АФХ последовательного соединения имеет вид:

При последовательном соединении линейных блоков их АЧХ перемножаются, ФХЧ алгебраически суммируются.

Для параллельного соединения не существует столь простых правил.

3.1.2. Логарифмические частотные характеристики

Логарифмическими частотными характеристиками являются: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ)

Логарифмические частотные характеристики строят в логарифмическом масштабе. Термины, применяемые при построении и анализе логарифмических характеристик, взяты из акустики. Если две частоты иотличаются в два раза, то говорят, что они отличаются на октаву, еслито говорят об отличии на декаду.

ЛАЧХ строят в двойном логарифмическом масштабе. По оси абсцисс откладывают десятичный логарифм частоты . На отметке, соответствующей значению, пишут само значение, а не, по оси ординат – величину ЛАЧХ ().

ЛФЧХ называют график зависимости фазовой частотной функции от логарифма частоты. При его построении на отметке соответствующей значениюпишут само значение, а не.

Единицей логарифма амплитуды является децибел, единицей логарифма частоты - декада.

Изображая изменения амплитуды и частоты в логарифмическом масштабе, многие логарифмические характеристики аппроксимируются прямыми или отрезками прямых. Это возможно благодаря тому, что при перепадах частоты, превышающих декаду, АЧХ большинства звеньев изменяются пропорционально целой степени частоты .

3.1.3. Прямое и обратное преобразование Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа.

Решение линейных дифференциальных уравнений упрощается благодаря применению операторного метода. При использовании данного метода дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое, которое намного легче поддается решению. Метод основан на преобразовании Лапласа , которое ставит в соответствие функциидействительной переменнойt (0≤t≤) функциюF(s) комплексной переменной s. Функцию F(s) называют изображением (по Лапласу) функции , а функциюоригиналом изображенияF(s), s – есть комплексная переменная s=r+j. Область допустимых значений r подбирается таким образом, чтобы интеграл сходился. Сокращенная форма записи преобразования Лапласа имеет вид . В физических приложениях переменнаяt имеет размерность времени, комплексная переменная s имеет размерность частоты (время)^-1. Функция x(t), которая подвергается преобразованию Лапласа, должна обладать следующими свойствами: x(t) должна быть определена и кусочно-дифференцируема при иx(t)=0 при t<0. Существуют такие положительные числа М и с, что при. Функции, обладающие указанными свойствами, называются функциями-оригиналами.

Переход от изображений к оригиналам производится с помощью обратного преобразования Лапласа приt>0, сокращенный вид которого . Связь междуf(t) и F(s) называется соответствием и обозначается при помощи знака соответствия

Основные свойства преобразования Лапласа

-Свойство линейности. Изображение суммы двух функций времени равно сумме изображений функций, взятых по отдельности. Умножение оригинала на постоянный коэффициент соответствует умножению на него изображения и обратно

- Умножение аргумента оригинала на постоянный коэффициент а>0 приводит к делению аргумента изображения на этот постоянный коэффициент (теорема подобия)

Эта теорема имеет физический смысл. «Растяжение» шкалы времени в а раз, приводит к аналогичному растяжению периодов всех колебаний, содержащихся в сигнале. Т.е. частоты этих колебаний должны уменьшиться в а раз.

- Сдвиг оригинала по оси времени вправо (запаздывание) на постоянное число τ.

При отрицательных значениях аргумента функция должна быть равна нулю.

- Сдвиг изображения (теорема затухания оригинала или смещения)

где α - произвольное комплексное число. Действительное затухание происходит при положительном значении α.

- Изображения производных оригинала (теорема дифференцирования оригинала).

Если производная x(t) является функцией-оригиналом, то , где,.

Соответственно для n-й производной:

Здесь - начальные значения функцииf(t) и ее производных при . Если начальные условия нулевые, т.е. предельные значения этих функций стремятся к нулю, то дляn-й производной можно записать

Т.е. при нулевых начальных условиях операции дифференцирования оригинала соответствует умножение изображения на s.

- Оригиналы производных изображения (теорема дифференцирования изображения)

В теореме дифференцирования оригинала проявляется симметрия преобразования Лапласа. Подобно тому, как дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на s, дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на (-t) в соответствующей степени.

- Изображения интегралов оригинала

Изображение функции , проинтегрированнойn раз от 0 до t, имеет вид .

Это достаточно сложная операция на комплексной плоскости и применяется крайне редко.

- Интеграл свертки и произведение изображений.

Интеграл свертки и произведение изображений используется для оценки суммарного эффекта от некоторого физического процесса, выходная переменная которого описывается функцией , а сам процесс длится от 0 до=t. Этот эффект описывается интегралом . Пусть на процесс действует фактор, зависящий от временного интервалаt-. Воздействие этого фактора можно описать как произведение функциина весовую функцию. Тогда эффект от процесса имеет вид. Этот интеграл называется интегралом свертки и символически обозначается.

- Теорема о начальном значении оригинала.

Если существует, то. Зная изображение функции, на основании теоремы о начальном значении оригинала можно определить значение оригинала в нулевой момент времени.

- Теорема о конечном значении оригинала

Если значение приt, стремящемся к бесконечности, существует, то