4.Энергия стационарного магнитного поля
Общее выражение для энергии магнитного поля, сосредоточенной в некотором объеме , остается справедливым и в случае стационарных процессов:
(28)
Формулу
(28)
можно преобразовать таким образом,
чтобы магнитная энергия была выражена
через токи, создающие магнитное поле.
Для этого заменим в (28)
вектор
его представлением через векторный
потенциал
.
Используя тождество
,
получаем
(29)
Первый
интеграл в уравнении (29)
преобразуем в поверхностный интеграл,
используя теорему Остроградского-Гаусса,
а во втором интеграле выразим
через плотность токов
с
помощью равенства
.
Тогда
соотношение (29)
примет вид
(30)
где - поверхность, ограничивающая объем .
Выберем в качестве поверхности сферу радиуса и устремим к бесконечности, т.е. распространим интегрирование в (30) на все пространство.
Любая
пространственно ограниченная система
токов создает магнитное поле, напряженность
и векторный потенциал
которого при
убывают пропорционально
и
соответственно (или еще быстрее). При
этом поверхность
возрастает
пропорционально
.
Следовательно, в пределе при
первый интеграл в правой части уравнения
(4.29) будет равен нулю. В результате
получим
(31)
В случае линейных токов выражение для энергии магнитного поля упрощается. Рассмотрим вначале уединенный контур с током . Формула (31) для этого контура принимает вид
(32)
Применим к интегралу в (32) теорему Стокса:
(33)
где
-
магнитный поток через поверхность
,
опирающуюся
на контур
.
Подставляя (33)
в (32),
получаем
(34)
В
случае
контуров
выражение
для
записывается
следующим образом:
(35)
где
-
магнитный поток, сцепленный с контуром
,
а
-
ток в контуре
.
В формуле (35) векторный потенциал и поток обусловлены не только током , но и токами в остальных контурах. В силу принципа суперпозиции можно записать следующее равенство:
(36)
где
- векторный потенциал, создаваемый в
рассматриваемой точке током
,
протекающим в контуре
.
Выделим
в сумме (36)
векторный потенциал
,
соответствующий току
:
(37)
и подставим в (35). В результате придем к выражению
Преобразовав интегралы в полученном выражении с помощью теоремы Стокса, перепишем его в виде
(38)
где
-
поток, сцепленный с контуром
,
который обусловлен током
контура
.
Первое слагаемое в правой части формулы (38) определяет собственную энергию контуров системы, а второе - взаимную энергию.
5. Индуктивность
Поток , пронизывающий уединенный контур , пропорционален току в этом контуре:
(39)
Коэффициент
зависит
от конфигурации и размеров контура
и называется его
индуктивностью.
Индуктивность измеряется в генри (Гн).
Из закона индукции Фарадея и формулы
(39)
следует, что индуктивность уединенного
контура численно равна величине эдс,
наводимой в этом контуре при линейном
изменении его тока на 1 А за 1 с.
Подставляя (39) в (34), получаем
(40)
В случае контуров поток пропорционален току :
(41)
Коэффициент
пропорциональности
при
называют взаимной
индуктивностью
контуров
и
,
а коэффициент
-
собственной
индуктивностью
контура
.
Коэффициент при можно определить следующим образом. Воспользовавшись формулами (33) и (15), представим выражение для потока в виде
(42)
где
и
-элементы
контуров
и
соответственно, a
-
расстояние
между этими элементами.
Приравнивая правые части формул (42) и (41), получаем
(43)
Как видно, взаимная индуктивность контуров и зависит только от их формы и взаимного расположения и не изменяется при перестановке индексов (свойство взаимности):
(44)
Из закона индукции Фарадея и формулы (41) следует, что взаимная индуктивность двух контуров численно равна эдс, наводимой в одном из них при линейном изменении тока в другом на 1 А за 1 с.
Перепишем выражение для энергии магнитного поля системы линейных токов с учетом равенства (41):
Таким образом, для определения энергии магнитного поля системы линейных токов достаточно знать собственные и взаимные индуктивности и токи в них.