
2. Магнитостатика
Предположим,
что в каждой точке рассматриваемой
области плотность тока проводимости
равна нулю (),
а
сама область не охватывает тока. Кольцевые
области, сцепленные с током (рис.12),
в данном разделе не анализируются.
У
Рис.4.2
Рис.12
.
Интегральные соотношения магнитостатики
получаются из уравнения Максвелла,
если в последних положить
.
При этом второе уравнение остается без
изменений а первое принимает вид
(7)
Так
как в рассматриваемом случае ,
то
по аналогии с электростатикой можно
ввести в рассмотрение скалярную функцию,
,
называемую
магнитостатическим потенциалом
и связанную с вектором
соотношением
(8)
В однородной среде магнитостатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
(9)
Разность
значений магнитостатического потенциала
между точками и
можно
представить в виде
(10)
На
границе раздела двух сред с разными
магнитными проницаемостями (
и
)
должны выполняться общие граничные
условия для составляющих векторов
и
:
Таким
образом, напряженность магнитостатического
поля
и напряженность электростатического
поля
в области без зарядов удовлетворяют
одинаковым уравнениям и однотипным
граничным условиям. Следовательно,
решение задач магнитостатики можно
получить из решений аналогичных задач
электростатики простой заменой в них
на
и
на
.
3. Магнитное поле и постоянный ток
В
тех случаях, когда в рассматриваемой
области имеется ток
или область охватывает ток (рис. 12),
магнитостатический потенциал
становится
неоднозначной функцией. Разность его
значений между точками
и
зависит от контура, по которому выполняется
интегрирование в формуле (10),
а именно при каждом обходе контура
вокруг тока
в положительном направлении (так, чтобы
контур образовывал с направлением, в
котором течет ток, правовинтовую систему)
значение интеграла в (10)
возрастает на величину
.
Таким
образом, магнитостатический потенциал
не
позволяет установить связь между
стационарным магнитным полем и создающим
его постоянным током. Для определения
стационарного поля обычно вводят
векторный потенциал
,
связанный с векторами
и
соотношениями
(11)
Векторный потенциал стационарного поля удовлетворяет уравнению
(12)
при
Если
токи сосредоточены в ограниченной
области ,
то решение уравнения:
(13)
где
-
расстояние
от элемента
до
точки, в которой вычисляется потенциал.
Если
токи распределены по поверхности с
плотностью
,
равенство
(13)
следует заменить выражением
(14)
а
в случае линейного тока ,
протекающего по контуру
,-
формулой
(15)
В
(14)
и (15)
-
расстояние
от элементов
и
соответственно
до точки, в которой вычисляется потенциал.
Перейдем
от векторного потенциала
к напряженности магнитного поля
.
Предполагая, что пространство заполнено
однородной изотропной средой, получаем
(16)
Учитывая,
что плотность тока
не
зависит от координат точки, в которой
вычисляется поле, и используя тождество
,
преобразуем подынтегральное выражение
в (16):
(17)
где
Ro
- орт вектора
,
проведенного
из
в
точку наблюдения.
Подставляя (17) в (16), получаем
(18)
К
аналогичным выражениям для вектора
в случае поверхностных и линейных токов:
(19)
(20)
Представляют собой интегральные формы закона Био-Савара:
(21)
Закон
Био-Савара характеризует магнитное
поле ,
создаваемое
элементом тока
.
Покажем, что поля также можно представить
в виде суперпозиции элементарных полей
,
от
отдельных элементарных токов. И получим
выражение
Найдем магнитное поле и векторный потенциал прямолинейной бесконечно-протяженной уединенной нити, обтекаемой постоянным током. Получаем напряженность магнитного поля нити
(22)
Векторный
потенциал рассматриваемой нити должен
иметь только -
ю составляющую
,
величина
которой зависит от координаты
.
Учитывая (11)
и расписывая
в
цилиндрической системе координат,
получаем
,
откуда следует, что
(23)
Интегрируя
выражение (23)
по ,
находим
(24)
Постоянную
в формуле (24)
обычно полагают равной нулю.
Тогда
(25)
От
формулы (25)
нетрудно перейти к выражению для
потенциала, создаваемого токами,
неизменными вдоль оси ,
которые
протекают по цилиндру произвольного
сечения
(26)
где
-
расстояние от элемента
,
характеризуемого
координатами
до точки наблюдения
.
Если
поле создано поверхностными токами,
распределенными по некоторой цилиндрической
поверхности ,
образующие
которой параллельны оси
,
а
плотность поверхностных токов не зависит
от координаты
,
то
векторный потенциал
выражается формулой
(27)
где
-линия
пересечения поверхности
с
плоскостью, перпендикулярной к оси
,
a
-расстояние
от элемента
до
точки
,
в
которой вычисляется потенциал.