МУ102
.pdf
Рис. 2.28
ПИРАМИДА
На рис. 2.29 представлен пример построения линии пересечения поверхностей шестигранной пирамиды и трехгранного призматического отверстия. Грани отверстия перпендикулярны плоскости П2, следовательно, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком отверстия на плоскости П2.
Прежде чем приступить к построению точек линии пересечения многогранников, необходимо выявить те ребра их, которые заведомо пересекаются с поверхностью другого многогранника. Например, ребра S-2, S-3, S-5, S-6 пирамиды пересекаются с гранями отверстия. Ребра S-2 и S-3 пересекают поверхность отверстия соответственно в точках 7,8,9,10. Проекции этих точек лежат на соответствующих проекциях ребер. Построение проекций точек 7,8, 9,10 видно из рисунка. Ребро 11-12 отверстия пересекает грани пирамиды S- 2-3 и S-5-6 в точках 11 и 12. Эти грани являются профильнопроецируюющими, т.е. они проецируются на профильную плоскость проекций в виде прямых линий.
31
Рис. 2.29
Профильная проекция точки 2 /23/ лежит на профильной проекции грани S3-23 - 33 . По фронтальной и профильной проекциям этой точки /22 и 23 / строим горизонтальную проекцию ее /21/. Построение проекции точки 2 видно из чертежа.
Ребра 13-14 и 15-16 отверстия пересекают соответственно грани S-1-2 /точка13/, S-1-6 /точка 14/, S-3-4 /точка 15/ и S-4-5 /точка 16/. Эти грани за-
нимают общее положение / не являются проецирующими/. Для нахождения проекций указанных точек необходимо провести через ребра 13-14 и 15-16 отверстия горизонтальную секущую плоскость α. На чертеже эта плоскость представлена в виде фронтального и профильного следов /α2 и α3/
Рассекая пирамиду плоскостью α, получим в сечении шестиугольник, подобный основанию пирамиды.
Точки 13,14,15,16 лежат на сторонах этого шестиугольника. Построение горизонтальной проекции сечения и точек видно из рисунка.
По горизонтальным и фронтальным проекциям этих точек строим их профильные проекции.
Соединяя найденные точки в последовательном порядке, получим проекции сквозного отверстия. Так как отверстие сквозное, то линия пересечения состоит из двух замкнутых частей.
2.5.2. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ СО СКВОЗНЫМ ПРИ3МАТИЧЕСКИМ
ОТВЕРСТИЕМ
ЦИЛИНДР
На рис. 2.30 изображен цилиндр с призматическим отверстием. Ось
32
цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций /П1/. Грани отверстия перпендикулярны плоскости проекций П2. Фронтальная проекция линии пересечения ребер отверстия с цилиндром. Ребра призматического отверстия перпендикулярны фронтальной плоскости проекций /П2/.
Точки пересечения ребер 1-2, 3-4, 5-6, 7-8 отверстия с боковой поверхностью цилиндра принадлежат этой поверхности, следовательно, горизонтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной проекции боковой поверхности цилиндра.
Далее строим проекции граней призматического отверстия.
Рис. 2.30
На рис. 2.31 изображен прямой цилиндр со сквозным трехгранным призматическим отверстием. Грани отверстия перпендикулярны плоскости проекций П2. Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком отверстия на плоскости П2.
Для построения линии пересечения цилиндрической поверхности и поверхности сквозного отверстия необходимо:
1. найти точки пересечения ребер призматического отверстия с поверхностью цилиндра (аналогично ранее рассмотренному случаю);
2. построить линии пересечения цилиндрической поверхности с гранями призматического отверстия.
Нижняя грань отверстия - горизонтальная плоскость, она перпендикулярна оси цилиндра, следовательно, линия пересечения этой грани с цилиндром есть дуга окружности, равная основанию цилиндра, т.е. горизонтальная проекция этой дуги совпадает с очерковой линией цилиндра.
Боковые грани отверстия не перпендикулярны к оси цилиндра, следовательно, линия пересечения цилиндра с этими гранями есть эллипс. Для построения эллипса необходимо построить промежуточные точки 7-14, используя вспомогательные секущие плоскости α и β. Последовательность выпол-
33
нения построений понятна из чертежа.
Рис. 2.31
КОНУС
На рис. 2.32 изображен прямой конус с трехгранным призматическим отверстием.
Грани отверстия перпендикулярны фронтальной плоскости проекций /П2/. По фронтальной проекции видно, что каждая из линий пересечения состоит из части окружности, получаемой при пересечении горизонтальной нижней грани отверстия с поверхностью конуса боковыми гранями отверстия.
Точки 1 и 2 лежит на образующих S-А и S-В, следовательно, профильные и горизонтальные проекции /13, 23; 11, 21/ точек лежат на соответствующих проекциях /S3-A3; S3-B3; S1-A1; S1-B1/ образующих. Построение профильных и горизонтальных проекций точек I и 2 видно из рисунка.
Для определения точек пересечения ребер 3-4 и 5-6 с поверхностью конуса необходимо провести горизонтальную плоскость γ. Эта плоскость рассекает конус по окружности, а указанные ребра пересекаются с конусом в точках 3, 4, 5, 6.
Далее определяем линии пересечения боковых граней отверстия с конусом. Для этого используем вспомогательные секущие плоскости α и β .
Построенные точки последовательно соединим между собой, получим проекции линии пересечения конуса с поверхностью отверстия.
34
Рис. 2.32
На рис 2.33 изображен прямой конус со сквозным четырехгранным призматическим отверстием.
Грани отверстия перпендикулярны фронтальной плоскости проекций /П2/. Фронтальная проекция линии пересечения конуса и сквозного отверстия совпадает с фронтальной проекцией отверстия. Необходимо построить горизонтальную и профильную проекции линии пересечения. Линия пересечения состоит из двух замкнутых частей.
По фронтальной проекции видно, что каждая из линий пересечения состоит из двух частей окружностей, получаемых при пересечении горизонтальной верхней и нижней граней отверстия с поверхностью конуса /3-5; 1-7/ и двух прямых отрезков /1-3; 5-7/, получаемых пересечением конической поверхности боковыми гранями отверстия. Если продолжить боковые грани, то они пройдут через вершину конуса, а в этом случае линии пересечения есть прямые, проходящие через образующие / S-А; S-В / конуса. Точки пересечения ребер отверстия с конусом лежат на указанных образующих.
35
Рис. 2.33
ШАР
На рис. 2.34 изображен шар со сквозным призматическим отверстием. Грани отверстия перпендикулярны фронтальной плоскости проекций,
На фронтальной проекции видно, что каждая часть линии пересечения состоит из четырех частей окружностей, получаемых пересечением граней отверстия со сферической поверхностью. Определяем сначала точки /1-8/ пересечения ребер отверстия с поверхностью шара.
Для определения точек пересечения ребер отверстия с поверхностью шара необходимо провести через ребра горизонтальные плоскости α, β и профильные плоскости γ, δ, На рисунке они представлены следами α2, α3; β2, β3; γH1 , γ2; δ1, δ2. Эти плоскости рассекают сферу по окружностям радиуса R’
и R”.
Построение точек пересечения ребер отверстия с шаровой поверхностью видно из рисунка.
36
Рис.2.34.
Последовательно соединив полученные точки, получим проекции линии пересечения.
2.6. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ. ЛИНИИ ПЕРЕХОДА.
Линией перехода называется линия пересечения двух поверхностей. В общем случае линия перехода является пространственной кривой. В частном случае это может быть плоская кривая или прямая линия.
Существует несколько способов построения линии перехода. Наиболее часто применяется способ вспомогательных секущих плоскостей. Этот способ является универсальным и может успешно применяться в большинстве случаев.
Сущность способа вспомогательных секущих плоскостей состоит в том» что обе поверхности пересекаются вспомогательной плоскостью. Находят линии сечения обеих поверхностей вспомогательной плоскостью. В пересечении полученных линий сечения выявляют общие точки для обеих поверхностей, т.е. точки линии перехода. Повторяя этот прием, получают ряд точек, определяющих линию перехода двух поверхностей.
При выборе секущих плоскостей обычно пользуются проецирующими плоскостями, дающими в сечениях наиболее простые линии (прямые, окруж-
37
ности).
Построение линий перехода начинают с определения опорных (характерных) точек, к которым относят:
1)точки, определяемые без дополнительных построений;
2)наивысшая и наинизшая точки линии перехода;
3) точки, лежащие на крайних образующих и определяющие видимость кривой на плоскостях проекций.
Рис. 2.35
В качестве примера рассмотрим пересечение шара с прямым круговым конусом (рис. 2.35).
Построение начинают с определения опорных точек. Одна пара опорных точек (А и В) получается при пересечении очерковых образующих сферы и конуса.
38
Другая пара опорных точек линии перехода находится на пересечении экватора сферы с поверхностью конуса. Для этого через экватор сферы проводят вспомогательную горизонтальную плоскость β. Положение этой плоскости отмечено фронтальным следом β2, Плоскость β пересекает сферу по окружности радиуса, равного радиусу экватора, а конус по окружности радиуса R . При взаимном пересечении получают горизонтальные проекции точек С и D (С1 и D1). Фронтальные проекции С2 и D2 лежат на фронтальном следе β2. По двум найденным проекциям отыскиваем третьи проекции точек (при необходимости).
Для получения произвольных точек 1 и 2 рассекают обе поверхности плоскостью γ, перпендикулярной оси конуса и параллельной горизонтальной плоскости проекций. Эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса R2 а конус - по окружности радиуса R3. На рис. 2.35 эти окружности пересекаются в точках 11 и 21, принадлежащих линии пересечения. Зная их горизонтальные проекции, находим фронтальные 12 и 22 лежащих на фронтальном следе γ2. Повторив этот прием, найдем точки 3 и 4 в плоскости α’, 5 и 6 – в плоскости α”.
После того, как с помощью вспомогательных секущих плоскостей определено достаточное количество точек, принадлежащих линии пересечения данных поверхностей, необходимо последовательно соединить полученные точки и определить видимость отдельных участков этой линии.
При определении видимости отдельных участков линии пересечения исходят из следующих положений.
1.Точки перехода видимой части линии перехода в невидимую лежат на очерковых образующих той или другой поверхности.
2.Видимость определяется раздельно на каждой из проекций пересекающихся фигур.
На рис. 2.35 на фронтальной проекции видимость будет определяться
опорными точками А2 - наивысшей и В2 - наинизщей. Линия перехода вся будет видимой, т.к. она симметрична.
На горизонтальной проекции видимость линии перехода определяется участком, заключенным между опорными точками D1 наиболее близкой и С1
-наиболее удаленной. Точки С и D принадлежат горизонтальному очерку шара и лежат на экваторе, а точка А лежит выше экватора, поэтому участок
линии перехода D1-21-A1-11-C1 – видимый.
В заключение назовем случаи, когда линия перехода проецируется в прямую;
1) пересечение поверхностей, каждая пара которых описана вокруг общей для них шаровой поверхности с центром в точке пере сечения осей (рис. 2.36 а,б);
2) пересечение поверхностей вращения с общей осью (рис. 2.36, в).
39
а) |
б) |
в)
Рис. 2.36
2.7. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ
Метод прямоугольного проецирования на несколько плоскостей проекций, получивший всеобщее распространение в инженерной графике, обладая многими достоинствами, имеет существенный недостаток - отсутствие наглядности. Наглядность изображения предметов достигается с помощью метода аксонометрических проекций, который состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат параллельно проецируется на некоторую плоскость. При этом аксонометрическое изображение не только дает представление о характере и форме предмета, но и обладает, в то же время, удобоизмеримостыо, т.е. позволяет непосредственно по чертежу определять размеры отрезков, параллельных осям координат,
В зависимости от направления проецирования аксонометрические проекции делятся на:
1)прямоугольные - при перпендикулярном направлении проецирования на аксонометрическую плоскость;
2)косоугольные - во всех остальных случаях.
Ваксонометрических проекциях происходит искажение действительных размеров предмета по всем трем его измерениям или только по некоторым из них. Мерой этого искажения является коэффициент искажения, т.е. отношение длины аксонометрической проекции отрезка к длине самого
40