Пример 2-4 Комбинированные преобразования на плоскости

Рассмотрим треугольник ABC на рис. 2-10. Выполним над ним два преобразования: поворот на +90° вокруг точки начала координат

и отражение относительно линии у = - х

Результатом воздействия комбинированного преобразования [Т₃] = [T₁][T₂]

на треугольник ABC является

или

Получившийся треугольник является конечным результатом данного преобразования, а треугольник А'В'С' —промежуточным результатом (рис. 2-10).

Проведем преобразование в обратном порядке

или

Конечным результатом будет треугольник DЕF, а промежуточным D'E'F' (рис. 2-10). Оба результата различны, тем самым снова подтверждается важность порядка применения преобразований. Отметим также, что для определителей справедливы равенства det [Т₃] = - 1, и det [Т₄] = - 1 и поэтому оба результата могут быть получены с помощью единственного отражения. Треугольник АВС можно получить из ABC путем отражения относительно оси Y (матрица [Т₃] и уравнение (2-34)), DEF получается из ABC при отражении относительно оси X (матрица [Т₄] и уравнение (2-33)).

13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЕДИНИЧНОГО КВАДРАТА

До сих пор мы рассматривали поведение точек и линий для определения результатов простых матричных преобразований. Однако можно корректно рассматривать применение матрицы к любой точке плоскости. Как было показано ранее, единственная точка, остающаяся инвариантной при воздействии матричных преобразований, это точка начала координат. Все другие точки плоскости подвержены преобразованию, которое можно представить как растяжение исходной плоскости, системы координат и перевод в новую форму. Формально принято считать, что преобразование вызывает переход от одного координатного пространства к другому.

Рассмотрим координатную сетку, состоящую из единичных квадратов на координатной плоскости ху (рис. 2-11). Четыре координатных вектора вершин единичного квадрата, проходящие под одним углом к началу координат, имеют следующий вид:

Такой единичный квадрат изображен на рис. 2-11а. Применяя к нему (2 х 2)-матрицу общего преобразования, получаем

(2-38)

Результаты этого преобразования показаны на рис. 2-11b. Из выражения (2-38) следует, что начало координат не подвергается преобразованию, т.е. [А] = [А] = [0 0]. Далее отметим, что координаты В равны первой строке матрицы преобразования, а координаты D —второй. Таким образом, матрица преобразования является определенной, если определены координаты В и D (преобразование единичных векторов [1 0], [0 1]). Поскольку стороны единичного квадрата первоначально параллельны и ранее было показано, что параллельные линии преобразуются снова в параллельные, то результирующая фигура является параллелограммом.

Влияние элементов а, b, с и d матрицы 2x2 может быть установлено отдельно. Элементы b и c, как видно из рис. 2-11b, вызывают сдвиг (см. разд. 2-4) исходного квадрата в направлениях у и х соответственно. Как отмечалось ранее, элементы a и d играют роль масштабных множителей. Таким образом, 2 х 2-матрица задает комбинацию сдвига и масштабирования.

Несложно определить также площадь параллелограмма ABCD из рис. 2-11b, которую можно вычислить следующим образом:

В результате получаем

(2-39)

Можно показать, что площадь любого параллелограмма A_P образованного путем преобразования квадрата, есть функция от определителя матрицы преобразования и связана с площадью исходного квадрата A_S простым отношением

(2-40)

Фактически, так как площадь всей фигуры равна сумме площадей единичных квадратов, то площадь любой преобразованной фигуры A_t зависит от площади исходной фигуры A_i

(2-41)

Это полезный способ определения площадей произвольных фигур.