книги / Надежность судовой электронной аппаратуры и систем автоматического управления
..pdfничено. Вследствие этого возникает задача оценки вероятности исправной работы резервированной группы с ограниченным вос становлением.
В данном случае задача может быть сформулирована следую щим образом: имеется, резервированная группа, состоящая из двух равнонадежных блоков, находящихся в работе, и п запас ных блоков. При этом принимают, что время исправной работы блоков и время восстановления являются случайными величи нами, распределенными по экспоненциальному закону. Прини мается допущение, что блоки, находящиеся в холодном резерве, а также запасные, отказать не могут.
Ниже приводятся формулы [12], позволяющие рассчитать вероятность исправной работы резервированной группы. Рассмат риваются два случая: горячее и холодное резервирование.
Для г о р я ч е г о резервирования вероятность исправной работы резервированной группы, состоящей из двух рабочих и п запасных блоков (п = 0, 1,2, 3), определяется следующим вы ражением:
Рг(() = Аге-^ + В1е~'1и + С У (1+^ ) W+ D^te-™ +
+ Ellte~ (1+^ ) u + Fi (Ufe-»-1+ G, (M )V (l+ Tt)1' +
|
|
|
+ H1 (Ufe-'M. |
|
(298) |
||
Значения коэффициентов Alt Blt Clt Dlt Ei, Flt |
и |
для раз |
|||||
личного количества |
запасных |
блоков приведены в табл. |
31. |
||||
' Величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(299) |
где X |
суммарная |
опасность |
отказов |
одного блока; |
|
||
р, — интенсивность |
восстановления |
(замены); |
|
|
|||
7\ — среднее время |
безотказной работы одного блока; |
||||||
т— среднее время восстановления.
Вданном случае X = -у - и ц = ~ .
Если время, необходимое для замены отказавших блоков за пасными, мало по сравнению со средним временем безотказной ра боты блока, т. е. К « 0, то выражение для вероятности исправной работы резервированной группы, справедливое дл,я любого /г, будет
Рг у )= 2 п+1е - к —е~ы |
i=rt |
(XtY |
(300) |
(2«+i — 20 |
|||
к = о |
|
i\ |
|
Выражение (300) определяет вероятность исправной работы группы с комбинированным резервированием, в которой один блок является рабочим, один находится в горячем резерве и п бло ков — в холодном резерве.
Среднее время исправной работы резервированной группы с запасными блоками (время на замену отказавших блоков — слу чайная величина) может быть найдено из выражения (298) путем интегрирования:
TcPr = \ P r {t)dt. |
(301) |
кw=ол У
Среднее время исправной работы группы с комбинированным резервированием (/( « 0) находится по формуле
Гсрг |
t i "f- 3 |
(302) |
тг. |
/<=0
Для случая холодного резервирования вероятность исправной работы резервированной группы, состоящей из двух блоков (од ного рабочего и одного резервного) с запасными блоками (п = = 0, 1,2, 3), определяется следующим выражением:
|
1 ' |
+ ВФ к |
1 |
+ Е2Щ£- + |
[ |
л 2 |
+ C2lt + D2Ue~ |
|
+ Fa |
|
и +С,»3! + Н2 W4! |
-J1.-*• |
|
(303) |
||
|
|
|
|
|
№ |
1 |
|
|
|
Значения коэффициентов А 2, В 2, С2, D 2, E 2t F2t G2 и H 2 для |
|||||||
различных значений п приведены в табл. 32. |
|
Таблица 32 |
||||||
|
|
|
- |
|
|
|
||
|
Значения коэффициентов, входящ их в формулу (303) |
|
|
|||||
п |
А г |
Вг |
с, |
В г |
E t |
Ft |
G, |
H t |
0. |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Ц-А* |
-А* |
1—А |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
' 1+А*-4А8 |
-А*+4А» |
1-А+ЗА* |
—А* |
1—2А |
0 |
1 |
0 |
|
|
« |
|
|
|
|
|
|
3 |
1+А*-4А8+ |
-А*+4А*- |
1-А+ЗА*- |
А*—5А8 1—2А+6А* —А* |
1—3ft |
1 |
||
+15А< |
—15А* |
—10А» |
||||||
При К ~ 0, т. е. в случае, когда среднее время, необходимое для замены отказавших блоков запасными мало по сравнению со средним временем безотказной работы блока, формула (303) для любых значений п принимает вид:
Р,с (t) = е- и |
7*4-2 |
(304) |
|
2 |
|||
к=о |
0 - 1) 1' |
||
|
i = i |
|
По формуле (304) определяется вероятность исправной работы группы при холодном резервировании.
Среднее время исправной работы резервированной группы при К ~ 0 находится по формуле
ГсРх = (п + 2) 7V |
(305) |
Рис. 120. Схема расчета надежности системы.
Выражения (298) и (303) дают возможность оценить надежность резервированных групп с учетом л-кратного восстановления, когда время восстановления — случайная величина. При значе ниях К < 0,02 оценка надежности резервированных групп с незначительной погрешностью может производиться по формулам (300), (302), (304) и (305) для любых значений л.
Рассмотрим пример расчета надежности восстанавливаемых изделий.
Пример. Требуется определить вероятность безотказ ной работы Рс ремонтируемой системы, элементы которой соединены по схеме, изображенной на рис. 120, для слу
чая |
невосстанавливаемой и восстанавливаемой системы |
(т < |
10 час.) за требуемое оперативное время непрерывной |
работы t = 1500 час.
Вероятности безотказной работы элементов системы равны:
Рг = 0,67; Р 2 = 0,76; Р 3 =* 0,7; Р4 = 0,89; Рв = 0,84;
Рв = |
0,96. |
|
Решим этот пример, пользуясь следующими форму |
||
лами: |
|
|
для невосстанавливаемого варианта . |
|
|
Рс„ (t) = (1 - (1 - |
P,P,P,P«)*]РьРе, |
(306) |
P, (1500) = [1 — (1 — 0,67-0,76-0,7-0,89)3) 0,84 X
X 0,96 = 0,55;
для восстанавливаемого варианта
•зяо |
|
(307) |
^cB( 0 = U |
РьРв, |
|
где |
зарезервированной |
линии |
Я0 г— опасность отказа одной |
||
— ^1 |
~Ь |
|
р, — интенсивность восстановления
р = — = -уд-, так как х < 10 час.
Если |
|
|
|
|
Хг = |
265*10-6 1/час.; |
Х2 = |
190*10"6 |
1/час.; |
Х3 = |
240* 10"6 1/час.; |
= |
30* 10"6 |
1/час., |
то
А,0 = 725* 10 с 1/час.
Подставляя в формулу (307) значение величин, имеем:
РСв (1500) « Р5-Рв = 0,81.
Следовательно, если рассматриваемая система невосстанавливаемая, то Р (1500) = 0,55; если же она восста навливаемая, то Р (1500) = 0,81.
§ 74. Расчет надежности при постепенных отказах
Под постепенным отказом понимают отказ, возникший в ре зультате постепенного изменения характеристик изделия.
Установлено, что процессы старения элементов сопровождаются медленным изменением их параметров. Состояние отказа насту пает при выходе параметра за установленные пределы. К отказам такого типа относятся, например, постепенное уменьшение кру тизны характеристики и анодного тока лампы, изменение номи налов сопротивлений и т. п.
. Если отказы происходят вследствие влияния какого-либо од ного доминирующего внешнего воздействия, изменение свойств материалов элементов изделия происходит в одном направлении. При этом для узлов или элементов определенного типа наблю даются однородные характеристики разрушения. Этим отличаются,
например, отказы, обусловленные старением элементов при t > > t 2 (см. рис. 21). Время работы изделия можно рассматривать как эксплуатационный фактор монотонно возрастающей интен сивности.
Поскольку во многих случаях-законы распределения величин рабочих параметров элементов можно считать нормальными, то вероятность выхода этих параметров за допустимые пределы при усиленном воздействии определенного эксплуатационного фактора (температуры, изменения питающих напряжений, времени) опре деляется в первом приближении нормальным законом.
Нормальное распределение моментов выхода элементов из строя описывается уравнением (90), т. е.
Так как параметр изделия зависит от параметров элементов, то выходные характеристики изделия в течение времени t выходят за допустимые пределы. Следовательно, задача расчета надеж ности формулируется следующим образом: требуется найти вероятностьтого, что в течение времени t выходные характеристики изделия не выйдут за допустимые пределы, если известны законы распределения параметров элементов. При этом выходными ха рактеристиками изделия могут быть либо показатели качества пе реходного процесса, либо характерные точки частотных харак теристик, либо точность, либо какая-нибудь другая ее характе ристика. Иногда требуется проанализировать изделие одновре менно по нескольким наиболее важным характеристикам.
Рассчитывая надежность изделия, при постоянных отказах элементов, принимают следующие допущения:
1) выходные характеристики изделия и параметры элементов являются случайными функциями времени с нормальными зако нами распределения в каждый данный момент времени;
2) корреляционные связи между параметрами элементов от сутствуют;
3) выходные характеристики изделия линейно зависят от па раметров элементов;
4) изделие считается отказавшим, если хотя бы одна из его выходных характеристик вышла за допустимые пределы.
Первые два допущения означают, что отказы элементов счи таются событиями независимыми и внезапные отказы отсутствуют. Допущение об отсутствии внезапных отказов фактически озна чает, что внезапные и постепенные отказы являются событиями независимыми и расчет надежности сложного изделия по этим
видам отказов можно вести |
раздельно, т. |
е. |
P (t) = |
Рв (t) Рп (0, |
(308) |
где Р в (t) — вероятность того, что за время t в изделии не про изойдет внезапного отказа;
Рп (t) — вероятность того, что в момент времени t в изделии не произойдет постепенного отказа.
Третье допущение может быть принято, так как при постепен ных отказах область изменения параметров элементов ограничена и зависимость выходных характеристик системы от параметров элементов может быть линеаризована.
Практически наблюдаемые кривые, определяющие зависимость характеристик надежности от времени, на среднем своем участке
Pit)
Рис. 121. График вероятностей безотказной работы изделия.
обычно следуют экспоненциальному, а на последнем — нормаль ному закону распределения. Поэтому, если не интересоваться пе риодом приработки, эти характеристики достаточно хорошо мо гут быть представлены композицией экспоненциального и нор мального законов распределения.
Методы расчета надежности при постепенных отказах до на стоящего времени разработаны еще в недостаточной мере. Ниже приведены формулы для определения вероятности безотказной работы изделия, рассмотренные в литературе [2, 24, 58].
Расчет общей вероятности безотказной работы с учетом вне запных и постепенных отказов можно определить [58 ] по формуле
|
к |
Л^Л(. к |
|
|
-t J |
|
|
P(t) — е |
П[0.5- Ф (z)]?‘ , |
(309) |
|
|
|
/= 1 |
|
где Nt — количество |
однотипных равнонадежных |
элементов |
|
в i-й группе; |
|
|
|
k — количество групп элементов; |
|
||
%i — опасность отказа |
г-го элемента. |
|
|
Значение функции |
Ф(г) |
определяется по формуле |
|
где о — среднеквадратичное отклонение времени безотказной работы элемента от его среднего значения.
Пример 1. Узел аппаратуры состоит из 10 равно надежных элементов. Параметры надежности, характе ризующие старение элементов, Тср = 8000 час., сг =
=1500 час.
Требуется определить вероятность безотказной работы
по постепенным отказам за время t = 5000 час. Решение.
Вычислим аргумент
t —Тср |
5000 — 8000 |
|
|
о |
|
|||
— 5 -----------TÔ55— |
= —2. |
|
||||||
По таблицам |
находим |
значение |
функции |
Ф (—2) = |
||||
= —0,477. |
формулой, при Р в (t) |
= |
1 и k |
= 1, опре |
||||
Пользуясь |
||||||||
деляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп (0 |
= |
(0,5 + |
0,477)10 = |
0,79. |
|
|||
Пример 2. |
В |
состав |
узла |
аппаратуры |
входит 10 |
|||
равнонадежных элементов со следующими показателями
надежности по внезапным отказам |
и по старению: Xt = |
|
= 10"6 1/час; Тср = 10 000 час.; о |
= 2000 час. |
|
Рассчитать вероятность безотказной работы с учетом |
||
внезапных и постепенных отказов. |
|
|
Решение. |
|
|
Графики функций Pb (t)\ Pn (t) |
и P |
(t), рассчитанные |
по формуле (309), представлены на рис. |
121. |
|
Приложения