книги / Надежность судовой электронной аппаратуры и систем автоматического управления

ную сетку №. 2. Получаем расположение отметок, показан­ ное на рис. 38.

3. Проводим через отметки прямую линию и убе­ ждаемся в возможности линейной интерполяции. Находим

иснимаем наибольшее отклонение: D = 0,03.

4.Рассчитываемкритерий согласия:

D у Т = 0,031^23 = 0,14; 0,14 < 1 ,0 0 .

В соответствии с формулой (133) считаем, что исследо­ ванный закон распределения времени исправной работы подчиняется нормальному закону распределения.

Пример 3. Обработкой исходных данных получен сле­ дующий вариационный ряд времен восстановления в ми­ нутах:

10; 20; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 45; 45; 45; 53; 60; 60; 60; 60; 70;. 70; 70; 75; 75; 85; 85; 90; 95.

Выявим закон распределения времени восстановления. Решение.

1.Используя данные, заполняем табл.' 9.

2.Нанесем экспериментальные данные на координат­ ную сетку № 1. Получаем расположение отметок, показан­ ное на рис. 39. Из рисунка видно, что линейная интерпо­ ляция невозможна. Это свидетельствует о том, что экспе­ риментальные данные не подчиняются экспоненциальному закону.

Всоответствии с принятой последовательностью зако­ нов производим проверку подчинения экспериментального распределения логарифмически нормальному закону. Для этого нанесем экспериментальные данные на координат­ ную сетку № 3. Получаем расположение отметок, показан­ ное на рис. 40.

3.Проводим через отметки прямую линию и убе­ ждаемся в возможности линейной интерполяции.

Находим и снимаем наибольшее отклонение: D = 0,07.

4.Рассчитываем критерий согласия:

D Y~k — 0,07 1/25 = 0,35;

0,35 < 1 ,0 .

В соответствии с формулой (133) считаем, что исследо­ ванный закон распределения времени восстановления под­ чиняется логарифмически нормальному закону распре­ деления.

§ 45. Оценка надежности изделий, при ограниченном числе данных по отказам

Для того чтобы найти закон распределения случайных вели­ чин, необходимо провести сравнительно большое число опытов (я). На практике чаще всего приходится иметь дело со статистическим материалом весьма ограниченного объема, который оказывается недостаточным для определения закона распределения случайной величины количественной характеристики надежности X . (Напри­ мер, Тср или тср). Однако такой материал может быть подвергнут статистической обработке, позволяющей получить некоторые све­ дения о случайной величине X путем ориентировочной оценки ее числовыххарактеристик.

Любое значение искомого параметра, вычисленнде на основе ограниченного числа опытов, называется оценкой параметра.

Правила и методы наилучшей статистической обработки опыт­ ных данных для достоверной оценки неизвестных теоретических значений параметров с требуемой точностью и достоверностью оценки составляют содержание задачи п а р а м е т р и з а ц и и р а с п р е д е л е н и я .

Если в процессе экспериментальной проверки получают неко­ торый статистический ряд

X Х^, Xÿt XQ, . . ., Xff . . ., Xft,

то, располагай им, можно найти некоторую величину т :!:, йвляющуюся функцией от п случайных реализаций х{

Справедливость этого приближенного равенства будет тем более обоснованной, чем больше объем статистики п и чем лучше подо­ брана функция т*.

Например, при ограниченном числе статистических данных по отказам величины Гер И ХСр, определенные по формулам (41) и (67), являются случайными, однако они могут быть использованы как оценки величин Тср и тср.

Возможность применения Гер И ТСр для приближенного опре­ деления (оценки) среднего, времени безотказной работы и среднего времени восстановления базируется на положении теории вероят­ ностей, согласно которой среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины является с о с т о я т е л ь н о й и

не с м е щ е н н о й оценкой математического ожидания.

Со с т о я т е л ь н о с т ь оценки означает, что при увеличе­ нии числа опытов п она приближается (сходится по вероятности)

кистинному значению математического ожидания.

Н е см е щ е н н о с т ь оценки выражается в том, что при использовании среднего арифметического значения не делается систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

Таким образом, использование в качестве оценок при ограни­

ченном числе опытов величин Тср и ТсР позволяет свести неиз­ бежные ошибки при определении Т'ср и тср к минимально воз­ можным.

' • Задача заключается в том,.чтобы определить, насколько эти неизбежные ошибки влияют на точность и достоверность вычислен­ ных значений Гср и тср, т. е. если в качестве оценки параметра Гср (или тср) принимается среднее арифметическое наблюденных зна­

чений ТсР (или Тср), то надлежит установить, с какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом ошибка не прев­ зойдет некоторой наперед заданной величины е.

Решение задачи сводится к нахождению вероятности того, что

Вероятность Y принято называть д о в е р и т е л ь н о й в е ­ р о я т н о с т ь ю . Это вероятность того, что ошибка от замены параметра т его оценкой т* не превышает по абсолютной вели­ чине некоторого произвольного числа е. Иными словами, Y есть вероятность того, что случайный интервал 1у [(т* — е), (/л* + е)] накроет точку т. Интервал / у, который с вероятностью у накры­

Следует* иметь в виду, что точности различных оценок можно сравнить между собой только при одинаковой их достоверности у. С другой стороны, достоверности различных оценок сравниваются только при одинаковой заданной точности оценки е.

Таким образом, для правильной статистической оценки не­ известных параметров надежности необходимо решить следующие практические задачи:

1)определить достоверность оценки у;

2)выбрать наилучшую статистическую оценку для /л. Определение достоверности оценки у* Д ля определения до­

верительной вероятности у необходимо знать функцию плотности распределения f (т*) случайной величины т\ тогда вероятность попадания величины т* на участок — е-ь + е определится выра­ жением

Установление закона распределения случайной величины т* сопряжено с большими трудностями, так как он зависит от закона распределения величины /л, а следовательно, от его неизвестных параметров, в том числе и от т. Поэтому в математической стати­ стике стараются перейти от случайной величины т* к какойлибо другой функции наблюденных значений хъ х 2, . - -, хп, закон распределения .которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов л и от вида закона распределения величины т.

Располагая значением доверительной вероятности у от задавае­ мой требуемой точности оценки е, можно вычислить таблицы или построить рабочие графики — номограммы, позволяющие осу­ ществлять статистическую оценку параметра т для разных чисел опытов л.

Таким образом, пользуясь соотношениями (135) и (140), можно указать величину достоверности у того, что неизвестное значение

параметра т заключено в пределах между т1 и т2

В том случае, когда вид функции f (х) неизвестен, можно опре­ делить нижний предел вероятности у, используя неравенство Чебышева

Пользуясь графиком, можно получить доверительные границы для оцениваемого параметра т с заданными достоверностью у и точностью 8.

Вероятность у, вычисленная по формуле (145), дает только ниж­ нюю границу достоверности оценки. Поэтому для сравнительно больших значений п {п > 30-ь50) вероятность у с достаточной для практики точностью может быть вычислена при любых функциях распределения на основании известной центральной предельной теоремы Ляпунова

Используя эту формулу, можно определить достоверность при­ ближенного равенства т* « т для любых значений объема ста­ тистической выборки п > (30-J-50).

Пример. Дано: il = 10, w* = 100, $ = 100. Необхоходимо определить доверительные границы для т и досто­

можно утверждать, что возможные значения неизвестного

Рис. 41. Номограмма оценки неизвестного параметра распре­ деления с достоверностью, определяемой неравенством Чебышева.

доподобия. Этот метод позволяет определить наилучшую функцию от статистических реализаций для оценки независимого пара­ метра т.

Допустим, что в результате опыта был получен статйстический ряд п значений независимых величин X = xlf х 2 . . ., xit . ., хп изучаемой случайной количественной характеристики надеж­

Pi = f (xh т) ДXi.

Вероятность dPn (л:ь x 2f . . xt . . .хп, т) = dPn (xit т) слож­ ного события, заключающегося в том, что случайная величина хп — (Хх, х 2, . . ., xh . . ., х№) примет полученное на опыте зна­ чение

хп + А* = {хг + Д*х; х 2 + à x 2; . . xt + Ахр, . . .

. . хп + Д*„; ж),

определится по теореме умножения вероятностей для независимых событий (Xi -f Ах[) как

П

dPn (ъ; т) — П Pi = f (xt; т) f (*2; m) . . .f {xt\ m) . . .

В действительности эксперимент с величиной х дал нам факти­ ческую реализацию в виде п конкретных значений чисел xh вероят­ ность появления которых dPn (ху, т) определится соотноше­ нием (147). Но эта вероятность является функцией от неизвестного параметра т.

Логически напрашивается вывод о том, что вместо неизвест­ ного параметра т в выражении (147) нужно так подобрать оцен­

зависящая от неизвестного параметра т при фиксированных зна­ чениях Xi (для данного опыта), называется ф у н к ц и е й п р а в ­ д о п о д о б и я .

Так к а к .максимумы функции Lx и вероятности dPn (xit m) по параметру т совпадают, а максимум для Lx совпадает с макси­ мумом логарифма от нее, удобнее иногда функцию правдоподобия исследовать на максимум по параметру т в виде

Таким образом, в качестве статистической оценки максималь­ ного правдоподобия т* для оцениваемого параметра т принимают то значение m = m*, которое обращает функцию правдоподобия L в максимум, т. е. является решением уравнения правдоподобия

Сущность применения метода максимума правдоподобия для нахождения наилучшей оценочной функции от статистических реализаций заключается в следующем:

1) по известной (предполагаемой) аналитической форме плот­ ности вероятности f (лг, т) для произвольного числа реализаций п составляется функция правдоподобия в соответствии с выраже­ нием (149);

2) решается уравнение правдоподобия (150)

пределения с математическим ожиданием Тср и средним квадра­ тичным отклонением <г.

Так как параметры Тср и а неизвестны, установить закон рас­ пределения случайной величины Т* невозможно. Для решения задачи о доверительной вероятности и доверительных границах применяют следующий искусственный прием: вместо случайной величины Т* вводится другая случайная величина М по формуле

где Г д -y-j — гамма-функция.

Практически важно, что распределение Стыодента совершенно не зависит от параметров Тср и о, а зависит только от некоторого аргумента t и параметра п — числа наблюдений.