книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством
..pdfСложная операция характеризуется п входными и пг выходными потоками (рис. 2-7). Сложной операции соответствует технологическая схема, включающая не
сколько операций, или |
агрегат с |
несколькими |
входами |
||||
и выходами. |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения сложной операции можно записать в до |
|||||||
статочно общей форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уз=!ЛЪ> х)> |
/ = 1, |
•••> |
|
|
(2*52) |
|
Здесь |
использованы |
те |
же |
обозначения, |
что и |
||
в (2-51), только х — вектор. |
общая |
модель |
комплекса |
||||
Можно |
утверждать, |
что |
|||||
(1-1) — (1-5) допускает |
представление в виде |
совокуп |
|||||
ности моделей введенных типовых операций. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
•Lj |
\ ! |
|
У/ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Х1\ |
|
—r ^ ü j |
||
|
|
|
Х п |
----^~^У т |
|||
Рис. 2-6. Схема разделительной |
Рис. |
2-7. |
Схема |
сложной опе- |
|||
операции. |
|
|
■рации. |
|
|
Î |
Наряду с изучением отдельных типовых операций существенно рассмотрение свойств структур наиболее распространенных технологических комплексов. Такие комплексы получаются путем соединения отдельных ти повых операций.
Наиболее распространены последовательные или параллельные соединения простых операций с одним входным и одним выходным потоком. Исследованиям таких схем посвящено большое число работ [7, 11, 71, 72]. Достаточно общей структурой являются последо- вйтельно-параллельиые схемы.
Для технологических операций смешения характерно параллельное соединение, т. е. смешение нескольких продуктов из общих компонентов. Например, такие схе мы распространены в нефтепереработке и химических производствах [83, 90, 149].
В схемах разделения многокомпонентных смесей, как правило, на каждой стадии получают два продукта. Отдельные стадии процесса связаны прямыми и рецир куляционными потоками [46—48]. Задача управления
состоит в выборе параметров рециркуляционных пото ков и некоторых параметров управления для каждой стадии процесса.
Таким образом, рассмотрение перечисленных про стейших комплексов охватывает достаточно широкий круг комплексов с последовательно-параллельной струк турой, включающих операции преобразования, смеше ния, разделения потоков. Естественно, на практике мо гут встретиться комплексы с более сложной структурой, чем рассмотренные выше. В этом случае необходимо иметь процедуру, позволяющую на основе решений для отдельных типовых операций и перечисленных простей ших комплексов получать решения для комплекса с за данной структурой.
Для последующей разработки на базе введенных типовых операций и комплексов этих операций типового программного обеспечения для подсистемы АСУ необ ходимо изучение моделей отдельных типовых операций (комплексов), задач оперативного управления иа базе этих моделей и методов решения сформулированных задач.
Программное обеспечение для реализации подобной подсистемы АСУ представляет собой наборы вариантов отдельных типовых задач, отличающиеся моделями типовых операций, критериями решения задач и мето дами решения. Каждый из этих вариантов может быть представлен в виде одного или нескольких программных модулей, образующих библиотеку.
Для каждого конкретного производства из этой биб лиотеки выбираются необходимые программы и осу ществляется обеспечение этих программ соответствую щими массивами переменной (оперативной) и постоян ной информации.
Можно рассматривать различные модели введения типовых операций, отличающихся видом функции f. Однако для выявления особенностей отдельных опера ций целесообразно перейти от рассмотрения моделей с функциями общего вида к более частным моделям. Следует отметить, что класс моделей (2-49) — (2-52) с линейными зависимостями (класс линейных моделей) не представляет существенных трудностей для анализа. Трудности в расчете таких моделей связаны, как пра вило, с размерностью моделей технологических комплек сов, построенных на базе линейных моделей тицовых
операций. Поэтому в дальнейшем этот класс моделей будет рассматриваться, если только к этому классу бу дут сводиться более сложные модели. Основное внима
ние |
будет уделено |
рассмотрению |
линейных |
моделей |
с переменными коэффициентами. |
|
|
||
|
Применительно к этому классу моделей для сложной |
|||
операции можно записать следующую формулу: |
||||
|
У/= 2 |
Ы #)-*/. / = 1 ’ |
•••• т• |
(2‘53) |
|
/-1 |
|
|
|
где |
fji — некоторые |
переменные коэффициенты, |
завися |
|
щие от |
|
|
|
Модель (2-53) линейна относительно параметров материального потока. Управление потоком может про изводиться путем изменения fa или значений хг-. Значе ния Х{ могут определяться наличными запасами в емко стях и возможными ограничениями на пропускную способность данной и соединенных с ней типовых опе раций.
Коэффициенты fa определяются свойствами рассмат риваемой операции и технологическими требованиями, накладываемыми на нее. В частности, можно предста вить, что согласно этим требованиям в пространстве тех нологических параметров операции выделяется некото рое множество допустимых значений Ф* и #еО*.
Если в выражение (2-53) ввести новые переменные , то вместо (2-53) можно записать:
П
0 / = 2 UüXl' / = 1 ........ т> |
(2-54) |
i=I |
|
а множество -0' может быть отображено в новое мно жество U, MjtŒlJ.
Применительно к смесительной и разделительной операциям модель (2-54) может быть записана так:
Х{=щ у, |
г=1, |
..., |
п\ |
(2-55) |
|
yj=UjX} |
/ = 1, |
..., |
m. |
(2-56) |
|
Таким образом, |
в моделях |
(2-54) —(2-56) |
появляют |
||
ся дополнительные |
переменные (вектор и), |
связанные |
с распределением материальных потоков. Значения этих переменных ограничены технологическими параметрами каждой типовой операции.
Рассмотрим в качестве примера смесительную опе рацию.
Вформуле (2-55) -переменные щ определяют соотно шения, в которых смешиваются исходные потоки. Кон кретный набор значений и*\, ♦• • » и*п можно рассматри вать как рецепт приготовления смеси.
Вбольшинстве операций смешения необходимо учи тывать показатели качества выходного потока, на кото рые наложены ограничения. Ограничены также запасы смешиваемых компонентов. Если обозначить множество допустимых рецептов смешения как Uc, то смесительная операция с учетом всех приведенных выше ограничений
описывается зависимостью (2-55) при условии, что
u e U c.
Множество и с может быть задано различными спо собами. Например, его можно задать в виде набора от дельных допустимых рецептов, т. е. конкретных значе ний вектора и. Если множество Uc является выпуклым многогранником, то оно может быть задано крайними точками этого многогранника или, наконец, аналити чески с помощью равенств или неравенств, выделяющих на множестве рецептов допустимую область.
Проведя аналогичные рассуждения, можно утверж дать, что для разделительной операции переменные, и
также выбираются из некоторого допустимого множест-
л»
ва Up, ueUp, а для сложной операции переменные и вы бираются из множества и сл при и е и сл.
Приведенные модели типовых операций (2-54) — (2-56), как уже указывалось, принадлежат к классу линейных моделей с переменными коэффициентами. От линейных эти модели отличаются тем, что коэффициен ты при основных переменных, в данном случае ха рактеризующих количественные характеристики мате риальных потоков, также являются переменными, определяемыми на некоторых множества своих зна чений.
Выбор для рассмотрения линейных моделей с пере менными коэффициентами является достаточно обосно ванным с технологической точки зрения. В простой опе рации переменный коэффициент характеризует затраты сырья на выход единицы готового продукта. Для сме
сительной операции эти коэффициенты могут рассмат риваться как переменные расходные коэффициенты, для разделительной операции как переменные коэффициен ты отбора продуктов или коэффициенты выпуска. Во всех случаях эти коэффициенты являются технологи чески управляемыми параметрами, от которых могут зависеть показатели качества выходных продуктов.
Рассмотренные модели являются частным случаем нелинейных моделей.
«7 |
б) |
|
Рис. 2-8. Структуры наиболее распространенных комплексов типо вых операций.
и — простые |
операции: 1 — последовательное |
соединение, |
2 — параллельное |
||||
соединение, |
3 — последовательно-параллельное |
соединение; |
б — смесительные |
||||
операции: |
|
/ — параллельное |
соединение, |
2 — последовательное |
соединение |
||
с простои |
операцией; 3 — последовательно-параллельное соединение с простой |
||||||
операцией; |
|
о — разделительная |
операция: |
/ — последовательное |
соединение, |
||
2 — схема |
с рециклом. |
|
|
|
|
|
Для практических приложений определенный инте рес представляет расширение класса рассматриваемых нелинейных моделей. Поэтому в гл. 5 будут рассмотре ны методы линейной аппроксимации нелинейной модели общего вида для случая сложной операции. Так как лю бые операции могут рассматриваться как частные слу чаи сложной операции, указанные методы аппроксима ции применимы для операций псех видов.
Наиболее распространены последовательные или па раллельные соединения простых операций (рис. 2-8).
Достаточно общей структурой являются последователь но-параллельные схемы.
Для смесительных операций распространенным явля ется параллельное соединение, соответствующее процес сам смешения нескольких продуктов. Многие схемы включают последовательные соединения простой опера ции и смесительной, это соответствует процессам сме шения и переработки сырьевых материалов.
Разделение многокомпонентных смесей, как правило, осуществляется последовательно при условии получения на каждой стадии двух продуктов. Распространены схе мы с рециркуляцией после отделения конечного про дукта.
Будем предполагать, что количественные и качест венные показатели материальных потоков не будут из меняться при переходе от одной операции к другой.
Отметим, что в случае линейных моделей отдельных операций (2-49) — (2-52) общая модель комплекса явля ется линейной для любых схем, в том числе и схем с ре циркуляцией.
На базе моделей применительно к отдельным опе рациям и их комплексам будем рассматривать ряд за дач оперативного управления. Эти задачи будут заклю чаться в нахождении таких значений потоков и пере менных коэффициентов, при которых'выбранный критерий принимает минимальное (или максимальное) значе ние при выполнении ограничений. Ограничения накла дываются на количественные и качественные параметры некоторых входных и выходных материальных потоков.
В качестве критерия для задач управления комплек сом может фигурировать прибыль, производительность, валовой выпуск, затраты на функционирование всех установок и др. Наиболее общим критерием является прибыль, которая зависит как от входных и выходных потоков комплекса, так и от затрат на функционирова ние. Применение в качестве критерия прибыли пред полагает знание цен входных и выходных продуктов комплекса.
Затраты на функционирование каждой операции за висят от режимов и материальных потоков. Для про стой операции можно считать, например, что зависи мость затрат от входного потока имеет вид:
z= g(#)x. |
(2-57) |
В отдельных случаях затраты определяются только режимными параметрами и практически не зависят от потоков, т. е. вместо (2-57) имеем z=g('ô').
Для смесительной, разделительной и сложной опера ций затраты представляются аналогично (2-57) в виде зависимостей с переменными коэффициентами, являю щимися функциями режимных параметров.
При рассмотрении комплексов операций предполага ется, что затраты на функционирование различных опе раций входят в критерий аддитивно.
Все задачи формулируются как задачи математиче ского программирования. Одной из целей исследований является сведение указанных постановок к задачам ма тематического программирования с известными процеду рами решения (например, линейным или выпуклым за дачам) или разработка специальных методов решения
Г л а в а т р е т ь я
П О С ТРО ЕН И Е С ТА ТИ Ч ЕСКИ Х М О Д ЕЛ ЕЙ А ГР ЕГА ТО В
3-1. О пределение параметров модели
При построении моделей производств необходимо иметь модели отдельных агрегатов, отражающие зави симость выходных потоков агрегатов от входных. Наи более распространенным способом построения моделей благодаря своей простоте и естественности является метод наименьших квадратов. Однако модели, получен ные этим методом, могут существенно отличаться от моделей, которые подсказывает здравый смысл. Напри мер, полученная модель может иметь необъяснимые знаки коэффициентов.
Кроме того, часто модели используются в условиях, отличных от тех, при которых собирался эксперимен тальный материал, т. е. модели используются не для интерполяции, а для экстраполяции — для вычисления значений выходов при входах, существенно иных, чем в выборке. В таких случаях хорошего совпадения моде ли с экспериментальными данными, на которых она построена, далеко не достаточно. Здесь уже для разра
ботчика АСУ существенен сам вид модели, например, какие знаки коэффициентов должны быть. Необходимо учитывать эти требования при получении модели и пе реходить в связи с этим к более сложным процедурам их построения.
Будем рассматривать только линейные модели агре гатов, поскольку их легче строить, а модель производ ства на основе линейных моделей отдельных агрегатов получается более простой и удобно реализуемой на ЭВМ. Как отмечалось уже в гл. 2, для производств, в которых агрегаты работают в узком диапазоне изме нений нагрузок и технологических параметров, линей ные модели могут быть вполне приемлемы и по точ ности.
Заметим, что линейность при построении модели и линейность при ее использовании — разные понятия. Для использования модели важна линейность относи тельно входов, а для ее построения — линейность отно сительно искомых коэффициентов.
Рассмотрим модель, линейную относительно неиз
вестных коэффициентов: |
|
|
|
*/=атф(х), |
(3-1) |
где ф (х)— заданная |
вектор-функция; |
а — вектор иско |
мых коэффициентов; |
«т» — знак транспонирования; х — |
вектор входных потоков и режимных параметров уста новки (для краткости — вектор входов); у — оценка вы ходных параметров установки.
В отличие от гл. 1, 2 в этом параграфе не будем вводить отдельных обозначений для входных потоков и режимных параметров, так как при построении модели (3-1) это несущественно. Если установка имеет несколь ко выходных потоков, то по каждому выходу может быть построена модель вида (3-1).
Если задана выборка из N экспериментальных точек
я = 1 » N {у{п), х^/г)}ЛтоХоценка а методом наименьших квадратов, когда^минимизируется сумма
2 [У(п)- у М ] \ |
(3-2) |
л- 1 |
|
находится решением системы линейных уравнений:
|
W a=b, |
(3 - 3 ) |
|
|
N |
где |
W — матрица с элементами |
^ ?t (*{п)) X |
|
|
И=1 |
|
|
А ' |
X ?/ |
b—вектор с компонентами |
<р,- (х<,г)) у(п)*. |
|
|
0=1 |
При этом точность определения а зависит от рас положения экспериментальных точек и погрешностей их измерения. В классическом случае, когда х, ср(х) изме ряются и вычисляются без погрешностей, регрессионная зависимость у от х имеет вид (3-1) и погрешность изме рения у имеет гауссовскую функцию распределения ве роятностей, компоненты вектора а имеют функцию рас пределения Стыодента, а остаточная погрешность имеет функцию распределения %2 [75].
Модель (3-1), линейная относительно х, имеет вид:
y = a0 + 2i aix t'
/=1
где V — размерность вектора х.
Матрица W и вектор b (3-3) в этом иметь вид:
1t Xj , |
Л/2 |
_ |
. xv |
||
Х\ 9 XJXJ |
|
|
W = Х о ........................ |
; ь = |
|
|
|
• |
|
|
• |
|
|
» |
Xv XyXj |
Ху&2 • |
— |
. x2v |
||
■ • & |
(3-4)
случае будут
У
^4 .
*i y
Х 2У |
(3-4а) |
«
♦
■
где |
— среднее значение x t. |
* Иногда целесообразно матрицу W н вектор b строить иначе, вычитая из элементов средние значения. Это приводит к повыше нию точности решения задачи [74].
Иногда необходимо, чтобы при нулевых значениях входов модель давала нулевое значение выхода. Для обеспечения этого условия достаточно положить в (3-4) Û0= 0, а для вычисления остальных коэффициентов вос пользоваться матрицей W (3-4а) без первой строки и первого столбца и вектором b без первого элемента.
Если, кроме а0=0, необходимо еще, чтобы зависи мость (3-4) проходила через центр выборки, т. е. при средних значениях входов модель давала среднее зна чение выхода
У = £ aixi> |
(3-5) |
то для расчета коэффициентов модели нужно положить в (3-4а) 1FII= 0 и решить систему (3-3).
Первая компонента полученного вектора а будет иметь значение множителя Лагранжа, а остальные ком
поненты будут значениями коэффициентов щ, а2, ... , av
модели (3-4).
Действительно, функция Лагранжа в рассматривае мом случае
где X— множитель Лагранжа; |
у№ вычисляется по фор |
||
муле (3-4) при Оо=0. |
а0, дифференцируя по |
щ, |
|
Тогда, |
обозначая X через |
||
i—0, V и |
приравнивая производные нулю, получаем |
b |
|
и W (3-3), причем U711==0. |
|
|
Когда линейная относительно х модель непригодна, зависимость, проходящую через начало координат, можно попытаться найти в виде
V |
|
У=аоП Х°,‘- |
(3-7) |
Для вычисления коэффициентов необходимо проло гарифмировать (3-7), если у > 0 и Xi>0, и минимизииовать по а критерий
N
2 [ ln y w - I n (,<">]=.