книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством
..pdfпродолжен. Получение для двух последовательных итерация доста точно близких результатов по критерию F и параметру v свиде тельствует о решении задачи с требуемой точностью.
В [69] приведен пример расчета схемы рис. 5-5. Исходные за висимости для f(v) и g (о) представлены в табл. 5-1. В качестве
начальных режимов были выбраны ojl *=72; |
«=78. Соответ |
ствующая матрица задачи линейного программирования представ лена в табл. 5-2. Результаты решения приведены в табл. 5-3. По результатам решения определялись значения Яь Я2, V * и F, которые даны в первой строке табл. 5-4. Для следующей итерации были
выбраны и{^ = 74р ц2(1)=76. В. результате решения аналогичной
задачи линейного программирования были получены новые значе ния переменных Я|, Я2, v \ F, приведенные во второй строке табл. 5-4. Различие полученных результатов по критерию F и па раметру v определяется погрешностью аппроксимации, которая до статочно мала.
Таблица 5-3
/ |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
G |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
и 12 |
|
13 14 15 |
|||||
xi |
135 |
0 |
51,5 |
32,3 |
0 |
Г8,4 |
0 |
25,5 |
0 |
|
0 |
118,7 |
73,8 |
48,4 |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р о д о л ж е н и е |
т абл . |
5-3 |
|||||||||
|
i |
|
IG |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
26 |
|
27 |
|
xi |
|
65,5 |
|
21,5 |
12,5 |
127 |
114 |
15,G |
41,7 |
|
0 |
|
11 |
5,5 |
160 |
|
155 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5-4 |
||||
№ |
« f > |
|
|
|
x, |
^3 |
V * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
i |
72 |
78 |
0,508 |
0,492 |
74,9 |
283 |
|
340 |
|
315 |
J |
11540,6 |
||||||||
2 |
74 |
76 |
|
1 |
0 |
|
74 |
33 i |
|
|
297 |
|
315 |
11537,5 |
В [69] приведен также пример расчета более сложной схемы, содержащей две установки риформинга.
Рассмотрим теперь иной способ решения задачи на примере технологического комплекса с рециклом (см. рис. 5-2). Граничные режимы комплекса будем опреде лять при фиксированном значении параметра 0(2) в про стои операции.
Предположим, что необходимо провести аппроксима цию двумя граничными режимами, соответствующими зна
чениям параметра |
D£2). Задача, сформулированная в |
§ 5-3, решается при фиксированном значении 0(*) = oj2) —
определяются соответствующие значения переменных х ол, Уfi' Другие переменные и прибыль F1, затем определяется
решение при 6(2) =Ь<£) и определяются х02, у ^ , другие переменные и прибыль Ft.
Схема рис. 5-2 заменяется параллельным соединени ем двух комплексов с фиксированными значениями 0(2)
хо |
Уг |
Х 02
Рис. 5-7. Схема комплекса с рециклом при аппроксимации ра боты комплекса двумя граничными режимами.
(рис. 5-7). Затем для параллельного соединения ком плексов записывается следующая линейная задача:
XiJCoi-ЬЯг-Хог^-Хо*,
— и л а х ,
где Ль Лг — интенсивность использования каждого ре жима.
В соответствии с полученными интенсивностями Л*ь Л* 2 два режима могут быть приближенно заменены од
ним со значением параметра 0
0*=Л*'ё}2) +Я% 1'2).
При аппроксимации нелинейных сложных моделей можно от шага к шагу увеличивать число граничных ре жимов, аппроксимирующих данную модель. Для невыпу клых задач нельзя гарантировать сходимость подобной процедуры к истинному решению, но во многих практи ческих задачах оперативного управления и не требуется находить истинное решение, достаточно найти улучшение существующего (известного) допустимого, что и позво* ляет сделать рассматриваемая процедура.
В предыдущих параграфах задачи оперативного уп равления рассматривались применительно к отдельным типовым операциям и типовым структурам соединения этих операций в технологический комплекс. При этом в качестве моделей отдельных операций в основном ис пользовались получившие достаточно широкое распро странение на практике линейные модели с переменными коэффициентами.
Таким образом, если исследуемый комплекс пред ставляет собой отдельную типовую операцию или опре деленного вида соединение этих операций и каждая из операций с достаточной степенью точности может быть описана линейной моделью с переменными коэффициен
тами, |
то решение |
задачи |
для |
всего комплекса может |
быть |
найдено на |
основе |
приведенных в предыдущих |
|
раздел ах рекомендаций. |
могут |
встретиться различные |
||
Однако на практике |
сложные операции или сложные структуры соединения типовых операций, выходящие за рамки рассматривае мых моделей отдельных операций и комплексов. Поэто му в этих случаях появляются определенные трудности, в процедурах получения решений, основанных на исполь зовании существенных особенностей рассматриваемых моделей. Возникает необходимость в разработке специ альных композиционных процедур, позволяющих иа основе решения отдельных задач для подмоделей отдель ных операций, входящих в комплекс, получить решения для всего комплекса операций.
Рассмотрим одну из таких возможных процедур, осно ванную на методике линейной аппроксимации сложных операций (см. § 5-4).
Предположим, что имеется технологический ком плекс, состоящий из типовых операции и имеющий па раллельно-последовательную структуру. Кроме типовых операций с моделями, принадлежащими к классу линей ных с переменными коэффициентами, в комплекс входит одна сложная операция с нелинейной моделью. Для ре шения задачи оперативного управления сложная нели нейная операция заменяется новой операцией с моделью типа (5-10). Аппроксимация исходной модели операции
линейной |
моделью (5-10) с переменными |
Я,- приводит |
к тому, |
что в целом модель комплекса |
превращается |
II* |
163 |
s * ;; . . ... . Г
в линейную модель. Найденные значения переменных Я,- характеризуют интенсивность использования каждого г-го граничного режима данной операции в полученном решении.
Аналогичный подход возможен, когда в состав ком плекса входит сложное структурное соединение типовых операций. Эту структуру можно рассматривать как не которую сложную операцию, включенную в комплекс. Введенная таким образом новая сложная операция ап проксимируется линейной (5-10). В результате исходная модель вновь сводится к линейной.
Выше указывалось, что переход от аппроксимации на сетке общего вида к аппроксимации граничными режи мами позволяет для одной операции существенно сни зить размерность задачи. Однако при рассмотрении ком плекса операций размерность аппроксимирующей зада
чи линейного программирования получается |
все-таки |
|
достаточно большой. Для уменьшения |
размерно |
|
сти можно воспользоваться рядом практических |
||
приемов. |
При аппроксимации граничными режимами число |
|
1. |
переменных в задаче, а следовательно, и размерность задачи определяется в основном числом рассматривае мых граничных режимов.
В предыдущем параграфе приведен пример, когда аппроксимация операций с нелинейными сепарабельны ми характеристиками линейной моделью с двумя гра ничными режимами дала практически удовлетворитель ные результаты.
Следует отметить, что аппроксимация граничными ре жимами может быть применена также и к линейным моделям. Предположим, что линейная модель некоторой операции или комплекса имеет большую размерность. Тогда такая модель заменяется аппроксимирующей мо делью, размерность которой уже связана с числом ис пользуемых граничных режимов. В результате можно существенным образом снизить размерность исходной задачи.
2. При аппроксимации отдельной сложной операции точность решения задачи будет зависеть от того, на сколько «удачно» выбраны эти граничные режимы. Естественно было бы рассмотреть процедуру, которая позволяла бы уточнять первоначально выбранную сово купность граничных режимов и путем введения в задачу
коВыХ режимов осуществлять поиск лучшего приближу
ния к оптимальному решению.
Рассмотрим подобную процедуру. Предположим, что имеется промышленный комплекс, представляющий по следовательно-параллельное соединение N в общем слу
чае сложных нелинейных операций вида |
|
|
= |
и'")), / = 1...... тк, |
(5-12) |
где /е — порядковый номер операции {k=\, .... N).
Для каждой из операций задано множество допусти
мых режимов Gfc, определяемое системой |
неравенств |
вида |
|
g(«(x,s,i „(»))>0. < = 1 ...... st. |
(5-13) |
На составляющие вектора xw uW в силу физических условий наложены двусторонние ограничения {х<Л>, uW}e eRW, где RW— ограниченное замкнутое множество.
Предположим, что р-й выходной поток /г-й операции
соединен согласно структуре комплекса с s-ми входами l-х операций через /г-ю узловую точку комплекса
2 С |
- 2 |
(5.14) |
( p ,k ) ^ L h |
(s,l ) & h |
|
где L/j, D/t—множества индексов, соответствующие струк туре связей /г-й узловой точки, /г=1, ..., Т.
Требуется найти {xW, uW}, удовлетворяющие системе ограничений и максимизирующие значение критерия
ЛГ
^ = 2 ^ (А)(х^>, и<*>)-чпах. |
(5-15) |
Л=1 |
|
Предполагается, что критерии отдельных операций входят в общин критерий аддитивно.
Аппроксимируем множество RW каждой k-n операции
граничными режимами. Тогда, применяя рассмотренную выше линейную аппроксимацию сложных операций, вме-
сто задачи (5-12) —(5-15) получим следующую линейную задачу:
|
Як |
|
|
Я1 |
|
2 |
2*1" С |
"!*’) - |
2 2**',Ч |
,= ° : |
|
p,k)€=Lf, |
>—1 |
|
(s.O^D/t*-1 |
|
|
|
|
h—I, . . . , T; |
|
||
|
Ч |
|
|
|
0; |
|
2 |
(■*;*’. |
«;*’) |
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
(5-16) |
|
|
|
|
|
|
|
2 4(ft) |
|
|
= |
1; |
|
(=1 |
|
|
|
|
|
ft=i /=1 |
(х!/г), |
u ^ —max; |
|
|
|
|
|
|
|
|
,(ft) |
0, i= \,...,q k, |
k = l,...,N . |
|
||
|
|
Допустим, что задача (5-16) имеет следующее реше ние:
Тогда значения исходных переменных можно найти по формулам:
^ А)= |
2 |
Яг(% Ц Й)> |
/,==1...... т *; |
|
|||
|
Х=1 |
|
|
|
|
||
|
ч |
>*(ft) „(ft) |
5 |
1, ... , flf{, |
|
||
x{k>= y ,i: w x'*’ |
(5-17) |
||||||
s |
СЛ |
I |
si |
|
|
||
|
/=I |
|
|
|
|
||
и(А» = |
\ ? Л |
(4), |
/•= |
1...... ku. |
|
||
г |
£ j |
|
i |
ri |
|
||
|
/=1 |
|
|
|
|
|
Таким образом, на основе допустимых режимов от дельных операций произведена «композиция» общей при
ближеиной линейной модели комплекса и решение зада чи оперативного управления (5-16) выражено как ли нейная комбинация этих режимов.
Будем называть уточненной задачей по отношению к исходной (5-12) —(5-15) такую линейную задачу вида (5-16), в модель которой дополнительно введен новый
граничный режим одной из |
операций, что и привело |
к возрастанию функционала |
F. Задачу нахождения та |
кого граничного режима будем называть задачей уточ нения. Подобная задача была сформулирована впервые Дж. Данцигом применительно к итерационной процеду ре решения задачи выпуклого программирования и ре шалась им на основе трактовки выпуклой задачи как
задачи обобщенного линейного программирования
[20].
Задачу уточнения можно рассматривать как нахож дение такого нового столбца матрицы в задаче линейно го программирования вида (5-16) (нового граничного режима), введение которого в базис при решении этой задачи симплекс-методом приводит к увеличению функ ционала.
Сформулируем двойственную к (5-16) задачу. Тре
буется найти значения переменных |
у/„ р|А\ k=\, ... |
..., N, которые обращают в минимум |
|
|
|
/г=1 |
|
|
|
|
|
при ограничениях |
|
|
|
|
|
|
|
рш (*<» „(») _ |
s |
(д.(« |
„<»)+ |
2 |
Т), |
+ |
|
|
SA* |
|
|
(h„s)SBs |
|
||
+ Е ?Те'ц (•*!"• |
|
|
; = |
1......q„. к= 1....... N, |
|||
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
pi('o > 0 , t = 1, |
. . . , sk, |
k = \ , . . . , |
N. |
|
|
||
В результате решения |
этой |
двойственной |
задачи на |
||||
ходятся значения |
переменных у*л, р*(Л), р*(А:\ |
Обозначим |
их как у*ч , р ^ \ ^ \
Сформулируем теперь следующую задачу для /е-й
операции, входящей в комплекс: |
|
|
|||||
- |
шах |
L<*>, (х <*>, |
u<fe>)=F<ft>(x<*>, u<*>) — |
|
|||
(u(ft), х(/г>) |
|
|
|
2 |
|
|
|
YГ*h9kf“(x«*>.«<*>)+ |
|
|
|||||
(Ai. Р)£Ak: |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
(/z2,s)sBft |
(5-18) |
|||
|
|
+ 2 |
PW |
( * |
|1’.« i‘’); |
|
|
|
|
t=i |
* |
|
|
|
|
|
Из решения этой задачи найдем: |
|
|
||||
|
.*(*> |
,*(*) |
|
|
|
|
|
|
«sgk+ 1* |
U |
|
|
|
Г ~~~1> ••• > |
|
|
rqk+l }i ^---1| ••• » |
|
Если
i<*> (x:<« v ч+х
для всех k=\, ..., N, то найденное решение (5-17) явля ется оптимальным решением исходной задачи и введение любого нового граничного режима не приведет к уточ нению модели и, следовательно, уточненному решению исходной задачи.
Если хотя бы для одной, например s-й, операции
И*>(х*(б) |
, и |
) > f t* (•«) |
VH |
|
|
то в этом случае полученное решение задачи (5-18) для s-й операции может служить новым граничным режи мом этой операции, который и вводится в исходную аппроксимированную задачу (5-16).
Таким образом, на каждом шаге процедуры можно уточнять композицию общей модели комплекса, причем основная трудность процедуры, связанная с нахождени ем новых граничных режимов, перенесена на уровень от дельных операций, т. е. требуется решать нелинейную задачу вида (5-18) для каждой операции. Очевидно, что при этом можно искать приближенное решение, так как любое решение, которое дает хотя бы некоторое увеличе
ние Ш по сравнению с р*(5), уже дает более высокое значение общего функционала F.
т
Длй случай, когда |
— линейные, gJA), |
Я й>—выпук |
лые функции, можно |
доказать сходимость |
процедуры |
к истинному решению. Доказательство строится анало гичного доказательству, приведенному в [54].
Рассмотренная процедура позволяет эффективно ис пользовать решения, найденные для отдельных типовых операций, для композиции приближенной модели слож ного комплекса, содержащего эти операции. Процедуры начинаются с аппроксимации отдельных операций мини мальным числом граничных режимов, например двумя. Этим может быть достигнуто существенное уменьшение размерности модели комплекса, все трудности переносят ся на процесс получения решений для отдельных типо вых операций, который при достаточной изученности мо делей операций может быть хорошо отлажен.
Полученная приближенная линейная модель ком плекса затем может уточняться до тех пор, пока не будет найден компромисс между точностью описания и раз мерностью модели.
Выше предполагалось, что исходная аппроксимиру ющая задача (5-16) имеет решение, однако области ре жимов, определяемые выбранными допустимыми гра ничными режимами каждой операции, могут не иметь общих точек и балансные соотношения в (5-16) будут нарушаться. Изложенная процедура может быть исполь зована для нахождения таких новых допустимых гранич ных режимов, которые расширяли бы эти области и по зволяли найти допустимое решение аппроксимирующей задачи.
Гла ва ше с т а я
ЗАДАЧИ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО И КАЛЕНДАРНО ГО ПЛАНИРОВАНИЯ
Задачи распределения материальных потоков явля ются основными при технико-экономическом планирова нии непрерывных производств. При таком планировании определяются агрегированные потоки комплекса, усред ненные по продолжительным отрезкам времени плани рования (месяц, квартал, год).
При конкретной реализации найденных техНико-Эко- номических показателей работы комплекса использует ся календарное планирование. Как указывалось в гл. 1, календарный план можно рассматривать как траекто рию перехода комплекса из некоторого исходного состоя ния в конечное, определяемое показателями технико-эко номического плана. При определении календарного пла на необходим учет динамических свойств емкостных запасов исходных, промежуточных и готовых продуктов.
Рассмотрению динамических моделей оперативного управления и календарного планирования применитель но к химико-технологическим производствам посвящены работы [94—96, 104—109]. Особенно сложные задачи возникают в нефтепереработке, характеризуемой боль шой номенклатурой исходной промежуточной и конечной продукции [95, 99, 108]. В [95] предлагается введение дискретных значений уровней в емкостях и нахождение оптимального решения методом динамического програм мирования. С учетом размерностей практических задач такой подход оказывается нереалистическим, поэтому в дальнейшем были предложены некоторые эвристиче ские упрощения общей процедуры динамического про граммирования для данного класса задач.
6-1. Постановка задач технико-экономического и календарного планирования
Будем рассматривать задачу календарного планиро вания работы технологического комплекса как задачу разбиения технико-экономического плана, заданного на весь плановый период, на календарные отрезки.
Календарный план должен быть оптимальным в со ответствии с выбранным технологическим или экономи ческим критерием для всего планового периода и реали зуемым в соответствии с ограничениями каждого кален дарного интервала времени. Следует выделить две по становки задачи календарного планирования.
1. При заданном графике ремонта оборудования определяются материальные потоки и запасы сырьевых материалов, полупродуктов и готовых продуктов. На по ставки сырьевых материалов и выпуск продукции нало жены ограничения, вызванные связями данного ком плекса с другими комплексами или объектами народного хозяйства.