книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством
..pdfТО вместо одного столбца появляются Два столбца пере менных Хц, х2\ с одними и теми же переменными коэф
фициентами t>2,) и
Подобная задача, как уже указывалось, является не линейной. Для ее решения могут быть использованы приемы аппроксимации произведений переменных (см. §5-2).
Существенным в этой задаче является наличие в кон туре рецикла простой операции с переменным парамет ром и необходимость учета влияния качественных пока зателей. При фиксации параметра сформулированная задача становится задачей обобщенного линейного про граммирования.
5-4. Линейная аппроксимация нелинейной модели сложной операции
Рассмотренные в предыдущих двух разделах струк туры комплексов (последовательно-параллельные и с рециклом) приводят к нелинейным задачам. Как указы валось, приближенное решение таких задач путем аппро ксимации отдельных нелинейных зависимостей связано с необходимостью введения большого числа новых неиз вестных и ограничений, что существенно снижает эффек тивность методов решения. В связи с этим становится необходимым разработка более эффективных процедур нахождения приближенных решений подобных нелиней ных задач.
Исследуемые комплексы можно рассматривать как сложные операции, поэтому такие процедуры можно трактовать как процедуры аппроксимации сложных опе раций.
В качестве одной из подобных процедур рассмотрим метод аппроксимации нелинейных моделей сложных опе раций на множестве граничных режимов.
Вернемся к задаче оперативного управления, сформу лированной ранее в гл. 2 [см. (2-14)]:
У— /(*. |
u)>d; |
| |
х е Х , |
u g U ; |
(5'9> |
F = F ( x , u)—max, |
I |
|
где у= / (х, и) представляет модель |
сложной операции; |
X и U — множества допустимых значений входных пото ков и заданных параметров.
Обозначим D = X y U . Предположим, что В —ограни ченное, выпуклое многогранное множество,
Вкачестве сетки аппроксимации выберем вершины множества D, которые физически можно рассматривать как некоторые предельно возможные (граничные) режи мы проведения сложной операции.
Вэтом случае для любого допустимого режима мож* но записать:
ч
|
==2 |
S-- 1....... tl\ |
|
|
|
г—I |
|
|
|
Ч |
|
|
us= |
Y . * ги{Р |
- 5 = 1 ......т' |
|
2 Я г — |
г=1 |
0 . Г =1........... <7, |
|
1. Я г > |
||
|
Г=1 |
|
|
где {х'г), |
u(,')} = {xjr), ..., |
и\г), ... ,иУ*} — граничные |
|
режимы |
(варианты) |
проведения операций; q — общее |
|
число граничных режимов. |
|
Если множество D не является выпуклым многогран ником, то среди допустимых режимов, принадлежащих этому множеству, можно найти такую совокупность до пустимых режимов, на которые «натянут» некоторый вы пуклый многогранник, который и считается аппроксима цией множества D. Выбранные исходные режимы будут играть в этом случае роль граничных режимов.
Таким образом, технологические возможности данной сложной операции аппроксимируются линейной суперпо зицией выбранных граничных режимов с весовыми коэф фициентами Яг> 0 ^ Я Г^ 1 , 1— 1, q. При этом задача оперативного управления (5-9) заменяется следующей
линейной задачей:
|
|
Ч |
г / , = 2 ^ / ( х (°. |
u,r))>rf,. / = 1 ...... |
|
г=1 |
|
|
Ч |
===:: 1»• ■*»Я'* |
(5-10) |
2 к ==^ |
||
Г=1 |
|
|
и ' 0 ) — :шах,
а. входные .и выходные переменные определяются по фор мулам:
* / = 2 W x(0- “ (г))« г=1
Ч
jc#= 2 * r * < r ) , s = l , . . . , /г;
Г=1
Ч
us= ^ X ru{sr), 5 = 1 ,
r = l
Коэффициенты Яг являются интенсивностями исполь зования каждого исходного граничного режима и входят в модель сложной операции в качестве искомых пере менных.
По сравнению с исходной нелинейной моделью моде ли с переменными коэффициентами являются более ча стными, однако, как было показано, этимодели доста точно хорошо описывают типовые операции. Поэтому естественно попытаться применить рассматриваемую аппроксимацию к моделям с переменными коэффициен тами с тем, чтобы полученные аппроксимирующие мо дели использовать для описания нелинейных • типовых операций.
Рассмотрим задачу (5-9) в предположении, что слож ная операция описывается следующей моделью с пере менными коэффициентами:
|
yj ~ '2 iUjiXl, / = |
1, ... , m; |
|
|
|
/=1 |
|
|
|
П |
|
|
f = |
2 « .Л . |
|
|
|
i= 1 |
|
гдё |
и г- —выпуклые, |
непересекающиеся множества (/= |
|
=1, |
• ••, п). |
|
Ut — выпуклые ограни |
Предположим сначала, что |
ченные многогранники. Если эти множества заданы сво ими вершинами — граничными вариантами, можно от з$-
дачй оперативного управлений
П
yi = '2iuaxi ^ di' / = 1 ......т; /=]
О<Xi<bt, t = l , . . . , / i ;
5= 0,1,.... т, i = 1,..., /г;
П
i = ]
перейти к следующей линейной аппроксимации задачи:
|
|
|
п |
4i |
|
|
|
I |
|
|
|
^ / = 3 |
2 я" и/;)=3^ / ’ / = |
1»*• *»т ; |
|
||||
|
|
|
t = I |
Г = ] |
|
|
|
|
|
|
ч |
Ki = x{, I — 1 |
п, |
|
|
. (5-11) |
|||
|
2 |
|
Ям-йО; |
||||||
|
Г5=1 |
|
|
|
|
|
' |
||
|
|
|
f = S |
|
(О |
max, |
|
|
|
|
|
|
2 * " “'о t |
|
|
||||
|
|
|
1= 1 r= I |
|
|
|
; |
||
|
"ri |
|
|
|
|
|
|
||
г д е |
—5-я |
координата |
(5 |
= 0, 1......т) г-й |
вершины |
||||
ы'. |
|||||||||
(/ = |
1,... ,?,) |
/-го множества |
U/t / = |
1,..., п. |
|
Здесь исходная сложная операция представляется как совокупность параллельных операций разделения, вы ходные потоки которых соответствующим образом со единены, как это показано на рис. 5-3. Режимы проведе ния сложной операции определяются через режимы этих отдельных операций разделения. Рисунок 5-4 соответст вует аппроксимирующей задаче (5-11), когда каждая из введенных разделительных операций заменяется парал лельным соединением новых разделительных операций с фиксированными режимами работы. При высказанных выше предположениях аппроксимирующая линейная за дача (5-11) позволяет получить точное решение исход ной задачи.
Теперь предположим, что Uf не являются многогран никами. Предположим также, что заданы граничные ре жимы отдельных операций разделения. Тогда каждое из множеств U/ можно аппроксимировать многогранником,
^натянутым» на эти граикчкые режимы. В результат формулируется линейная аппроксимирующая задача (5-11), Однако ее решение для исходной нелинейной за дачи является уже приближенным.
Приведенный выше пример аппроксимации типовой операции связан с решением задачи обобщенного линей ного программирования. Таким образом, рассматривае-
Рис. 5-3. Представление сложной операции в виде совокупности параллельных операций разделения.
Рис. 5-4. Схема комплекса, соответствующая аппрокси мирующей задаче.
мый в этом раздель общий метод аппроксимации слож ной операции в случае использования структуры модели с переменными коэффициентами сводится к обобщенно му линейному программированию.
Следует отметить, что при аппроксимации сложной операции необходимо быть уверенным в том, что удаст ся найти независимые граничные режимы по каждой из операций, в виде совокупности которых представляется сложная операция. Если это сделать не удается, то мож но попытаться представить сложную операцию как па раллельное соединение типовых операций с иезависимы-
ми граничными режимами. 6 противном случаё необхо димо применять общую аппроксимацию типа (2-15).
Предлагаемый в этом параграфе метод аппроксима ции граничными режимами может быть эффективно ис пользован для нахождения приближенных решений не линейных задач оперативного управления, рассмотрен ных в § 5-2 и 5-3.
Первоначально рассмотрим схему последовательно-параллель ного соединения на примере задачи оптимизации материальных по токов при производстве бензинов [69]. Упрощенная технологиче ская схема комплекса представлена на рис. 5-5 и включает уста новку риформинга 1, реализующую простую операцию, и три па раллельные операции по смешению бензинов 2—4, каждая соот ветствует получению бензина определенной марки.
Предполагается, что простую операцию можно описать с по мощью модели с переменными коэффициентами вида
гд е |
0<>)— режимный параметр |
(жесткость режима). |
|
|
||||
|
Предполагается, что 0W однозначно определяется основным по |
|||||||
казателем |
качества |
продукта — октановым числом о, |
о=о(0М ), |
|||||
поэтому |
в |
расчетах |
используется следующая |
зависимость: |
|
|||
|
|
|
yO)=fU) (o(i))x(*)= (а0—счоШ)дЩ, |
|
|
|||
где |
а0, |
ai — постоянные коэффициенты, определяемые |
на |
основе |
||||
статистических данных. |
|
|
предполага |
|||||
|
Все остальные материальные потоки комплекса |
|||||||
ются с постоянными показателями качества. |
качества |
в |
ограни |
|||||
|
Октановое число |
входит |
как показатель |
чения операции смешения, для которых используются компоненты риформинга
па
i»(H x { t} + 2 |
а2/*у2) > У(г> Ь2; |
/=2 |
|
«а |
|
оП) Х(,3 )+ 2 |
°3/*/3)> * /{3) bi> |
/-2 |
где и2, |
п3 — количество используемых компонентов; Ь2) |
Ь3— окта |
||
новые |
числа по |
ГОСТ для соответствующих марок бензина; |
ац, |
|
а3j — заданные |
постоянные коэффициенты (октановые |
числа |
дру |
гих компонентов бензинов).
Остальные ограничения задачи линейные. Требуется опреде лить такие значения материальных потоков и октанового числа
установки риформинга, при которых |
прибыль достигает максимума |
3 |
з nk |
F = £ ( ÜO ) ) X (1>-]-2с (к ) У {к) — 2 2
ft—2 |
ft=»2 /=1 |
Ё матрице сформулированной задачи переменный коэффициент иО) входит в несколько столбцов. Как уже указывалось, полученная задача является существенно нелинейной.
Для нахождения практически удовлетворительного решения технологические возможности установки риформинга аппроксимиру ются двумя режимами, соответствующими двум различным зна
чениям режимного параметра (V1) |
и 02(|) |
и, следовательно, двум |
значениям октанового числа v \l\ = |
v (0{^ ), |
о |1) = у ( 0 ^ ) . |
(г)
У
УV)
м
У
Рис. 5-5. Схема комплексов для производства бензинов.
/ —риформинг (простая операция); 2—4 — операции по смешению бензинов.
Рис. 5-6. Схема комплекса рис. 5-5 при аппроксимации модели про стой операции.
Эти режимы можно рассматривать как граничные. Такая аппроксимация на схеме рис. 5-5 соответствует замене простой опе рации с переменными коэффициентами параллельным соединением двух простых операций с фиксированными коэффициентами (рис. 5-6). В результате решения полученной линейной аппрокси мирующей задачи определяются материальные потоки и интенсив ности использования каждого из двух режимов проведения простой операции А,] и А^. Октановое число v* на выходе риформинга опре деляется как среднее
о* = о{1)Я, +
После определения v* |
можно |
уточнить |
решение, |
выбрав новые |
|
фиксированные режимы 0(,} и 0 ^ \ |
дающие |
значения |
v\ l ) , v 2l)( , бо |
||
лее близкие к найденному |
v*. Этот процесс может быть итеративно |
||||
|
|
|
|
|
Табли ш 5-1 |
ü(>) |
72 |
74 |
76 |
78 |
|
ж |
0,844 |
|
0,818 |
0,792 |
0,766 |
ё fa) |
16,6 |
17,0 |
17,4 |
17,8 |
N° п/п.
1
о
3
4
5
6
7
8
У
10
11
12
13
14
15
"нГ
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1 |
|
|
А-76 этилированный |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
8 |
13 |
-9,1 |
17,7 |
-16,8 |
-24 |
0,0 |
—0,08 |
•0.08 |
—0,08 |
.0,03 |
0,15 |
-0,07 |
0,28 |
- 0,1 |
0.5 |
0.5 |
0.0 |
-2,07 |
—2,15 |
2,01 |
-2,46 |
3 |
10 |
-10 |
—10 |
-1.Q |
ï-10 |
-10 |
-10 |
90 |
1 |
1 |
1 |
1 |
I |
1 |
1 |
1 |
27.9 |
27,9 |
3.99 |
13,99 |
4,03 |
4.9 |
12.2 |
Бензин
|
|
|
А-76 |
неэтнлированлын |
|
|
|
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
15 |
17 |
18 |
*
—4
-0 ,8
0.5
-1 0 I
1
сою —, (N0*0*2 1 1
I
9
-0 ,3 о.о
—10
1
1
—0,6 |
11,7 |
—22,8 |
- 8 ,4 |
—3 |
9 |
1,55 |
—0,7 |
2,8 |
—1 |
—1 |
|
—2,07 -2 ,1 5 |
—2,01 |
-2 .4 3 |
3 |
И |
|
—10 |
—10 |
—10 |
-1 0 |
90 |
90 |
1 |
! |
1 |
1 |
1 |
1 |
1
1
1
I
I
I
1 |
29 |
29 |
15,09 |
15,09* |
5,16 |
15,1 |
16 |
13,3 |
13,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 5-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Бензин |
|
|
|
Ограничения |
Ni п/п. |
|
|
|
А-93 |
|
|
|
|
f(v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид |
Значение |
||
|
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
| 24 |
25 |
26 |
27 |
||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$: |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
0 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
0 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
55 |
0 |
|
11 |
2 |
8 |
—1 |
5,9 |
8 |
12.2 |
|
|
|||
—45 |
—45 |
|
|
< |
0 |
||||||
12 |
16 |
7.3 |
—45 |
—34 |
—45 |
|
|
< |
0 |
||
13 |
0 |
- 2 ,1 5 |
11 |
|
11 |
9 |
9 |
|
|
||
14 |
—0.8 |
1,55 |
—1 |
=1’8 |
—1 |
—1 |
-Л |
|
|
< |
0 |
|
|
0 |
|||||||||
15 |
1 |
|
I |
1 |
1 |
1 |
1 |
—0.844 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
—0.766 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 1.3 |
18 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80,7 |
|||
19 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
< |
114,0 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
478,8 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
65,5 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
47,0 |
23 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
< |
43.8 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
45.0 |
|
25 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
24,5 |
||
26 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
< |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
11.0 |
|||
27 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
< |
5,5 |
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
< |
315 |
||
29 |
34,99 |
35,06 |
43,1 |
-91.1 |
43,1 |
43.1 |
43,1 |
—16.6 |
-1 7 ,8 |
|
|
F |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е (V)