книги / Справочник по микроэлектронной импульсной технике
..pdfройства называются пассивными. Двусторонний обмен зарядов реализуется в емкостно ключевых фильтрах и устройствах памяти. В последних обмен зарядами обычно проис ходит между накопительным конденсатором и источником сигнала. При необходимости в устройства с двусторонним обменом зарядов вводят активные элементы: управляемые генераторы напряжения или тока. Таким образом строятся, в частности, активные ем костно-ключевые фильтры.
В устройствах с зарядовой связью достаточно часто одновременно используются од нонаправленный перенос заряда и двусторонний обмен зарядов. Основные достоинства устройств с зарядовой связью:
изменение в широком диапазоне временных и частотных характери стик при изменении частоты такто вых импульсов;
возможность построения элек трических фильтров, линий задерж ки и накопителей из элементов, имеющих небольшие номиналы;
реализуемость в виде полупро водниковых или гибридных инте гральных микросхем.
Устройства с зарядовой связью представляют собой электрические цепи, основными элементами кото рых ‘ являются конденсаторы и пе риодически замыкаемые и размыка емые аналоговые ключи. Такие цепи называются емкостно-ключевыми и
обозначаются SC (S — от английского слова switch — ключ). В SC-цепях инерцион ность процессов обусловлена многократным перераспределением зарядов между ем костями.
При анализе и синтезе УЗС разбивают на SC-двухполюсники и SC-четырехполюс- ники с известными характеристиками и определяют характеристики или структуру об щей цепи по составляющим частям.
Обработка сигналов при помощи УЗС эквивалентна цифровой фильтрации, однако реализуется не цифровыми вычислителями, а дискретно-аналоговыми методами. УЗС значительно проще цифровых вычислителей и обладают более высоким быстродействием, потенциально уступая им по точности.
2. ОБМЕН ЗАРЯДАМИ МЕЖДУ ЕМКОСТНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Основным физическим процессом, определяющим существенные особенности работы двухполюсников и четырехполюсников устройств с зарядовой связью, является обмен зарядами между емкостными элементами (конденсаторами или потенциальными ямами в подложке) через замкнутый электронный ключ.
Сущность обмена заключается в следующем. Пусть цепь (рис. 12.2, а) состоит из двух конден саторов одинаковой емкости и электронного ана
т !* логового ключа. При разомкнутом ключе первый конденсатор заряжен до напряжения C/f, а вто рой —(разряжен. После замыкания ключа на пряжение на параллельно соединенных конден саторах
U2 = |
CUX/(C + С) = |
UJ2, |
Энергия, запасенная в цепи до замыкания ключа, |
= CU\l2%а |
после замыкания |
W2 = 2CU\l2 = |
CUy4. В процессе перераспределения заряда теряется половина энер |
|
гии. Действительно, согласно эквивалентной схеме (рис. 12.2, б)9 |
||
|
|
“i V) = i(t) RS + U2 (О, |
где щ (t) и «2 |
( 0 |
— мгновенные значения напряжения на конденсаторах; i (f) — ток |
в цепи; Rs |
сопротивление ключа. |
|
281
Последнее выражение перепишем с учетом связи между током, исходным зарядом q0 = и гС в первом конденсаторе, зарядом q (t) во втором конденсаторе и напряжениями в цепи:
1<7о ~ 9 (01/С = (dq (t)fdt) Rs + q (t)/C.
Решение полученного уравнения имеет вид
q(t) = (q0/ 2 ) ( l ~ e - m R s °).
При t — оо q — qJ2. Ток, протекающий в цепи,
i ( 0 = dq (t)/dt = [<7o/(tfSC)] e~2i/(RsC),
а энергия, которая рассеяна сопротивлением в процессе перераспределения заряда,
WR = $ ** ( 0 Ks * =
о
Таким образом, в случае равенства емкостей, независимо от сопротивления ключа, на нем при перераспределении заряда рассеивается половина первоначально запасенной энергии, а заряд в системе остается неизменным. Следовательно, при анализе SC-цепей недопустимо пренебрежение сопротивлениями электронных ключей, сколь бы малыми они ни были.
Анализ перераспределения зарядов в более сложной емкостно-ключевой цепи стро ится на основе решения уравнений Кирхгофа для контурных напряжений и узловых зарядов [2]. Уравнения для узловых зарядов записываются исходя из закона сохра нения заряда, сущность которого для емкостно-ключевой цепи заключается в том, что полный заряд, перенесенный в узел или из узла за любой промежуток времени, равен нулю. Этот закон аналогичен закону токов Кирхгофа. Поэтому в качестве переменных в составляемых уравнениях используются контурные заряды, а решение находится ме тодом контурных уравнений.
При составлении контурных уравнений для напряжений в цепи учитываются пред шествующие замыканию напряжения на емкостных элементах. Если и* (—0) — напря-
|
гЧЬп |
НЬ |
|
сз_ |
С9_ |
Q |
6 |
|
Рис. |
12.3 |
|
жение на элементах С* до замыкания ключа, a q^ — заряд, переданный в k-ю ветвь при замыкании, то напряжение на этих элемента после замыкания
“ft (° + ) = “ft (— 0 ) + Cft/Cft. |
(1 2 . 1) |
Процесс перераспределения зарядов в цепи (рис. 12.3, а), содержащей две группы |
|
неодновременно замыкаемых ключей — S* и S2, при замыкании каждой из которых обра зуется своя схема соединений (рис. 12.3, б, в), заключается в следующем.
Для обозначенных на рис. 12.3, б узлов закон сохранения зарядов выражается урав нениями
<7r + 9 i = 0 ; — 9 1 + <?2 + 9 з = ° ; — ?2 + ? 4 = ° *
В рассматриваемом примере контурные заряды совпадают с ^ и q2i поэтому связь заря дов ветвей с контурными зарядами записывается в виде
Яг = — W <7з = ?1 — W ?d = ?2- |
(12.2) |
При замкнутой группе Sx
и г (0 + ) = Н (0 + ) + Из (0 |
0 = н2 (0 + } — Из (0 4*) 4- и* (0 + ) . |
(12.3) |
282
После подстановки в уравнение (12.3) выражений (12.1) и (12.2) получим результат в матричной форме
1
|
|
Ся |
|
IМ Л _ |
( ur (° + ) — “i (° —) — “з (0 — ) \ |
.. |
||
|
|
|
|
|||||
|
+ |
|
|
I' J |
\ “ з (0 — ) — и, (0 - ) — «4 (0 —) / ’ |
|||
|
|
|
с* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнения (12.4) имеет вид |
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
+ |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
С3 |
С4 |
Ся |
|
/ “г (о + ) — « 1 (0 — ) — «я (0 — ) \ |
|||
-К |
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
\ из (0 —) — и2(0 —) — « 4 |
(0 |
—)/ 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
^4 ! |
|
Qi V |
* ^ 2 |
^4 . - |
|
|
_ |
2 |
|
находят за |
|||||
|
|
|
|
|
|
зависимость (12.2), |
||
По выражениям для контурных зарядов, используяа* |
|
|
||||||
ряды ветвей, а затем с помощью зависимости (1 2 . 1) отыскивают напряжения на емкост ных элементах после замыкания ключей S*.
Инерционные свойства SC-цепей определяются в результате анализа перераспреде ления зарядов между емкостными элементами. В качестве аргумента процесса перерас пределения используется время t = пТ или количество циклов коммутации п. На вход цепи при п = О подается напряжение в виде единичной ступеньки, и находится зависи мость выходного напряжения от параметра п при нулевых начальных условиях.
Рассмотрим порядок анализа процесса перераспределения зарядов на примере цепи (рис. 12,4, а), содержащей два конденсатора и две группы ключей.
4
0 /-W
О t 2 д ¥ 6 6 J 9
6
Рис. 12.4
При поэтапном вычислении напряжения иС2 (п) в первом цикле при замыкании ключа Si конденсатор С1 заряжается до единичного напряжения. При замыкании ключа Sa происходит обмен зарядами
|
|
11С2 (0 — |
1 ( 1). |
|
|
|
|
Во втором |
цикле коммутации |
|
|
('+44 |
|||
|
|
С11(2) + Саися(1) |
(___Cf |
||||
вса(2)" ' |
■'l |
са |
- ~ct+ ct |
||||
с, + |
V г |
Ci + |
C2 |
||||
В третьем |
цикле |
|
|
|
( |
ct |
\n _ C i _ |
|
С ,1(3)_+С ^са(2) |
[ |
С* |
||||
и С2 (3 ) ^ |
Ci + C 2 |
|
с± + с 2 |
\ Ci + C j J Ci + C3 • |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для произвольного /i-го цикла коммутации ключей
А ['+ -^ +(т&т),+ - +(* П -
283
Полученное выражение содержит геометрическую прогрессию, преобразование которой дает
«С2 («) = 1 ~ [С2/(Сг + |
C2)]n = |
1 - е~пЫ('+C./CJ. |
(12.5) |
Если положить Ci <£ С2, то In (1 + |
CJC2) ^ |
CJC2t откуда |
|
иС2 (п)& 1 — e~ nCl/c*. |
|
||
Последнее выражение показывает, что нарастание напряжения на конденсаторе С2 при Ci <£ С2 имеет ту же закономерность (рис. 12.4, б), что и переходный процесс заряда однозвенной интегрирующей #С-цепи. Постоянной времени RC-цепи соответствует отношение емкостей C2/Ci.
Поэтапное вычисление пригодно для анализа многократного обмена лишь в простей ших случаях. При сложной структуре цепи или форме возбуждающего воздействия вычйсления становятся громоздкими, что требует более рациональных путей решения поставленной задачи. Процесс поэтапного вычисления сводится к последовательному определению значений ряда, заданного рекуррентным соотношением
иС2 (л + О = [Cil (л) + С2ис2 (л)]/(С! + Са).
Такое соотношение есть линейное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
ДиС2 (л) + [С^Сг + С2)] лС2 (л) = [Сг/(Сг + CJ1 1 (л),
где АиС2 (л) = иС2 (л + 1) — иС2 (л) — первая разность.
Решается такое уравнение при помощи дискретного преобразования Лапласа в фор ме Z-преобразования. Связь дискретной функции, ее первой разности и ступенчатой дис кретной функции с их изображениями в 2-плоскости [6 ] имеет вид
иС2 (я) 0 — 0 UC2 (z); АиС2 (л) о —О (z — 1) UС2 (z);
1 (л) О —О z/(z — 1)-
С учетом этого последнее уравнение преобразуется к виду
(2 - 1) UC2 (2) + [CJipx + С2)] и С2 (г) = Сгг/(г - 1) (С* + С*),
«,кУИ |
5 ^ - ) ] ' |
а после обратного Z-преобразования |
|
UC2 (rt) ^ |
^ — [02/(Ci + С2)]а, |
что совпадает с выражением (1 2 .6 ).
Таким образом, обмен зарядами при многократном замыкании ключей описывается линейными разностными уравнениями, решение которых сводится к применению опера торного метода с использованием комплексной z-плоскости.
3. ЕМКОСТНО-КЛЮЧЕВЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ
Элементам SC-цепей свойственна обратная реакция, которую необходимо учитывать при построении двух- и многополюсных схем. В связи с этим при анализе SC-цепей ис пользуются комплексное сопротивление SC-двухполюсника и система комплексных пара
метров многополюсника.
Рассмотрим двухполюсную SC-цепь, состоящую из М конденсаторов и N групп ключей. Время, в течение которого все группы ключей поочередно замкнутся (цикл коммутации), равно Т. В общем ви де SC-двухполюсник можно представить (рис. 12.5, а) как входной конденсатор Сцх, отделенный от внешней цепи и внутрен
284
них элементов двухполюсника ключами S* и 5. Положим, что напряжение, подаваемое на вход двухполюсника, равно и (пТ) и что время, на которое ключи замыкают, доста точно для окончания переходного процесса заряда конденсаторов. Тогда при замыка нии группы ключей S* в конденсатор Свх перейдет порция заряда
Д<7 (пТ) = Свх {и (пТ) — и [(л — 0) Г]}, |
(12.6) |
||||
где и [(/г — 0) Г] — напряжение на конденсаторе Свх перед |
замыканием группы |
юно- |
|||
чей Sf. |
|
|
и [(п — 0) Т] |
|
|
Вследствие линейности |
цепи напряжение |
равно сумме предыдущих |
|||
значений входного напряжения, взвешенных с коэффициентами а/, где Г = |
Если |
||||
и (пТ) = 0 при п < 0, то можно принять i = |
I...0 0 , тогда напряжение |
|
|||
ы [ ( л - 0 ) Г ] = 2 |
щи [(л - i) Г]. |
|
(12.7) |
||
|
i= 1 |
|
|
|
|
Средний за период Т ток во входной цепи |
|
|
|||
|
«ср (пТ) = |
Дq (пТ)/Т. |
|
|
|
Учитывая это, а также выражения (1 2 .6 ) и (12.7), находим |
|
|
|||
<ср № |
= (Свх/Л { « (пТ) - |
§ щи [(п - |
о Т]J . |
|
|
Применим Z-преобразование к обеим частям полученного равенства |
|
||||
/(г) = (Свх/Г )С (г) |
^ - |
|
( 12.8) |
||
где / (г) и U (г) — изображения функций fCp (пТ) и и (пТ). |
|
|
|||
Сопротивление емкостно-ключевого двухполюсника |
|
|
|||
|
*Z(z) = U(2)ihz). |
|
(12.9) |
||
Совместное решение выражений (1 2 .8 ) и (12.9) дает связь сопротивления SC-двух |
|||||
полюсника с коэффициентами сц} характеризующими память цепи по предыдущим зна чениям входного напряжения, *
Z (г) = [riCm j 1/^1 - | |
(12. 10) |
В простых SC-двухполюсниках коэффициенты ai определяют, |
проследив обмен |
зарядами при коммутации ключей. Например, найдем сопротивление |
SC-двухполюсни |
ка, изображенного на рис. 12.5, б.
Напряжение на конденсаторе С перед очередным замыканием ключа S равно преды
дущей выборке напряжения, т. е. и [(п — 0 ) Я |
= |
и [(л — 1) Т], Это означает, что |
||
|
__ Г 1 |
при |
i = |
1; |
|
\ 0 |
при |
i > |
1, |
Используя выражение |
(12.10), получаем |
|
|
|
Z (г) = |
(Г/С) [1/(1 - |
г- 1 )'! = (Г/С) [г/(г - 1)]. |
||
Отыскание коэффициентов а/ в сложных двухполюсниках, содержащих М емкостных элементов и N групп ключей, состоит в следующем. При нулевых начальных условиях после замыкания группы ключей Si на емкостных элементах появляются напряжения, пропорциональные входному. Коэффициенты пропорциональности сводят в Af-мерный вектор-столбец AQf. В результате замыкания группы ключей S2 происходит перераспре деление напряжения. Новым значениям коэффициентов соответствует вектор-столбец А02. Переход из первого состояния цепи во второе описывается матрицей перехода В&а
А 02 = B 12A 0i .
285
Аналогично описывается процесс перераспределения напряжений при замыкании группы ключей S3
^ 03 = В 2 3 ^ 0 2 = ^23^12^01'
Цикл перераспределений оканчивается замыканием группы ключей S ^ t которой соответ ствует вектор-столбец
A QN = B ( N - \ ) N A 0(N—l) = B ( N - \ ) N B (N-2)(N—1) • • • B 23B 1 2 ^ 0 V
При замыкании каждой из групп ключей образуется своя схема соединения емкост ных элементов, причем начальные условия для каждой последующей схемы соответству ют результату перераспределения напряжений в предыдущей. Коэффициенты вектора
A,)i и элементы матриц перехода |
определяют решением уравнений, выражающих |
||||
закон напряжений Кирхгофа и закон сохранения заряда. |
|
замыка |
|||
По окончании 1-го цикла коммутации ключей, |
перед |
моментом очередного |
|||
ния группы Si, напряжение на емкостном элементе |
Свх линейно связано с напряжени |
||||
|
ями на емкостных элементах двухполюсника. Ко |
||||
|
эффициенты этой связи сводят в вектор-строку D. |
||||
|
Тогда входящий в выражение (12.10) коэффи |
||||
|
циент |
|
|
|
|
|
ai — DAQN — DB{N_ l)N . |
^23^12^01* ( 12. 11) |
|||
Рис. 12.6 |
Аналогично |
получаем |
|
|
|
а* = DAlN = DBt |
В 23В 12 B N I A Q N * |
||||
|
|
|
3(iV—\)N |
||
Произвольный t-й коэффициент |
|
|
|
|
|
at = DA{i_ l)N = |
DB{N__l)N |
B 23B l 2 B N \ A ( i — 2 ) N . |
|
( 12. 12) |
|
Таким образом, приведенная выше методика определения коэффициентов |
позволя |
||||
ет связать сопротивление SC-двухполюсника произвольной формы с процессом обмена в случае многократной коммутации ключей.
Для иллюстрации описанной методики найдем сопротивление двухполюсника, изоб
раженного на рис. 12.6, а. Рассматриваемый |
SC-двухполюсник содержит две группы |
ключей — Sx и S2, поэтому для определения |
его сопротивления требуется найти А01, |
D, В12 и В21. Так как иСвх = исп то |
|
A > i = Q . D = (10).
Для отыскания матрицы В12 запишем уравнение Кирхгофа для эквивалентной схемы (рис. 12.6, б), образовавшейся при замкнутой группе S2,
uCi = иоа “1" я№1»
иС2 = и0С2 ~Ь Q/C2*
иС1 + иС2 = 2иС1*
где иос/ и и0С2 — напряжения на конденсаторах С1 и С2 перед замыканием группы S*;
q — контурный заряд.
Решение этих уравнений имеет вид
11Cl = UC2 = u Q c fii/( C i С 2) u QC2 ^ 2,!(P l ^ 2)»
откуда
п |
___ IpiH Pi — ^2) |
— ^ 2 /(^ 1 — ^ г)\ |
12 |
“ \pJiPi — Q |
- C,/(Ci - С2)j ' |
Так как при замыкании ключа S* напряжение на конденсаторе С2 остается неизмен ным, а на конденсаторе С1 с предыдущим значением не связано, то
266
Подставляя выражения для A 01t D и В 12 в формулу (12.11), находим
Выражение для произвольного i-ro коэффициента
ai — [ ^ iHPi |
С2)] [— ^ 2 / ( ^ 1 — С2 ) ] 1 |
Сопротивление рассматриваемого |
двухполюсника описывается сходящимся при |
2 Сг < Сх рядом |
|
Т |
z-]~C2/( C i —* С2) |
Физически ограничения на сходимость ряда обусловлены наличием в составе двух |
|
полюсника усилительного элемента, что при 2 С2 > Сх делает цепь неустойчивой. |
|
Выражение (12.10) для сопротивления SC-двухполюсника получено в предположе |
|
нии, что ко входу цепи подключен генератор напряжения и (пТ). Если ко входу двух полюсника подключить генератор тока tcp (пТ), то напряжение на входе и ток через вход
ные зажимы связаны соотношением |
|
|
|
|
|
и (пТ) = |
(Т/Свх) 1ср (пГ) + |
и [(л - |
0) Т\. |
||
Вследствие линейности цепи |
|
|
|
|
|
и [(я - 0) Г) = |
£ ЬЛ |
[(л - |
0 Г]. |
||
|
Свх |
*=1 |
|
|
|
где bi — постоянные коэффициенты. |
|
|
|
|
|
Как и ранее, tcp = 0 при п < |
0, что позволяет конечную сумму в последнем выра |
||||
жении заменить бесконечной. При этом |
|
|
|
|
|
и (пТ) = |
icp (пТ) + |
У |
V |
[(л - 0 Г]. |
|
ВХ |
|
DX |
|
|
|
Применив Z-преобразование к обеим частям равенства, найдем
=5 biZ~ l1 ,
ивх L |
|
J |
|
откуда |
^ |
|
|
i ( Z) * = ~ J l + |
j j biZ- {j |
. |
(12.13) |
Для определения коэффициентов bLвыражение для и [(п — 0) Т] перепишем |
|||
и [(л - 0) Г] = - ! - |
f ; biq [(я - |
С) Т], |
|
°вх (=1
287
где <7 [(л — О Т ] = |
77ср Г(п — t) Т] — заряд, передаваемый во входной |
конденсатор |
|
при (п — i)-M цикле коммутации группы S*. |
|
|
|
Если векторы Arj и D' образовать коэффициентами, с которыми входящий заряд |
|||
при коммутации групп S/ и SN перераспределяется между |
конденсаторами двухполюс |
||
ника, а матрицей |
связать векторы распределения |
зарядов при |
коммутации |
(/ — 1)-й и /-й групп, то по аналогии с выражениями (12.11) и (12.12) можно записать
bi = D'AON = D 'B ^ _ цм |
^ 23^ 12^ 01» |
(12.14) |
bi = D,A^i_ X)N — D,B(N_ X)N . . . |
B23B[2BNiA ^_ 2)N * |
(12.15) |
Подставляя выражения (12.14) и (12.15) в формулу (12.13), находим связь сопротив ления SC-двухполюсника произвольной формы с процессом обмена зарядов в случае подключения ко входу двухполюсника генератора тока.
4. ЕМКОСТНО-КЛЮЧЕВЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮ СНИКИ
Для определения комплексных параметров SC-четырехполсюников используется взаимное сопротивление — отношение изображения напряжения на i-x зажимах к изоб ражению среднего тока через /-е зажимы
Z*ij(z) = Ui (z)/I*(z).
Наиболее просто задача отыскания комплексных параметров решается для четырех полюсников, представленных в виде совокупности SC-двухполюсников, входные зажимы которых коммутируют одновременно. Для таких цепей справедливы следующие пра вила:
1.Сопротивление цепи Z2, состоящей из последовательно соединенных двухполюс
ников, входные ключи которых коммутируют одновременно, равно сумме сопротивлений
двухполюсников: |
|
у *-* |
* |
* |
* |
Z2 ( z) = |
£ |
Zk (z). |
|
k = \ |
|
2.Проводимость цепи У2, состоящей из параллельно соединенных двухполюсников,
входные ключи которых коммутируют одновременно, равна сумме проводимостей двух полюсников:
|
|
* |
N * |
|
|
|
у г W= £ |
Ук (*)• |
|
|
|
|
к=1 |
|
|
|
Это позволяет задачу отыскания ком |
||
|
|
плексных параметров SC-четырехполюс |
||
|
|
ников, представленных в виде совокупно |
||
Рис. 12.7 |
сти SC-двухполюсников, входные зажи |
|||
мы которых коммутируют одновременно, |
||||
плексных параметров |
|
свести к известной |
задаче отыскания ком |
|
RLC-четырехполюсников по сопротивлениям |
входящих в цепь |
|||
двухполюсников. |
Z-параметров |
SC-четырехполюсника, |
изображенного на |
|
Найдем матрицу |
||||
рис. |
12.7, а. Рассматриваемый четырехполюсник можно представить в виде совокупности |
||
трех |
SC-двухполюсников, |
входные зажимы |
которых коммутируют одновременно |
(рис. 12.7, б). Известно [2], |
что матрица Z-параметров Т-образного четырехполюсника |
||
|
|
fZi + Z2 |
|
|
|
< Z2 |
+ 2 . |
Сопротивления входящих в цепь SC-двухполюсников описываются выражением
Zk (z) = (T/Ck)[ z /{ z - l) \ .
288
Искомую матрицу параметров получаем в виде
. |
|
, 7’ Ы г+ "гг)т^т |
|||||
(Z (2 )) = |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
В тех случаях, |
когда |
разделить |
|
||||
цепь на одновременно |
коммутируемые |
ЦГпТ) |
|||||
SC-двухполюсники не удается, ком |
|||||||
плексные параметры |
четырехполюсни |
Г |
|||||
ка получают из анализа процесса мно |
|||||||
гократного обмена зарядами между ем |
|||||||
костными |
элементами. |
Рассмотрим |
|
||||
такую процедуру |
на примере Упара |
|
|||||
метров. |
|
емкостно-ключевой |
|
||||
В общем виде |
|
||||||
четырехполюсник (рис. |
1 2 .8 , а) пред |
|
|||||
ставим как |
входной |
Свх |
и выходной |
|
|||
Свых емкостные элементы, |
отделенные |
|
|||||
от внешней |
цепи |
ключами Sf и |
Sk* |
|
|||
В общем случае группы ключей |
раз |
|
|||||
ные, поэтому средние токи |
через вход |
зажимы |
|||||
ные /ср1 (пТ) и выходные icp2 (пТ — ДО |
|||||||
для средних |
токов: |
|
|
|
|
|
|
Z — 1
(~ег+-гг)тгт
*9 и/янд
■ р* |
И |
а
сдвинуты на время Д/. Выражения
/ср1 (пТ) = |
ф - ^ |
(пТ) - |
Д |
awUi [(л - О Л + Д |
К« - |
О т ~ ДО ] |
|
|
?ср2 («О = |
( 2 |
a * i U i t(n “ f) 71 + |
{ п Т ~ ~ |
K t ) |
+ |
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
+ |
^ a |
22iu2 [ ( n - i ) T - A t ] |
|
|
|
где Ui (п Т ) и |
и2 (п Т |
— ДО — входное и выходное напряжения |
четырехполюсника; |
||||
a.k( — коэффициент, с которым напряжение на /г-й паре зажимов, действовавшее в момент
времени (п —[0 7\ присутствует на /-й паре в момент п Т — 0.
Применив Z-nреобразование к обеим частям последних выражений по определению Упараметров, найдем
Yn (г) = (It (z)/Ui (г)) I, |
= |
( l - |
£ |
оццТ 1) ; |
иi=Q |
|
\ |
t=\ |
) |
К |
(г) = |
(*i (z)/U2 (г)) \ |
= |
|
|
|
|
и,=О |
|
sfl |
(г) = |
♦ |
V |
= |
К21 |
( / 2 |
(z)/U1(г)) |, |
||
|
|
|
Uz=0 |
|
Y 2 2 (z) = |
( I 2 { z ) / U 2 ( z ) ) l |
= ■ |
||
|
|
|
(/,==о |
|
-£ ■ |
. .,-<;+дЦТ). |
£ а12, |
‘{=о
DMV |
£ |
a2ilz- ( I - Д / / Г ) . |
|
||
|
/ = 0 |
|
пых |
|
—I |
г |
1 - |
£ « . |
|
|
1=1 |
(12.16)
(12.17)
(12.18)
(12.19)
При отыскании коэффициентов аш-, аш , а2п» |
a 22t используются те же со |
ображения, что и при определении коэффициентов |
SC-двухполюсника. Существен |
ное отличие состоит в том, что возбуждение цепи и ее реакция анализируются при замы
кании как 1-й, так и k-и групп ключей. При этом выражения, |
связывающие коэффициен |
ты в формулах (12.16) — (12.19) с векторами-столбцами |
напряжений на емкостных |
2 8 9
элементах Ац |
и матрицами обмена В([__1)/f принимают вид |
|
|||||||
|
a i i i |
= |
\)N |
|
• • • |
^ 12^ 01* |
|
( 12.20) |
|
|
a u i |
= D i i B {N—l)N |
• • • B i2BN l^ (i—2)N* |
||||||
|
|
||||||||
|
a 121 == ^ 1 2 ^(Д Г — \ ) N |
•• • |
B k ( k + \ ) ^ o k * |
|
|
(12.21) |
|||
|
ai2i = DI 2B(N_ I)N . . . |
|
|
|
|
2)(ft—1)» |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
fl2U = |
|
2)(fc—l) |
• • • |
S i2^ 0i; |
|
(12.22) |
||
|
a2ii = |
^ 2l^(A—2)(/e—1) |
• • • |
B\2BN{A(t—2)N' |
|||||
|
|
||||||||
|
°221 = B>22B{k^_2)(k—l) |
Bk(k+l)Aol> |
|
|
(12.23) |
||||
|
a22i = B>22B{k_ 2)(A_i) ... |
^/г(А+1)^(А—1)И(£—2)(A—1)» |
|||||||
|
|
||||||||
|
|
где D/Vfe — вектор-строка, |
образованный коэффициентами, |
||||||
|
|
с которыми |
напряжения |
на |
емкостных |
элементах четы |
|||
|
|
рехполюсника |
входят в |
напряжения иг |
[(,п — 0 ) Т\ или |
||||
|
|
и2 [(л - |
0) Г]. |
|
|
|
|
||
|
|
Найдем У-параметры четырехполюсника, изображен |
|||||||
|
|
ного на рис. 12.9. Входная и выходная емкости четырех* |
|||||||
Рис. |
12.9 |
полюсника равны соответственно С± и Са, поэтому |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для вычисления В12 запишем уравнение перераспределения напряжений при замы |
|||||||||
кании ключа |
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cf |
, |
|
С2 |
|
|
|
и с< = “ С2 = «0а а + С2 + |
с 1 + с 3 • |
|
||||||
где исп иС2 — напряжения |
на конденсаторах |
С1 и |
С2 после замыкания ключа S2; |
||||||
UQCI» иос2 — напряжения на конденсаторах перед замыканием ключа S2. |
|||||||||
Выражение для В12 получим в виде |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
С г+ С 2 |
^ 2 |
\ |
|
|||
|
е,* = |
Сг + С2 |
I |
|
|||||
|
^ 1 |
|
|
^ 2 |
|
I |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
с х + |
с* |
С ,+ С 2 / |
|
|
||
После замыкания группы ключей S1 конденсаторы С1 и С2 заряжаются до напряже
ния внешних источников, т. е. информация о предыдущих значениях |
напряжений на кон |
|||||||||
денсаторах уничтожается, |
что соответствует В21 = |
0 . Зная выражения для В12 и В2и |
||||||||
вапишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
а |
л |
----- |
С\ |
|
при |
( = |
1; |
|
aiii |
u \\D\2^oi |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
при |
<> |
1; |
|
|
|
^ 11^ 12^ 21^(/_ 2)1 = |
0 |
|
|||||||
|
D\2AQ2= |
0 |
|
|
при |
1 = |
0 ; |
|
||
аЫ |
г> |
Я |
1 |
— Cj _|_сз |
при < = |
1: |
|
|||
^ |
12О14Л02 |
|
||||||||
|
£)12й1гВ21/4((_2)2 = |
0 |
при |
« > |
1. |
|
||||
Искомые параметры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ct |
|
|
|
|
1 |
С,Са |
||
(2) — |
|
Ci + C% |
|
^ 12 (Z) — т |
С\ + |
^ 2 |
||||
290