книги / Прикладная механика композитов
..pdfКромочные эффекты в слоистых композитах |
301 |
осевой называется коэффициентом взаимного |
влияния к\ху, х |
[21]: |
|
V х = V ,,/® *- |
(2 -1) |
Различие сдвиговых деформаций в слоях с ориентацией воло кон + 0 и — 0 при одинаковой осевой деформации показано на рис. 3(a). Эти деформации разного знака, поэтому переме щения слоев при сдвиге противоположны. Непрерывность пе ремещений у свободной кромки такой слоистой пластины обе спечивается исключительно за счет межслойных сдвиговных напряжений т2х (рис. 3(b)), поскольку граничное условие тре бует равенства нулю напряжения хуг на кромке. Равновесие сил в направлении оси х и моментов относительно оси z до стигается с помощью распределения межслойных сдвиговых напряжений хгх по поверхности раздела слоев и постоянных внутрислойных сдвиговых напряжений хху (рис. 3(c)).
Таким образом, рис. 2 и 3 иллюстрируют необходимость ненулевых межслойных напряжений, если существуют разли чия в свойствах материала вдоль свободных кромок. Как бу дет показано с помощью упругих решений (аналитических и численных), межслойные напряжения концентрируются в уз кой области пограничного слоя вдоль свободной кромки.
2.2. СООБРАЖЕНИЯ О РАВНОВЕСИИ СЛОЕВ В КОМПОЗИТЕ
Равновесие группы слоев типичного слоистого композита, имеющего свободные кромки, несомненно, доказывает необхо димость ненулевых межслойных напряжений. На рис. 4(a) по казаны несамоуравновешенные компоненты напряжений в на правлении оси у, действующих на группу слоев, лежащих выше поверхности раздела с координатой z*. Равновесие сил в направлении у можно записать в виде
k |
ь |
|
|
£ |
a'Jh = \ |
dy~ |
(2.2) |
* = 1 |
о |
|
|
где hi — толщина i-ro слоя.
Классическая слоистая теория (КСТ) справедлива для оценки напряжений во внутренних областях вдали от кромки;
следовательно, напряжения оу постоянны в каждом слое вдоль центральной линии у = 0. Если для всех слоев, лежащих выше
рассматриваемой поверхности раздела, сумма |
0 , то |
|
i |
напряжение хуг должно быть ненулевым на некоторой части этой поверхности (0 < у/b < 1,0). Однако выполнение
302 |
К. Геракович |
Рис. 4. Схема, иллюстрирующая напряженное состояние ряда несвязанных совместно деформируемых слоев.
граничных условий на свободной кромке требует, чтобы ту г = 0 для всех z и при у/b = 1,0. Следовательно, это межслойное сдвиговое напряжение, равное нулю во внутренних областях вдали от свободных кромок, является ненулевым вблизи от них и вновь становится нулевым на кромке. Это утверждение справедливо для любой произвольной координаты г. Дей ствие межслойных напряжений не ограничивается только по верхностями раздела между слоями.
Для равенства моментов относительно оси х для рассма триваемой группы слоев (рис. 4(a)) требуется следующая взаимосвязь между межслойными нормальными напряжения-
Кромочные эффекты в слоистых композитах |
303 |
ми ог и послойными напряжениями |
и1у: |
|
|
k |
|
ь |
|
Y, |
(Z <~ Zk) = |
) °гУ аУ’ |
(2-3) |
i =I |
|
О |
|
где Z, — координата середины /-го слоя.
Кроме того, равновесие сил в направлении оси г требует, чтобы результирующая сила, связанная с распределением на пряжений Oz вдоль любой плоскости z = zk, равнялась нулю. Таким образом, распределение ог должно быть в лучшем слу чае эквивалентным ненулевому моменту пары сил при нулевой результирующей силе. Понятно, что знак этого момента зави сит от распределения оу вдоль у= 0 . Следовательно, межслой ное нормальное напряжение может изменяться по толщине слоистого композита. Это напряжение может быть положи тельным, отрицательным или нулевым в любой точке компо зита, однако его распределение в пределах любой плоскости г = const должно быть эквивалентным паре сил.
Для равновесия сил на схеме, показывающей группу слоев композита (рис. 4(b)), требуется, чтобы неуравновешенные напряжения хху вдоль его центральной линии уравновешива лись ненулевыми напряжениями хгх вдоль поверхности раз дела, что можно выразить следующим образом:
k ъ
= |
\ Хг*ЛУ- |
(2-4) |
/ = 1 |
о |
|
Из уравнения (2.4) следует, что, если |
Ф 0, то в преде- |
|
|
i |
|
лах некоторой области на поверхности раздела должны суще ствовать ненулевые межслойные сдвиговые напряжения хгх.
Рассмотренные выше условия равновесия показывают, что применение послойного анализа может подтвердить факт су ществования ненулевых межслойных (сдвигового и нормаль ного) напряжений в некоторой части любой произвольной плоскости z = zk. Для определения фактического распределе ния межслойных напряжений необходимо решение соответ ствующей задачи теории упругости.
2.3. ВОЗНИКНОВЕНИЕ МЕЖСЛОЙНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ИЗ-ЗА РАЗЛИЧИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА МОНОСЛОЕВ
Возникновение межслойных напряжений обусловлено ис ключительно различием механических характеристик мате риала от слоя к слою. В однородных материалах при одноос ном нагружении эти напряжения отсутствуют. С точки зрения
304 |
Л. Iеракович |
задачи о свободной кромке наиболее важными характеристи ками материала являются коэффициенты Пуассона и взаим ного влияния. Коэффициент Пуассона определяется как взятое со знаком минус отношение поперечной деформации гу к приложенной осевой деформации ех:
vXy == ®р/®X' |
(2.5) |
Коэффициент взаимного влияния определен уравнением (2.1) как отношение сдвиговой деформации в плоскости уху к вы зывающей ее заданной осевой деформации. Для полноты опи сания повторим это уравнение вновь:
^ y . , = y j ex- |
(2-6) |
Изменение свойств в зависимости от угла ориентации волокон в однонаправленном несоосном монослое из эпоксидного угле пластика показано на рис. 5. Видно, что коэффициент Пуас сона является четной функцией угла 0 и изменяется от 0 , 0 2 до 0,37, тогда как коэффициент взаимного влияния — нечетная функция угла 0, изменяющаяся в диапазоне от —2,17 до +2,17.
Проявление более сильного различия в коэффициентах Пуассона и взаимного влияния, характерных для смежных слоев с углами ориентации волокон ± 0 , показано на рис. 6 . Разность коэффициентов Пуассона для пары слоев с углами армирования ± 0 тождественно равна нулю для всех значений углов, поскольку коэффициент Пуассона является четной функцией угла 0. Кроме того, рассматривая композиты, обра зованные чередованием пар слоев с углами армирования, из меняющимися от 0/90° до 0/0°, можно показать, что макси мальная разность коэффициентов, равная 0,34, соответствует композиту со структурой 22°/90°
Как видно из рис. 6 , разность коэффициентов взаимного влияния в перекрестно армированных композитах имеет ост
рый максимум при углах армирования слоев 0 = +11,5° |
Раз |
|
ность |
коэффициентов т\ху, х на поверхностях раздела |
слоев |
0/90° |
и 0/0° равна половине 6 r|jct/. жна границе слоев + 0 / —0, |
поскольку для слоев с углами армирования 0 и 90° т\ху,х = 0, а функция г|Ху,л:(0 ) является нечетной.
Анализ результатов, приведенных на рис. 6 , позволяет сделать некоторые важные выводы и указать принципы, по лезные для проектирования.
— Разность коэффициентов Пуассона на поверхностях раз дела слоев в перекрестно армированных композитах равна нулю, поэтому предполагается, что межслойные (нормальное ог и сдвиговое Туг) напряжения равны нулю для всех значе ний у и всех значений z.
Кромочные эффекты в слоистых композитах |
305 |
Рис. 5. Зависимости коэффициентов Пуассона и взаимного влияния от
угла ориентации |
волокон |
в однонаправленном монослое; 'Пх)лх=я |
= ±2,166 |
при 9 = |
±12°; v“ ax= 0,37 при 0 = ±23°. |
Рис. 6. Разность коэффициентов взаимного влияния и Пуассона на гра нице смежных слоев с углами армирования + 0 и —0; бт|^а ^ = 4,34 при 0 = 11,5°; б\ хи = 0 во всем диапазоне 0.
306 |
К. Геракович |
— Наибольшие межслойные сдвиговые напряжения xZx ожидаются на границе раздела слоев с углами армирования + 1 1 ,5 °, где разность коэффициентов взаимного влияния ма ксимальна.
— Разделяя в композите слои с углами армирования + 0 и —0 слоями с углами армирования 0 или 90°, можно в два раза уменьшить разность коэффициентов взаимного влияния на поверхностях раздела слоев, что приводит к соответствую щему уменьшению межслойных сдвиговых напряжений хгх.
— Разность коэффициентов взаимного влияния на грани цах раздела слоев с углами армирования 0 и 90° равна нулю, поэтому в ортогонально армированных композитах межслой ные сдвиговые напряжения хгх отсутствуют.
2.4. УПРУГАЯ ПОСТАНОВКА
Задачу о растяжении пластин конечной ширины из сим метричных самоуравновешенных композитов в упругой поста новке можно сформулировать на основе предположения о не зависимости напряжений и деформаций от координаты х. В этом случае анализ приведет к выбору следующей наибо лее общей формы для поля перемещений:
и (*, |
у, г) = хех + |
U |
{у, г), |
|
v (х, |
у, |
z ) = V (у, |
г), |
(2.7) |
W (х, |
у, |
z) = W (у, г), |
где е*— заданная осевая деформация, a U(y,z), V{y,z), W (у, z) — функции, описывающие неизвестные поля перемеще ний. Поскольку при заданной осевой деформации все переме щения зависят только от координат у и z, анализ можно огра ничить рассмотрением плоскости характерного поперечного се чения (рис. 7). Более того, благодаря симметрии слоистой пластины относительно срединной плоскости можно рассма тривать половину этого сечения.
В работах [4, 7] показано, что расчет тонких пластин из симметричных самоуравновешенных композитов без заметной потери точности осуществим для симметричной четверти по перечного сечения. Таким образом, задача сводится к опре делению полей перемещения U, V и W для выбранной четверти поперечного сечения слоистой пластины (рис. 7), нагруженной заданной постоянной осевой деформацией. Гра ничные условия для четверти поперечного сечения задаются в виде
Кромочные эффекты в слоистых композитах |
307 |
Условия в напряжениях
° У = % ху = t y z = 0 |
в д о л ь |
У = Ь, |
|
|||
ог = ту2 — хгх = 0 |
в д о л ь |
z = Н. |
|
|||
Условия в перемещениях |
|
|
|
|
||
W(yt 0) = |
0, |
U(0 , z) = |
V (0, z) = 0 . |
|
||
Формальное решение |
поставленной |
задачи — набор |
функций |
|||
U, V и W, удовлетворяющих уравнениям равновесия |
в пере |
|||||
мещениях, условиям |
совместности, соответствующим |
гранич- |
Рис. 7. Плоскость характерного поперечного сечения композита.
ным условиям и условиям непрерывности напряжений и пере мещений на поверхностях раздела слоев. Уравнения равнове сия в перемещениях описываются линейными дифференциаль ными уравнениями второго порядка в частных производных относительно неизвестных функций U, V и W. Коэффициенты уравнений постоянны внутри каждого слоя. Уравнения равно весия в перемещениях для слоя, материал которого имеет коэффициенты жесткости С,/, можно записать в виде
^ 66U>уу + |
£ 5 5 ^ tzz + |
С 26V,уу + |
C45V,zz + |
(С36 + |
С45) W*yz= |
0 * |
^26U >yу + |
C 45U t z z + |
^22^ tyy + |
£44^ tzz + |
(^23 + |
Q 4) ^ tyz = |
0» |
( ^ 4 5 + C36)U,yz + |
(C44 + С2з) V,yz + C44W,yg + С33Г , z z = |
0. |
(2.8)
В уравнениях (2.8) запятая означает частное дифференциро вание по переменным у, z.
308 |
К. Геракович |
Ранее отмечалось, что настоящая задача решена как чис ленно, так и аналитически. Аналитическое решение [37] по лучено с помощью потенциалов напряжений F(y,z) и x¥ ( y ,z ) r выведенных в [2 1 ], и выражено с помощью комплексных кор ней характеристического уравнения. Подробности математиче ского решения описаны в работе [37].
3.Экспериментальные результаты
3.1.ОСЕВЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
ВПЕРЕКРЕСТНО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТАХ
На рис. 8 для трех перекрестно армированных эпоксидных углепластиков показаны рядом картины муаровых интерфе ренционных полос, соответствующие осевым перемещениям вдоль лицевой поверхности пластин и вдоль их свободных кро мок (последние приведены и при более сильном увеличении) [3]. Видно, что расположение полос как на лицевой поверх ности, так и на свободной кромке не зависит от осевой коор динаты. Поле перемещений на лицевой поверхности пластин однородно, за исключением области пограничного слоя вдоль кромок, неоднородность в которой имеет одинаковую форму вдоль всей длины образцов. Из характера картин полос на лицевой поверхности видно, что неоднородные осевые переме щения в области пограничного слоя являются антисимметрич ными относительно центральной линии пластин для рассмо тренных перекрестно армированных композитов.
Экспериментальные результаты, несомненно, подтверждают предположение о независимости деформаций (градиентов ин терференционных полос) от осевой координаты. Кроме того, экспериментальные результаты показывают, что ширина по граничного слоя для трех рассмотренных композитов прибли зительно равна толщине слоистой пластины.
3.2.СДВИГОВЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
ВПЕРЕКРЕСТНО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТАХ
Характер картин интерференционных полос на кромках пластин указывает на наличие больших градиентов осевых перемещений, что свидетельствует об очень высоких сдвиго вых деформациях (рис. 9) Сдвиговые деформации угх на кромках образцов пропорциональны градиентам перемещений, соответствующих интерференционным полосам в зависимости от координаты г по толщине пластины. Максимальный наклон интерференционных полос соответствует поверхности раздела слоев с углами армирования ±0 и является конечным. Влия ние угла армирования волокон в смежных слоях очевидно из
310 |
К. Геракович |
30° |
10о |
Рис. 9. Картины муаровых интерференционных полос вдоль кромок пере крестно армированных композитов с укладками [(±0Ы*-
рассматриваемого рисунка. Максимальные деформации, раз вивающиеся в пластинах, составленных из слоев с углами армирования 10 и 30°, в несколько раз больше, чем в пластине из слоев с углами армирования 45° Деформации в пластине со слоями, ориентированными под углом 30°, несколько выше, чем в пластине со слоями под углом 1 0 °
На рис. 10 сравниваются сдвиговые деформации кромки, определенные экспериментально с помощью картин муаровых полос и вычисленные методом конечных элементов. В послед нем случае угол ориентации волокон в слоях пластины изме нялся с шагом 5°, чтобы лучше определить критическое значе ние, которому соответствует наибольшая сдвиговая деформа ция. Результаты расчета методом конечных элементов зависят от типа и размеров используемого элемента, поэтому изучен вопрос о выборе «наилучшего» конечного элемента. Как по казано на рисунке, наилучшие результаты получены при ис пользовании четырехузлового изопараметрического конечного элемента. Видно, что наблюдается довольно хорошее соответ ствие между экспериментом и расчетом, выполненным с по мощью одной и той же сетки конечных элементов, использо ванной для всех рассмотренных слоистых пластин. Результаты расчета методом конечных элементов показывают, что макси мальные межслойные сдвиговые деформации развиваются в пластине, составленной из слоев с углами армирования +15°, что хорошо согласуется с выводом, полученным ранее при анализе различия упругих свойств монослоев.