книги / Теория автоматического управления

Рис. 11.6. Разомкнутая (а) и замкнутая (б) системы, оптимальные по быстро­ действию

действительные числа, то каждая из составляющих у*, (t) оптималь­

ного вектора управления у * (t) в задаче (11.88) — (11.90) имеет не более п интервалов постоянства своих предельных значений ууМ [т. е. не более (п—1) переключений с одного предельного значения на другое], где п — порядок системы уравнений объекта.

Алгоритмы оптимального управления, найденные как вектор — функции времени у * (/), могут быть реализованы при помощи ра­ зомкнутой системы (рис. 11.6, а), состоящей из задающего, вычис­ лительного и исполнительного устройств. Задающее устройство ЗУ формирует программу управления х 3 (/), как функцию сигнала времени /, вырабатываемого специальным датчиком (таймером). Вычислительное устройство ВУ в зависимости от известных на­ чальных условий х (0) и задания х 3(/), эквивалентного желаемому конечному состоянию дгк, определяет моменты переключения tjs каждого управляющего воздействия Далее вычислительное устройство выдает в рассчитанные моменты времени ts команды у п на переключение исполнительного устройства ИУ из одного край­ него положения в другое.

Моменты переключения зависят также от возмущения 2 , и поэ­ тому при его наличии управление в разомкнутой системе может быть осуществлено лишь в том случае, если возмущение заранее известно как функция времени г (t).

А

Рис. 11.7. Линия переключения для объекта второго порядка

равление вначале положительное, а затем в точке N 2 на линии переключения должно стать отрицательным. В частных случаях, когда начальная точка сразу оказывается на одной из ветвей ли­ нии переключения (точки А или В), изменять знак управления в те­ чение переходного процесса вообще не требуется.

Знак управляющего воздействия на первом интервале опреде­ ляется знаком переключающей функции уп в начальной точке. Переключающую функцию стремятся обычно записать так, чтобы ее знак по обе стороны линии переключения совпадал с знаком управляющего воздействия, т. е.

( 11. 102)

Таким образом, задача синтеза оптимальной по быстродействию замкнутой системы сводится к отысканию в пространстве состояния переключающей функции у п(х) и к ее реализации в вычислитель­ ном устройстве. Оптимальные управляющие воздействия, равные согласно выражениям (11.96) и (11.101)

устройством, выходные переменные которого принимают только максимальные значения + у;М и — yjw.

Отыскание уравнений поверхностей переключения и переклю­ чающих функций является в общем случае довольно сложной за­ дачей, особенно при наличии внешних (задающих или возмущаю­

реализующее переключающую функцию. При этом поверхность переключения и переключающая функция оказываются нестацио­ нарными, «плавающими» в пространстве состояния.

Сравнительно просто переключающие функции можно найти лишь для некоторых частных случаев, когда объект описывается уравнением не выше второго порядка, а внешние воздействия пред­ ставляют собой степенные функции с порядком, не превышающим порядок объекта.

Пример 1. Пусть дан объект, описываемый линейным дифференциальным уравнением второго порядка

механических объектов, в которых происходят процессы перемещения боль­ ших масс без трения. Применительно к таким объектам переменная хв озна­

чает линейное или угловое перемещение, а переменные х в и х в — соответст­ венно линейные (угловые) скорости и ускорения. Управляющим воздейст­

СЬгласно теореме об п интервалах оптимальное управление у* (t) для данного объекта второго порядка должно иметь два интервала постоянства и одно переключение. Таким образом, задача сводится к отысканию моментов реверса tn и отключения tK управляющего воздействия.

Для этого запишем решения системы уравнений (11.105) для двух ин­ тервалов времени:

Используя граничные условия х х (0) = х1н; х г (0) = х ги; х, (/к) = 0; *2 (/к) = °> находим следующие значения постоянных интегрирования:

у* (е), обеспечивающий за минимальное время перевод объекта в режим слежения выходной величины хв (t) за некоторым задающим воздействием

*з (0-

Для определения переключающей функции и синтеза управляющего устройства применим метод фазовых траекторий.' Исключая из уравнений (11.114) величину dt, найдем дифференциальное уравнение фазовых траек­ торий

Интегрируя выражение (11.115), получим уравнения фазовых траекто­ рий в плоскости ех—е2:

при у = + ум

На фазовой плоскости (рис. 11.9) уравнению (11.116) соответствует се­ мейство парабол с ветвями, направленными влево, а уравнению (11.117) — семейство парабол с ветвями, направленными вправо. Смещение вершин па­ рабол по оси ег определяется постоянными интегрирования Сх и С2, завися­ щими от начальных условий ех (0) и е2 (0).

Так как по условию примера процесс должен закончиться в начале ко­ ординат е = 0, то на последнем этапе процесса изображающая точка будет

Рис. 11.9. Фазовые траектории и линии переключения для объекта, описываемого уравнением (11.104)

Рис. 11.8. Оптимальные переход­ ные процессы для объекта описы­ ваемого уравнением (11.104)

Рис. 11.10. Оптимальная по быстродействию замкнутая система управления объектом, описываемого уравнением (11.104)

двигаться обязательно по одной из двух парабол, проходящих через начало координат. Причем, согласно общему свойству фазовых траекторий (см. 9.3) движение к началу координат может происходить лишь по одной ветви каж­ дой параболы: при е2 > 0 — по ветви АО, и при е2 < 0 — по ветви ВО.

Эти две ветви, принадлежащие параболам из разных семейств, можно описать одним общим уравнением

Если в начальном состоянии изображающая точка е (0) расположена выше линии АОВ (как, например, точка С), то под воздействием управления У = + ум система будет двигаться к завершающему участку ВО по траекто­ рии CDt подчиняющейся уравнению (11.116). Если же точка расположена ниже линии АОВ у то у = — г/м, и движение происходит по одной из траекто­ рий (11.117) до ее пересечения с ветвью АО.

В обоих случаях при попадании изображающей точки на линию АОВ происходит переключение управляющего воздействия с одного предельного значения на другое. Таким образом, линия АОВ является линией переклю­ чения.

Теперь, зная уравнение линии переключения, можно синтезировать вычислительное устройство (рис. 11.10), которое реализует переключающую

мени, переключающая функция становится сложнее. Причем, воздействие х3 должно удовлетворять определенному условию: максимальное значение его

второй производной х3, м в установившемся режиме не должно превышать допустимое ускорение объекта, т. е. \х3, м| < k0yм.

Уравнения состояния объекта при наличии меняющегося воздействия принимают вид

Вычислительное устройство в данном случае содержит еще дополнитель­ ные элементы, которые формируют сигнал, соответствующий третьему сла­ гаемому в выражении (11 .122).

Полная структура ВУ будет оптимальной и для частного случая, когда задающее воздействие меняется ступенчато.

11.4. Системы, оптимальные по квадратичным критериям

Методика синтеза замкнутых линейных систем управления, оптимальных по квадратичным критериям типа (11.20), была раз­ работана советским и американским учеными А. М. Летовым и Р. Калманом и получила название методики аналитического кон­ струирования оптимальных регуляторов (АКОР).

Рассмотрим сущность методики АКОР вначале применительно

управления стационарен и задан матричным дифференциальным уравнением состояния

которых предъявляются определенные требования при формули­

и между размерностями указанных векторов выполняются сле­ дующие соотношения