книги / Теория автоматического управления
..pdfРис. 7.4. Алгоритмические структуры идеальной системы управления объек том с запаздыванием
рующий сигнал ер появляется только в первые моменты времени после изменения внешних воздействий х3у хп или хъ. Таким обра зом, благодаря дополнительной обратной связи, моделирующей динамику объекта, из основного контура как бы исключается чи стое запаздывание т0, которое всегда ухудшает устойчивость си стемы и затрудняет решение задачи синтеза.
Как и в общем случае, практическая реализация идеальной си стемы управления объектом с запаздыванием связана с определен ными техническими трудностями. Существенным недостатком си стемы с регулятором (7.12) является ее критичность или сильная чувствительность к малым вариациям запаздывания объекта: си стема устойчива только при точном равенстве запаздывания объекта т0 и запаздывания т0. м, моделируемого в объекте, т. е.
Т 0 = То. м* |
(7.13) |
При несовпадении запаздываний система может стать неустой
чивой. Можно показать, что в случае, когда Фопт |
(р) = |
&0пт, |
для |
|
устойчивости замкнутой системы |
необходимо |
1гопт< |
0,5. |
При |
&опт > 0,5 малейшее нарушение |
равенства (7.13) ведет |
к потере |
устойчивости, хотя при точном совпадении запаздываний коэффи циент konT может быть сколь угодно большим.
Для повышения запаса устойчивости систем с регулятором (7.12) в их контур вводят дополнительные корректирующие звенья или ограничиваются неполной компенсацией инерционной части
объекта. Естественно, что динамическая точность управления при этом ухудшается.
Идея нейтрализации запаздывания объекта реализуется также с помощью упредителя Смита, которым охватывают типовые ре гуляторы (рис. 7.4, б). Нетрудно убедиться, что при большом пе редаточном коэффициенте (kp оо) регулятор с упредителем Смита эквивалентен регулятору Ресвика (см. рис. 7.4, а) с Фопт (р) = 1.
Систему с упредителем Смита технически реализовать легче, так как не требуется моделировать обратную передаточную функ цию объекта.
Хотя регулятор Ресвика (7.12) практически осуществить ни когда не удается, анализ его свойств позволяет оценить предельные возможности управления объектами с запаздыванием. Так, для наилучшего воспроизведения задающего воздействия х3 при от сутствии помехи (т. е. при Ф0Пт (р) = 1) регулятор (7.12) принимает
вид |
|
I Wp. „ (р) = [(1 —е_рт°) Го (р )]-\ |
(7.14) |
а передаточные функции замкнутой системы |
по каналу х3—х |
Фдгз (р) — еГрХ° |
(7.15) |
и по каналу хв—х |
|
Ф*в (р) = 1—е-рт°. |
(7.16) |
Функциям (7.15) и (7.16) соответствуют идеальные переходные процессы прямоугольной формы, заканчивающиеся за минимально
возможное время tп = т0. По каналу ув —х |
переходный процесс |
имеет плавный характер и длительность tn > |
(2 -т- 3) т0. |
Наиболее трудно управляемыми являются объекты, содержа
щие только чистое |
запаздывание,— |
W0 (p) = k0<Tp\ |
(7.17) |
и для них лучше всего применять именно регулятор Ресвика или упредитель Смита, обеспечивающие структурную компенсацию запаздывания. Регулятор (7.14) для объекта (7.17) принимает вид
Г р. „ (р) = г/ (р)/е (р) = |
Шо (1—е~рх°). |
(7.18) |
||
При медленных внешних воздействиях, для которых допустима |
||||
приближенная замена |
|
|
||
е“ рто « |
1 - р т 0, |
|
(7.19) |
|
идеальный |
регулятор (7.18) эквивалентен И-регулятору |
|||
^ Р .и ( р ) « * и/р, |
|
(7.20) |
||
где кИ= |
llk0x0. Отсюда можно сформулировать |
о б щ е е п р а |
||
в и л о |
н а с т р о й к и |
р е г у л я т о р о в |
д л я о б ъ е к |
т о в с з а п а з д ы в а н и е м :
242
передаточный коэффициент регулятора должен быть обратно пропорционален передаточному коэффициенту объекта и вре- мени запаздывания.
При высокочастотных воздействиях регулятор (7.18) действует как дискретный: после каждого очередного изменения управляю щего воздействия у выжидает в течение интервала т0 и тем самым повышает устойчивость системы.
7.3. Структурно-параметрическая оптимизация систем без запаздывания
Критерий и метод оптимизации амплитудной характеристики. При проектировании систем управления объектами, не содержа щими чистого запаздывания, наибольшее применение получили два критерия — модульный оптимум (МО) и симметричный оптимум (СО).
Критерий модульного оптимума, называемый также критерием амплитудного или технического оптимума, заключается в выпол нении следующих требований к форме амплитудной характеристики | Ф (/со) | замкнутой системы по каналу х3—х (см. рис. 6.4 и 6.9, б): характеристика в как можно более широком диапазоне частот должна быть горизонтальной и равной единице; наклонный уча сток характеристики должен быть как можно более крутопадаю щим. Другими словами, критерий модульного оптимума требует, чтобы настраиваемая система приближалась по своим частотным передаточным свойствам к идеальному фильтру низкой частоты, имеющему, как известно, прямоугольную частотную характери стику с соПр = (о0. Тогда при отсутствии помехи на входе, система будет наилучшим образом воспроизводить задающее воздействие х3 и подавлять возмущение хв. При наличии на входе высокочастот ной помехи частоту пропускания ю0 системы выбирают также до статочно большой, но по компромиссному условию совместной фильтрации всех действующих сигналов (см. гл. 8).
Настройка системы по критерию МО обеспечивает малое пере регулирование и достаточно быстрое протекание переходного про цесса со следующими показателями качества:
<т<9 %; t„<5/a>0; fH< 2я/со0; tп<3л/сй0• |
(7-21) |
Верхние пределы показателей качества соответствуют идеаль ному фильтру низкой частоты, который практически нереализуем.
Амплитудную характеристику, близкую по форме к прямоу гольной характеристике идеального фильтра, имеет так называе мый фильтр Баттерворта, у которого а. ч. х.
ЛБ И = | W B (/со) | = 1/У(1 + Гео)*» |
(7.22) |
243
На практике обычно используют |
фильтры с порядком |
п = |
= 2 ч- 8. Нетрудно убедиться, что |
колебательная модель |
(6.21) |
замкнутой системы при коэффициенте демпфирования | = 0,7
имеет амплитудную характеристику |
[см. (6.24) ] |
А с (©) = 1/д/1 + Т*а>*, |
(7.23) |
соответствующую частному случаю фильтра (7.22) с п — 2. Таким образом, в рамках приближенной модели (6.21) критерию
МО соответствует значение коэффициента демпфирования
И = 0,7, |
(7.24) |
|||
при |
этом |
главные показатели качества |
|
|
| а « |
5 |
%; tn « 3,2Т = 3,2/о)0 « 4,5Г01, |
(7.25) |
|
где |
©о |
= |
1/Т — частота собственных незатухающих |
колебаний |
замкнутой системы (при £ = 0), характеризующая полосу пропу скания фильтра; Тог — постоянная времени разомкнутого кон тура системы.
Для колебательной модели (6.21) нестрогий критерий МО обес печивает одновременно минимумы интегральной оценки (6.67) и улучшенной интегральной оценки (6.68) с весовым коэффициентом
Тв = 1.
При настройке систем более высокого порядка ( п > 2) по кри терию МО можно обойтись без приближенной модели (6.21). Для этого передаточную функцию замкнутой системы по каналу
Ф (р)= bml(a0pn+ fliPn_1 + |
• + ап.\Р + ап) |
|
(7.26) |
||||||
приводят к нормированному виду |
|
|
|
||||||
Ф (р) = Вм/(р* + |
|
+ . |
. + Лп_хр + |
1), |
|
(7.27) |
|||
где р = |
рТы = р/©о — оператор Лапласа, |
соответствующий без |
|||||||
размерному |
(относительному) |
времени t — t/T M; |
Тм — масштаб |
||||||
ный множитель, |
равный |
|
|
|
|
|
|||
Г„ —1/©о —V a j &п > |
|
|
|
|
|
(7.28) |
|||
безразмерные коэффициенты |
|
|
|
|
|||||
А ! |
а1 |
т . |
Л2 |
<h |
rp2. |
А л-1 |
ап- 1 |
/Т П—1. |
|
а,) |
* м» |
do |
1 м» |
а0 |
1 |
м » |
|||
в м |
Ьщ |
|
|
|
|
|
|
(7.29) |
|
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы обеспечить желаемую форму амплитудной характери стики, близкую к прямоугольной, коэффициенты нормированной функции (7.27) выбирают в соответствии со стандартными полино мами Баттерворта (табл. 7.1). Именно при таких сочетаниях ко эффициентов Ai амплитудная характеристика фильтра принимает
244
Т а б л и ц а 7.1 Коэффициенты фильтров Баттерворта
|
Л. |
А* |
Аз |
Ai |
|
Аа |
а 7 |
2 |
1,4 |
— |
— |
— |
— |
— |
_ |
3 |
2,0 |
2,0 |
— |
— |
— |
— |
— |
4 |
2,61 |
3,41 |
2,61 |
— |
— |
— |
— |
5 |
3,24 |
5,24 |
5,24 |
3,24 |
— |
— |
— |
6 |
3,86 |
7,46 |
9,13 |
7,46 |
3,86 |
— |
— |
7 |
4,5 |
10,1 |
14,6 |
14,6 |
10,1 |
4,5 |
— |
8 |
5,12 |
13,1 |
21,8 |
25,7 |
21,8 |
13,1 |
5,12 |
вид (7.22), причем Т = Тм, а относительная частота й 0 = са0Т = 1 соответствует значению амплитудной функции, равному 0,7 (при
&т = 0 • Масштабный множитель Тм не влияет на форму переходного
процесса и служит обобщенной мерой быстродействия системы. Его значение можно выбрать исходя из требуемых показателей
быстродействия |
tH и t„ по следующим приближенным формулам: |
|
| /н « пТм, |
t„ « 2пТы, |
(7.30) |
где п — порядок полинома Баттерворта.
Найденное по этим формулам значение Ты обеспечивают за счет выбора по формуле (7.28) соответствующего общего передаточного коэффициента разомкнутого контура k, который входит в свобод
ный |
член an: ап = 1 + k — для статических систем, |
ап = k — |
|
для |
астатических систем. |
параметры |
|
Применительно к колебательной модели (6.21) |
|||
фильтра |
Баттерворта |
|
|
Л1 = |
2 6 = 1 /Л/Щ Г , T M= T = s /T J k |
(7.31) |
В системах, параметры которых выбраны в соответствии со стан дартными полиномами Баттерворта, перерегулирование
|с т « Ю-т-15 %. |
(7.32) |
Указанные выше значения длительности переходного процесса tn и перерегулирования о строго выдерживаются только в тех слу чаях, когда числитель передаточной функции (7.26) не содержит слагаемых с оператором р. Тем не менее и для систем с более слож ным полиномом числителя можно пользоваться рекомендуемыми
245
значениями коэффициентов Баттерворта. При этом также обеспе чивается достаточно хорошее качество переходного процесса. Кроме того, настройки, соответствующие полиномам Баттерворта, могут использоваться как исходные (отправные) для отыскания оптимальных настроек систем, передаточные функции которых имеют числитель в виде полинома от р.
Пример 1. Пусть исходная часть системы, состоящая из функционально необходимых элементов, описывается передаточной функцией
W (р) = kip (Tip + I) ( T t f + 1), |
(7.33) |
где 7\ = 1 с, |
Tj = 2 с. |
|
|
T z и |
Т А последовательно |
||
Требуется |
определить настроечные |
параметры |
|||||
включаемого |
корректирующего устройства |
|
|
|
|||
W K (P) = |
{Tz P + \ ) ( Т 4р + \ ) |
|
|
|
(7.34) |
||
и общий передаточный коэффициент k t |
обеспечивающие критерий МО и же |
||||||
лаемую длительность переходного процесса /п = |
6 с. |
|
|||||
Передаточная функция замкнутой |
системы |
по |
каналу х 3 — х |
||||
Ф (Р) = |
__________________k ( T zp + |
1) ( 7 > + 1 ) __________________ |
|||||
TtTtP* + (7 \ + Т 2 + k T zT A) р* + (1 + |
k T z + |
k T A) p + k |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(7.35) |
Не учитывая наличие полинома в числителе этой передаточной функ ции, подберем настроечные параметры так, чтобы безразмерные коэффи циенты А г и А 2 полинома знаменателя соответствовали фильтру Баттер
ворта.
Определим вначале масштабный множитель 7'м, ориентируясь на при ближенное соотношение (7.30):
Т и = tnl2n = 6/2 • 3 = 1 |
с. |
(7.36) |
Теперь в соответствии |
с формулой |
(7.28) можно найти необходимое |
(для заданного быстродействия) значение общего передаточного коэффици ента
k = |
а3 = a0/ T l = |
Г ,Г 2/ГЗ = 1-2/13 = |
2. |
|
|
|
|
|
(7.37) |
|||||
Для |
п = |
3 |
оба |
безразмерных |
коэффициента |
Баттерворта должны |
быть |
|||||||
равны |
2 |
(см. |
табл. |
7.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А\/11 — 0,1 |
Т„1м — |
T i + T 2 + k T 3T i „ |
ЪА— |
3 + |
2 Г3Г4 |
|
„ |
|
(7.38) |
|||||
|
Т ХТ Ш |
1 |
|
2 |
|
л » |
|
|||||||
|
|
Я(» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л |
_ |
а2 |
|
__ |
1 + |
k T z + k T А |
J,2 |
1 + 2 Т 3 + 2 Т 4 |
п |
|
(7.39) |
|||
2 |
' |
Л |
УМ“ |
|
Т у Т 2 |
м _ |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решая совместно эти два уравнения, получим |
Т г = |
0,5 |
с и |
Т х = |
1 с. |
|||||||||
Оптимизация типовых контуров регулирования. |
Применим |
|||||||||||||
изложенный |
|
метод |
оптимизации |
амплитудной |
характеристики |
|||||||||
для |
расчета |
настроечных |
параметров |
типовых |
регуляторов |
246
(4.61) — (4.65), используемых для управления следующими инер ционными объектами второго—третьего порядка без запаздывания:
W0 (р) = |
k j p |
(ToiP + |
1), |
|
(7.40) |
Wo (р) = |
ko/{Toiр "Ь 1) |
(Т’огрЦ- 1), |
(7.41) |
||
Wo(p) = k0lp (ТoiP + |
1) (То2р +1), |
(7.42) |
|||
Wo {р) ■—k0!(Toiр -1-1) (Т02р + |
1) {ТозР + 1), |
(7.43) |
|||
где 7’oi < Т02 < |
Т03, причем в |
общем случае сомножитель с наи |
меньшей постоянной времени Т01 приближенно заменяет собой несколько инерционных звеньев с еще более малыми постоянными
времени T0i, т. |
е. |
|
I X (7\>tP-|- 1) |
^ То. ыР-}- 1 и Toi = To. м —^^ТоI- |
(7.44) |
1 |
i |
|
Моделями (7.40) — (7.43) обычно пользуются для приближен ного описания объектов, входящих в типовые контуры регулиро вания систем управления электроприводами (контуры регулирова ния напряжения, тока и частоты вращения).
В зависимости от типа и порядка объектов (7.40) — (7.43), а также соотношений между их постоянными времени, настройка
Т а б л и ц а 7.2
Гарантирующие настроечные без запаздывания
Передаточная функция объекта WQ(р)
k0
(ToiP + 1){Тогр + 1)
(7oi < Т02)
ко Р 1Т01р + 1)(Т02р + 1)
ко
(701Р+1)(Г02р+1)(7озР+1)
(7Q1 < 7 02 < 7о3)
параметры типовых регуляторов |
для объектов |
||||
Условия при |
Кри |
Параметры регулятора |
|||
|
|
|
|||
менения |
терий |
|
ГЙ |
|
|
|
|
|
Гд |
||
|
|
|
|
||
Т02 ^ 47*01 |
М О |
7о2 |
Т„ |
|
|
2&о7 02 |
* 02 |
|
|||
|
|
|
|
||
7\э2 ^ 47*01 |
со |
Т02 |
470i |
— |
|
2&о7 oi |
|||||
|
|
|
|
||
7’о2 С Т01 |
со |
1 |
470i |
— |
|
2/г07 oi |
|||||
|
|
|
|
||
Т01< 7 02 |
со |
1 |
47 oi |
702 |
|
2^оТoi |
|||||
|
|
|
|
||
7 0з < 47*01 |
М О |
То* |
70з |
7о2 |
|
2k0T01 |
|||||
|
|
|
|
||
7 о з> 4701 |
со |
То3 |
4Г01 |
Т |
|
2/е07 oi |
i 02 |
||||
|
|
|
|
||
702 ^ 470I |
со |
70г7оз |
7о2 |
4703 |
|
|
8*о7’1|
контура регулирования осуществляется либо по критерию МО, либо по критерию СО (табл. 7.2). Настроечные параметры регуля торов Агр, Т'я и Гд (см. 4.3), обеспечивающие получение определен ных показателей качества, в дальнейшем (см. 7.3 и 7.4) будем на зывать гарантирующими. Такой термин в рассматриваемой задаче точнее, чем используемые часто понятия «оптимальные» (в отечест венной литературе) и «наиболее благоприятные» (в немецкой ли тературе) настройки.
Если у объекта второго порядка (7.41) Тог < 4 7*0!, то предпоч тителен критерий МО. Для выполнения требований критерия при меняют ПИ-регулятор (4.63)
W* {р)= К (Тшр + 1)lT ,p |
(7.45) |
с постоянной времени интегрирования Т'я, равной наибольшей
постоянной времени объекта, т. |
е. |
| Т'ш = Тя=Тог. |
(7.46) |
Тем самым достигается полная компенсация (устранение из уравнения динамики) этой наибольшей постоянной времени. Пе редаточная функция разомкнутого контура принимает вид
W (р) = Wp (р) W0 (р) = к ^ Т я р (TolP+ 1) |
(7.47) |
и совпадает с передаточной функцией (6.31) разомкнутого контура колебательной модели (6.21), для которой, как показано выше, критерий МО сводится к условию g = 0,7. Отсюда в соответствии с формулой (6.34) при | = 0,7 передаточный коэффициент разомк нутого контура
k = l/4g2Tо! = 1/2Т01. |
(7.48) |
Учитывая, что для рассматриваемого контура с ПИ-регулято- ром
к = крко1Тя и Тя = Тог, |
(7.49) |
получим, кроме (7.46), второе условие настройки на МО:
\kp= kp = Totlik0To1. |
(7.50) |
На рис. 7.5, а показаны л. а. ч. х. L (<о) разомкнутого контура и переходная характеристика h (/) замкнутой системы с объектом (7.41) и ПИ-регулятором, настроенным на МО. Передаточная функ ция замкнутого контура, настроенного на МО, имеет вид
Ф (р) = 1/(2Т|.р2 + 2Т01р + 1 ). |
(7.51) |
Ей соответствуют показатели качества: |
|
|<т«4,3 %, *н«4,7Гоь *п«4,5Т01. |
(7.52) |
Если большая постоянная времени Г02 превышает меньшую Т01 в 20 раз, то объект (7.41) по своим свойствам приближается
248
hit)
Рис. 7.5. Частотные и переходные характеристики одноконтурной системы
регулирования, настроенной по критериям модульного (а) и симметричного
(б) оптимумов
к реальному интегрирующему звену (7.40) и описывается функцией
W о (р) л; К 1 Т 0%р(Гохр + 1 ) . |
(7.53) |
Таким объектом можно управлять с помощью П-регулятора
(4.61) |
|
WP(p) = kр, |
(7.54) |
настроенного на МО. Для этого передаточный коэффициент регу лятора kp должен быть таким же как при Г02 < 4 Г01- Но в системе с П-регулятором по каналу ув—е (см. рис. 4.7, б) возникает стати
ческая |
ошибка |
ев, |
равная при |
единичном возмущении |
(ув = 1) |
|
|
|
|
|
|
|
(7.55) |
При |
Т02 > |
20 |
Т01 ошибка |
ев < 0,1 |
k0, что вполне допустимо. |
|
Для |
астатических объектов |
второго |
порядка (7.40) |
и (7.53) по |
условиям структурной устойчивости замкнутой системы (см. 5.6) нельзя использовать ПИ-регулятор с настройкой Т'к = Т0х, пол ностью компенсирующей единственную постоянную времени. По этому для таких объектов применяют настройку Т„ ф Т0ъ обес печивающую лишь частичную компенсацию постоянной вре мени Г01. Найдем наилучшие соотношения настроечных парамет ров для частичной компенсации. Передаточная функция разомкну того контура, состоящего из астатического объекта (7.40) и ПИ-ре- гулятора с Т„Ф Гоц имеет вид
(7.56)
Ей соответствует передаточная функция замкнутой системы
У о ( 7 > + 0 |
(7.57) |
ф (Р) = |
|
Т н Т гаР3 "Ь Г»Р2 4~ W |
иР "t* kpko |
Применяя к знаменателю функции (7.57) соотношения Баттерворта (см. табл. 7.1), можно получить следующие настройки ПИ-
регулятора: |
|
\kp = kp= ]/2koT0i\ T , = r„ = 47,oi, |
(7.58) |
причем Гм = 2 Го1.
При полученных настройках передаточные функции (7.56) и
(7.58) принимают |
вид: |
|
W (р) = ----- 47°lP + 1----- |
(7.59) |
|
e * V ( Toi' + 0 |
|
|
Ф (р) = ------------ ----------------------- |
(7.60) |
|
8TllP3 + 8TllP2 + 4TolP + l |
|
|
Передаточной |
функции (7.59) соответствует |
симметричная |
л. а. ч. х. L (©) (рис. 7.5, б), поэтому изложенный подход к выбору настроек получил название симметричного оптимума.
Передаточной функции (7.60) соответствует переходная харак теристика замкнутой системы, показанная на рис. 7.5, б. Переход ный процесс в контуре, настроенном на СО, характеризуется сле
дующими показателями: |
|
| а ъ 43 %, tn « 3,1Т01, t„ » 14,7Г01. |
(7.61) |
Для статического объекта третьего порядка (7.43) с постоянными времени, незначительно отличающимися друг от друга, можно при
менять ПИД-регулятор (4.66) |
|
Щ (Р) = Л (7\.Р+ О ( 7 > + 1 )/Т'нр, |
(7.62) |
настроенный по критерию МО, с полной компенсацией двух наи больших постоянных времени. Причем, большую (Г03) из этих двух постоянных времени необходимо компенсировать постоянной Ги, а меньшую (Г02) — постоянной Т'А. Если хотя бы одна из боль ших постоянных времени объекта (7.43) превышает наименьшую в 4 раза, то ПИД-регулятор необходимо настраивать по критерию СО, с полной компенсацией лишь одной постоянной времени Г02.
Для сравнения передаточных свойств контуров, настроенных по разным критериям, найдем передаточные функции замкнутой системы по каналу ув—х:
по критерию МО |
|
ф в( р ) = - ^ _ = ---------------- UcTorf---------------- |
(7.63) |
" р ОО (2П .Р2 + 2Го1р + 1 )(Г о2р + 1 )