Рис. 10.12. Функциональная (а) и алгоритмическая (б) структуры цифровой системы управления
как амплитудно-импульсную. Для этого систему с ЦВУ заменяют эквивалентной импульсной системой. На алгоритмической схеме эквивалентной системы (рис. 10.12, б) АЦ П условно представляют в виде идеального импульсного элемента, а сигналы ец и г/ц, ко торые в действительности являются последовательностями чисел, заменяют соответствующими решетчатыми функциями е* и у*. Квантование по уровню при этом не учитывается (так как шаг кван тования обычно достаточно мал).
Период повторения Т условного импульсного элемента опреде ляется периодичностью опроса датчиков Д отдельных контуров (см. рис. 10.2), т. е. с темпом ввода сигналов щ в УВМ и вывода сигналов yt из УВМ, который задается от специального таймера через входной и выходной коммутаторы (мультиплексор и демуль типлексор). Время, затрачиваемое ЦВУ на вычисления, обычно мало по сравнению с периодом Т, и его можно не учитывать.
Реализуемый в ЦВУ алгоритм преобразования входной после довательности чисел ец в выходную */ц на эквивалентной схеме представляют в виде соответствующей д. п. ф. Wu (z), которая связывает между собой дискретные значения сигналов е* и у*. Звено с передаточной функцией Wu. (z) называют дискретным фильтром или цифровым регулятором.
Преобразователю ЦАП в эквивалентной системе соответствует фиксирующий элемент W$ (р), который в течение одного такта сохраняет мгновенное значение у*.
Д.п. ф. цифровой системы (см. рис. 10.12, а), представленной
ввиде эквивалентной импульсной системы (см. рис. 10.12, б),
ГГ)
( , ) Х(г) _
Wu (Z) W„ (г)
_
* 3 (Z)
1 + Wu (г) W„ (г)
=
________Ки (г) К„ (г)________ __
К (г)
(10.101)
Du (z) D„ (г) +
Ки (г) Кп (г)
F (г)
где W„ (z) = К п (z)/D„ (z) — д. п. ф. приведенной непрерывной части, включающей объект, исполнительное устройство и фикси рующий элемент; (z) = Ки, (z)/Du (z) — д. п. ф. цифрового регулятора.
Благодаря большим вычислительным возможностям УВМ в циф ровых системах можно реализовать сложные алгоритмы управле ния и обеспечить такие переходные процессы, которые недостижимы в непрерывных системах.
Рассмотрим один из возможных подходов к решению задачи синтеза оптимальной цифровой системы. Пусть необходимо полу чить переходный процесс конечной длительности t„ = IT При этом правомерно потребовать, чтобы длительность соответствовала порядку уравнения неизменяемой части системы, который опреде ляется главным образом объектом. Данное требование можно за писать так:
1= п,
( 10. 102)
где п — порядок полинома £>„ (z) приведенной
части. С учетом
условия конечной длительности (10.88) найдем д. п. ф. в следую щем виде:
Ф (z) = К (z)/F (z) = К* (г) Кп (г)/г‘.
(10.103)
Полином числителя Кп, (г) д. п. ф. цифрового регулятора в дан
ной задаче можно произвольно принять равным
KSK(z) = kn=l/k„,
(10.104)
где 6Ц=
Яд (1), 6П=
Кп (1) — передаточные коэффициенты ре
гулятора
и
приведенной части.
Так как д. п. ф. Wп (z) приведенной части считается известной,
то можно определить д. п. ф. ЦВУ:
W
/2\ _
Ф (*)_______ 1
_
Dn (z)/kn
(10.105)
1 — Ф (г)
Wn(z)
z‘ - K n(z)lkn
В общем случае д. п. ф. (10.105) представляет собой отношение
полиномов
^
/2) _
У (г) _
Ь„ -f- b^z 1 -}- ■. .
brz~r
(10.106)
Е (г)
а0+
axZ-1 +
. . +
asz~s
Соответственно уравнение ЦВУ в операционной форме:
Y (z) (aQ+ ajZ"1 + .
. + asz~s) =
Е (z) (b0 + b^r1 + . . + brz~r).
(10.107)
Выполняя теперь почленно обратное z-преобразование и учи
тывая теорему запаздывания (10.33), можно получить реккурентную формулу
и (0 = —
Z V
(1— Ь)----- — Z ЧУ (i— k),
(10.108)
’
а„
k=0
«о
которая связывает текущее значение у (t) дискретного управляю щего воздействия с текущим и с предыдущими значениями сигнала ошибки, а также с предыдущими значениями управляющего воз
действия.
Реккурентная формула (10.108) легко может быть запрограмми рована на ЦВМ. Для реализации программы требуется выполнение операций умножения, сложения и переадресации.
Изложенный метод позволяет синтезировать импульсную си стему, оптимальную по быстродействию. Оптимальный переходный процесс достигается за счет выбора амплитуд управляющего воз действия на интервалах заданной продолжительности. В релейных системах, оптимальных по быстродействию (см. 11.3), наименьшая длительность процесса достигается выбором моментов изменения знака постоянного по амплитуде управляющего воздействия.
Пример. Непрерывная часть цифровой системы (см. рис. 10.12, б) со стоит из фиксатора (10.8) и двух последовательно соединенных идеальных интегрирующих звеньев:
*„(/>) = *//>*•
(10.109)
Требуется определить алгоритм управления, обеспечивающий минималь ную длительность переходного процесса при заданных Т = 10 с и k —
=0,01 с"2.
Д.п. ф. приведенной непрерывной части системы (см. табл. 10.1)
(*) =
2
х {Ы р 9}
=
2 (z — I)2
•
(10.:1:10)
Очевидно,
что в
данном
случае I — п =
2, kn = К„ (1) =
2k T 2.
Оптимальная д. п. ф. цифрового регулятора согласно формуле (10.105)
W (;)
2 ( z
- l ) W 2
1 -
2Z-1 + z~2
Y (г)
Ц ^
г2 — йГ2 (г +
1)/2АГ2
1 — О.бг-1 — О.бг"2
Е (г)
( 10. 111)
Отсюда
рекуррентный
алгоритм управления
у (f) = е (i) - 2е (i -
1) + е (i -
2) + 0,Ъу
(i - 1) + 0,5у (i -
2). (10.112)
Он обеспечивает окончание переходного процесса за два периода повторения.
Контрольные задания и вопросы
1.
Начертите
графики
синусоиды
х (t)
= xmsin сot,
проквантованной
по уровню, времени и совместно при
Ах =
хт /4 и А* =
0,125 (2л/со).
2.
Назовите
основные
функциональные
элементы дискретной системы
с УВМ. Каково их назначение?
амплитудно-импульсной модуляции.
3.
Поясните
на графике
принцип
4.
В чем преимущества
дискретных (цифровых) систем управления?
5.В виде какой алгоритмической схемы удобно представлять реальный импульсный элемент?
6.Что понимается под приведенной непрерывной частью?
7.Запишите передаточную функцию фиксатора.
8.Каково условие квантования непрерывного сигнала с ограниченным спектром cojt?
9.Запишите выражение (10.18) для последовательности импульсов,
образующейся при идеальном квантовании сигнала х (/) = 0,1 t2 с интерва лом Г = 0,2 с.
10. С помощью какой замены переменных получается основная формула
2-преобразования?
И. Запишите основную формулу z-преобразования, получающуюся как преобразование последовательности импульсов по Лапласу.
12. Как получить изображение X (z) дискретного сигнала х (£Т)?
13.Как получить значения х (iT) дискретного сигнала, если известно его изображение X (z)?
14.Найдите с помощью теоремы запаздывания (10.33) изображение дельта-функции, смещенной по времени на / интервалов назад.
15.Определите по формуле (10.35) точную д. п. ф. импульсной цепи с
двойным интегратором WH(р) =
k j p 2.
Учтите, что весовая функция та
кого интегратора — линейная функция
времени, и используйте ряд (10.26)
из примера 2.
16. Используя подстановку (10.49), получите приближенную д. п. ф.
импульсной цепи, состоящей из «ключа», фиксатора и
непрерывной
части
WB (р) = k0/(TQp + 1). Сравните
эту
приближенную
д. п. ф. с
точной
(10.42).
17.Запишите для этой цепи разностные уравнения, соответствующие приближенной д. п. ф. (см. п. 16) и точной д. п. ф. (10.42).
18.Вычислите и сравните числовые значения коэффициентов а и b раз
ностного
уравнения у (/ + 1 ) = ay (i) +
bx (/), соответствующие
точной
и приближенной модели (см. п. 17) при
следующих параметрах
k0 = 1;
Т0 = 10
с; Т = 5 с.
19.Убедитесь, что при Т /Т 0 >0,1 точная и приближенная модели им пульсной цепи с инерционным звеном практически совпадают.
20.Определите точную д. п. ф. 0*3 (z) замкнутой системы, которая образована импульсной цепью (см. п. 16) и единичной обратной связью.
21.Какими должны быть корни Zk характеристического уравнения, чтобы импульсная система была устойчива? Объясните это условие устойчи вости с помощью формулы (10.72).
22. Как найти ординаты переходного процесса импульсной системы при ступенчатом воздействии?
23.Какой вид должно иметь характеристическое уравнение импульс ной системы, чтобы длительность переходного процесса была конечной?
24.Определите д. п. ф. и реккурентный алгоритм цифрового регуля тора, обеспечивающего конечную длительность переходного в цифровой си
стеме управления
(см.
рис.
10.12, б)
с
WH(р) = k0/p (Т 0р + 0 при следую
щих параметрах:
k0 =
0,1;
Т0 = 10
с;
Т = 1 с.
Глава 11
ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ
ИАДАПТИВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
11.1.Общая характеристика и классификация задач оптимального управления
Общая задача управления сложным технологическим объектом управления, описанным в гл. 10 (см. рис. 10.1), включает в себя обычно несколько взаимосвязанных подзадач. В структуре системы управления таким объектом (рис. 11.1) в общем случае можно вы делить следующие основные контуры: оптимизации, стабилизации и идентификации объекта управления; оптимизации стабилизи рующего управляющего устройства.
Контур оптимизации объекта управления ОУ с помощью спе циального устройства оптимизации УО (или алгоритма оптимиза ции, реализуемого в УВМ) определяет наилучший по выбранному
технологическому критерию
режим функционирования объекта
и выдает соответствующие
этому режиму задания (уставки) х 3
контуру стабилизации. Контур оптимизации объекта работает обычно в сравнительно медленном темпе и периодически решает задачу статической оптимизации объекта.
Контур стабилизации, содержащий основное управляющее уст ройство УУ0, работает в одинаковом с объектом темпе и поддер живает с помощью управляющих воздействий у объект в состоянии, оптимальном для текущих условий. При изменении возмущения z устройство УУ0 возвращает объект в заданное состояние, а при изменении задания х 3 переводит объект в новое требуемое состоя ние. В обоих случаях контур стабилизации должен осуществлять наилучший в определенном смысле перевод объекта из одного со стояния в другое.
Наилучшие переходные процессы в контуре стабилизации обе спечивает контур оптимизации устройства УУ0, в котором допол нительное управляющее устройство УУЛ определяет оптимальные для различных условий параметры основного управляющего уст ройства (например, коэффициенты обратных связей /С0.с). При этом контур оптимизации УУ0 работает в масштабе времени, оди наковом с контуром стабилизации, и решает обычно задачу непре рывной, динамической оптимизации последнего.
Для постоянной или периодической корректировки параметров А, В объекта ОУ служит контур идентификации, в котором уст ройство оценки параметров УОП по наблюдаемым входным и вы-
Рис. 11.1. Структура системы управления сложным объектом
ходным сигналам объекта определяет текущие значения этих па раметров и вводит их в основное и дополнительное управляющие устройства.
Кроме рассмотренных контуров, в системе управления имеется, как правило, устройство оценивания состояния УОС объекта. Это
устройство определяет наилучшие оценки х переменных состояния* объекта, измеряемых измерительным устройством ИУ неточно (ис каженных помехой g).
В каждом указанном контуре и устройстве, как правило, ре шается определенная задача оптимизации или оптимального управ ления.
Управление называется оптимальным, если оно среди всех уп равлений рассматриваемого ограниченного класса обеспечивает наилучший в определенном смысле результат.
Постановка задачи оптимального управления включает в себя два основных этапа:
1)выбор желаемого режима функционирования объекта управ ления и задание в математической форме цели управления — кри терия оптимальности, соответствующего этому режиму;
2)определение математической модели объекта и установление ограничений на его входные и выходные переменные.
Рассмотрим понятия, связанные с этими этапами, и дадим клас сификацию задач оптимального управления в зависимости от видов
критериев
и типов
ограничений.
Критерии оптимальности.
Как
известно,
всякое
управле
ние
заключается
в
активном
воздействии
на
объект
с
целью
улучшения
его
функционирования.
В
простейших
случаях
улучшение достигается за
счет устранения
и компенсации внеш
них
и
внутренних
возмущений и
поддержания
тем
самым
объекта в некотором расчетном, номинальном
режиме. В более
сложных
случаях
для
существенного улучшения
функциони
рования объекта одной стабилизации
недостаточно,
поэтому при
ходится изменять сам режим работы объекта, его выходные пере менные. В обеих указанных задачах управления при формировании управляющих воздействий, направленных на улучшение функцио нирования объекта, используют некоторую количественную меру, характеризующую качество, эффективность управления. Эта ко личественная мера, по которой производятся вначале сравнитель ная оценка различных режимов функционирования объекта, а за тем выбор наилучшего режима и соответствующего ему варианта управляющих воздействий, называется критерием оптимальности (или критерием качества управления).
Критерий оптимальности обычно принимают в виде некоторой скалярной величины Q, которую стремятся выбрать таким обра зом, чтобы каждому варианту управления у соответствовало вполне определенное значение Q (у), а при наилучшем варианте управления у* критерий достигал своего экстремального значе ния Q* = Q (у*) (максимума или минимума). Тогда цель управле ния может быть выражена в виде следующей математической за писи
Q
extr,
(H I)
У
а искомое наилучшее управление у* рассматриваться как аргумент экстремизации критерия:
у* = arg extr Q.
(11-2)
Физический смысл величины Q зависит от характера объекта управления и от назначения оптимизируемой системы управления. В качестве величины Q могут быть приняты различные технические и экономические показатели функционирования как самого объекта, так и всей системы в целом. Критерием оптимальности могут слу-
367
жить величины, которые по своей сути и смысловому содержанию необходимо максимизировать — например, производительность тех нологического агрегата или коэффициент полезного действия энер гетической установки. Такие величины можно назвать показате лями выгоды Qв, и цель управления для них записать так:
QB-»-max.
(11.3)
у
Но критерием оптимальности могут служить и такие величины, которые требуется минимизировать — например расходы сырья или энергии на единицу продукции, отклонения качественных признаков продукции от заданных значений. Они являются пока зателями потерь Qп, и цель управления соответственно будет иметь вид:
Q„->-min.
(11.4)
у
Выбор критерия
оптимальности в каждом отдельном случае
для конкретного объекта представляет собой сложную инженер ную задачу, которая не имеет строгого, однозначного решения. Объясняется это тем, что многообразие требований к любому ре альному технологическому объекту управления принципиально не может быть сведено к единой количественной оценке, т. е. нельзя принять единый показатель, объективно оценивающий сочетания различных качественных признаков объекта. Поэтому указанную задачу выбора критерия оптимальности решают, как правило, эв ристически, на основе глубокого и всестороннего изучения объекта управления. При этом вынужденно ограничиваются упрощенным решением — выбором одного показателя, субъективно принимае мого в качестве основного, важнейшего для данной задачи управ ления. Естественно, что удачность выбора единого критерия за висит от опыта и интуиции постановщика задачи оптимизации.
Но если все-таки необходимо (по соображениям более высокого порядка) оценить объект или систему управления достаточно полно, учитывая одновременно несколько показателей эффективности, то приходится решать задачу так называемой векторной или много критериальной оптимизации с векторным критерием
Q = [Qi, Q„ Qs]r, (11.5)
состоящим из s скалярных критериев. Для задач векторной опти мизации не существует таких же строгих и мощных методов ана литического решения, как для задач со скалярным критерием. Век торная оптимизация осуществляется, как правило, путем сложных многоэтапных оценок, имеющих всегда субъективный и эвристиче ский характер. Поэтому при синтезе оптимальных систем управ ления обычно стремятся сразу при постановке задачи заменить исходный векторный критерий Q одним скалярным критерием Q,
368
который был бы более или менее эквивалентен векторному. Один из простейших способов такой замены заключается в линейном свертывании (агрегировании) компонентов Qt исходного критерия в виде суммы
Q =
(П.6)
i= \
'
где qt — весовые коэффициенты, выбираемые постановщиком с со блюдением условия
s
£<7<=1.
(11.7)
f=i
Заметим, что указанное агрегирование нескольких скалярных критериев возможно лишь в том случае, если все они однородны — относятся либо к группе показателей выгоды (11.3), либо — по терь (11.4).
Рассмотрим основные виды критериев оптимальности, которые применяются в задачах управления объектом, описываемым в об щем случае нелинейным дифференциальным уравнением состояния
x(t) = f c l x ( t ) ,
y(t),
z(t)}
(11.8)
и нелинейным алгебраическим уравнением выхода
(0 = /»[■* (0,
з>(0.
г (01.
(И-9)
где х (t), у (/), г (t), g (t)—векторы соответственно состояния, вы хода, управления, возмущения и помехи измерения; / с и / в—мат
рицы-столбцы,
состоящие
из
скалярных функций fcl и /„/ (t = 1;
2;
; п; / =
1; 2;
,
/).
При этом будем полагать в дальней
шем, что вид самих функций /сг и /„/ во времени не изменяется, т. е. объект стационарен.
Критерий оптимальности согласно своему смысловому содержа нию выражается обычно через компоненты векторов выхода х в (t),
управления у (t)
и задания х в. 3 (/):
Q = Qi [*в (0.
-*в.з (/), Д>(01.
(НЛО)
где х в, з (/) — вектор-функция времени,
определяющая желаемое
изменение выхода х в (/).
С учетом уравнений (11.8) и (11.9) можно для скалярной вели чины Q вместо выражения (11.10) записать зависимость от входных
переменных:
Q = Q2 [АГв. э (0, Z ( t ), g{t)\.
(11Лl)
Конкретный вид выражений (11.10) и (11.11) зависит от харак тера вектор-функций лгв. 3 (/) и z (/). Если компоненты векторов *в. з (/) и z (t) постоянны или изменяются во времени достаточно
369
медленно по сравнению с длительностью переходного процесса
в объекте,
то объект работает в установившемся или статическом
режиме, а
критерий оптимальности (11.10) представляет собой ал
гебраическую
нелинейную
зависимость
Q —ferine,
Хв. з> У)>
(11.12)
где х в, х в.з, У — векторы с неизменяющимися во времени компонен тами. Если внешние воздействия х в. 3 (7) или г (i) непрерывно из меняются или изменяются ступенчато, но достаточно часто (по срав нению с длительностью переходного процесса), то эффективность функционирования объекта и системы управления оценивают по функционалу — определенному интегралу, вычисляемому на за данном интервале управления fK:
Q = Q [y(01= $ М-МО.Хв.3 (0. ;у(0]<Н
(И.13)
о
где /о — некоторая скалярная неотрицательная функция, вид ко торой выбирают согласно цели управления.
Если целью управления является достижение минимальной длительности переходного процесса (максимального быстродейст вия), то полагают /0 s 1, и функционал (11.13) принимает триви альный вид:
I Qn =
(К1 (И = /к -> min,
(11.14)
I
о
у (0
который по смыслу относится к показателям потерь. Распространенным критерием оптимальности типа (11.13) яв
ляется квадратичный интегральный показатель качества переход ного процесса (см. 6.3), который для объекта с одним скалярным выходом хв имеет вид
Qn = $<кz2 { t ) d t = {
[хв.з ( 0 — хв (012d t min,
(11.15)
о
о
у (<)
а для объекта с / выходами —
Qn = £ < /А .;=
У
$ [*гв. з (0 — х1в (012 dt -*■min,
(11.16)
1=1
1= 1
о
у (t)
где x iB. з (/) — x iB (t) =
е* (t) — сигналы
ошибки.
Учитывая, что операции суммирования и интегрирования пере становочны, и записывая сумму квадратов отклонений е* в матрич ной форме, можно вместо (11.16) получить
