Учитывая, что обычная передаточная функция интегратора
нетрудно получить одну из наиболее часто используемых формул приближенного перехода от передаточных функций непрерывной части (без учета фиксатора!) к д. п. ф.:
Более точный переход от непрерывной системы к дискретной
обеспечивает подстановка |
Тастина |
|р —2 (г— 1)/Т (z + 1). |
(10.50) |
Замена (10.94) соответствует приближенному (численному) ин тегрированию по методу прямоугольников, подстановка (10.50) — интегрированию по методу трапеций.
При достаточно большой частоте дискретности, когда <од > соп, где (оп — полоса пропускания непрерывной части системы, при ближенные способы перехода, основанные на заменах (10.49) и (10.50), дают результаты, близкие к точным д. п. ф., а частотные свойства импульсной цепи эквивалентны свойствам непрерывной части с а. ф. х. WH(/ci>)/7\ Это условие эквивалентности обычно выполняется, если наибольшая постоянная времени непрерывной части больше периода квантования Т = At.
Изложенные приемы математического описания импульсных си стем с помощью z-изображений и соответствующих им разностных
уравнений удобно использовать для ц и ф р о в о г о |
м о д е л и |
р о в а н и я |
чисто н е п р е р ы в н ы х |
с и с т е м |
на ЭВМ. |
Переход от обычных передаточных функций W (р) к д. п. ф. W (г) |
осуществляется аналогично — подстановками (10.49) |
и |
(10.50). |
Но если для |
цифрового моделирования |
используются |
точные |
д. п. ф., полученные по формуле (10.35) или по таблицам соответст вия, то необходимо предварительно, перед переходом к разност
ному уравнению, найти д. |
п. ф. W' (z), устанавливающую связь |
между о г и б а ю щ и м и |
входной и выходной дискретных после |
довательностей: |
|
| W'(z) = TW(z). |
(10.51) |
Множителем Т компенсируется ослабление сигналов, которое вносится реально квантователем в импульсной системе (и которое отсутствует в моделируемой непрерывной системе!).
Любую д. п. ф., W (г) или W' (z), в общем случае можно пред ставить в виде отношения полиномов переменной z:
w (z) = |
Y(z) |
= ^ m + |
M m-1 + |
- • . + bm __ |
К (г) |
(10<52) |
W |
X (z) |
a0zn + |
+ |
. .+ a n |
D (г) |
|
или
W ( ) |
Y W |
Ь^ " 'П+ |
6lZ"‘~1~n + |
• • |
• + bmZ-n |
К (2-1) |
*Z |
X (2) |
a0+ |
aiZ~l + |
. + |
anz~n |
D (z"1) |
(10.53)
Передаточной функции (10.53) соответствует операторное урав нение динамики импульсной цепи в z-форме:
a0Y (z) + atY (z) z '1 + |
|- a„Y (z) гг" - |
b0X (z) z*-« + |
+ bxX (z) z"1- 1-" + . |
. + bmX (z) z-", |
(10.54) |
по которому легко получить разностное уравнение импульсной цепи (см. рис. 10.8) или моделируемой непрерывной системы:
аоУ (IT) + flif/ (iT — IT) -j- |
+ а„У (iT |
—nT) — b0x (iT |
-f- (m— n) T) -f- b^x (iT -|- (m — 1 — n) T) |
bnx (iT— nT). |
(10.55)
Разностные уравнения вида (10.55) обладают важным преиму ществом перед обыкновенными дифференциальными уравнениями: разрешенные относительно у (iT) они уже в самой своей записи содержат алгоритм решения, который легко программируется на ЦВМ. Кроме того, разностные уравнения можно также представ лять в виде сигнальных диаграмм состояния, удобных для модели рования. Основным операционным элементом дискретной диаграммы состояния вместо аналогового интегратора (см. рис. 6.12) является элемент задержки z_1.
Пример 4. Определим точную и приближенные д. п. ф. импульсной цепи,
состоящей из «ключа», фиксатора (10.8) и идеального интегратора
Й7Н(р) = |
kip. |
|
|
|
|
(10.56) |
Согласно |
(10.37) и табл. 10.1 |
точная д. п. ф. |
|
|
W (2) |
2 — 1 |
|
2 — 1 |
kTz |
kT |
(10.57) |
-5S |
Г)2 |
Z |
(z— l)2 |
z — 1 |
|
Ч |
Pa J |
фикса- |
Подстановка (10.49) в (10.56) дает для рассматриваемой цепи |
тором следующую приближенную д. п. ф. |
|
|
W ( Z ) * W H (P) |р=(2_ 1)/Т2 = |
^ £ _ |
, |
|
(10.58) |
а подстановка Тастина (10.50) — более сложную, |
но более точную |
д. п. ф. |
W (г) « |
WH(р) |р=2 (г_ 1)/Г (г+1) = |
2 |
' |
(10.59) |
Характеристики замкнутой импульсной системы. Для опре деления д. п. ф. замкнутой импульсной системы можно исполь зовать правила структурных преобразований типовых соеди нений, сформулированные в гл. 4 для непрерывных систем [см. (4.1), (4.2), (4.3)]. Но при этом следует помнить, что:
1) обычные правила структурных преобразований справедливы для импульсных систем, лишь если каждая ветвь типового сое
динения |
представляет |
собой типовую |
импульсную |
цепь |
(см. |
рис. |
10.8), состоящую |
из идеального |
квантователя |
(на |
входе |
цепи) |
и |
непрерывной части-, |
|
|
|
2) при иной структуре цепи и всего типового соединения экви валентная д. п. ф. определяется более сложными правилами.
Для основной схемы одноконтурной импульсной системы (см.
рис. 10.4, б) д. п. ф. по |
каналу х3—х |
|
Ф, 3 (г) = |
X (г)1Хз (г) = |
И7 (г)/( 1 + W (г)) |
(10.60) |
и по каналу х3—е |
|
|
|
Фе з (Z) = |
Е (г)/Хэ (г) = |
1/(1 + |
W (г)), |
(10.61) |
где W. (г) = |
К (z)/D (г) — д. п. |
ф. разомкнутого |
контура, пред |
ставляющего собой (в данной схеме) типовую импульсную цепь.
Характеристическое уравнение |
импульсной системы |
1 + |
И/(2) = 0 |
|
(10.62) |
или в |
развернутых |
формах |
|
D(z) + K(z) = F{z) = 0, |
(10.63) |
а0гя + а12л~ 1+ . |
. + а„ = 0. |
(10.64) |
Пример 5. Определим характеристики замкнутой импульсной системы (см. рис. 10.4, б), разомкнутый контур которой соответствует цепи, рассмот ренной в примере 4.
Подставляя точную д. п. ф. (10.57) в формулы (10.60) и (10.61), получим
соответствующие д. п. ф. замкнутой системы: |
|
ф* 3 (?) = |
х {Z)lX 3 (г) = |
k T l ( z + 67 - 1); |
(10.65) |
Фез (г) = |
Е {z)lX з (г) |
= |
(z - l)/(z + k T - 1). |
(10.66) |
Характеристическое |
уравнение системы |
|
г + £ 7 - 1 = 0 . |
|
|
(Ю.67) |
Найдем операторное уравнение динамики системы по каналу х3—е. Разделив предварительно числитель и знаменатель д. п. ф. (10.66) на z, по лучим
Е (2) [1 + (kT - 1) 2"1] = Хз (2) [1 — 2-1]. |
(10.68) |
Уравнению (10.68) соответствует разностное уравнение в рекуррентной форме (при 7 = 1):
е (0 = (1 - kT) е (i - I) + *з (0 - *з (»' - !)• |
(10-69) |
10.4. Основное условие и критерии устойчивости импульсных систем
Динамические свойства импульсных систем с амплитудной мо дуляцией во многом аналогичны динамическим свойствам непре рывных систем. Поэтому методы анализа таких импульсных систем
являются аналогами соответствующих методов исследования не прерывных систем.
Устойчивость импульсной системы управления, как и устойчи вость непрерывной системы, определяется характером ее свобод ного движения. Импульсная система устойчива, если свободная составляющая переходного процесса хс (iT) с течением времени
затухает, т. е. если |
|
lim Хс {iT) = 0. |
|
(10.70) |
£-*оо |
|
|
Свободная составляющая хс {iT) является |
решением однород |
ного разностного |
уравнения |
|
{а&п+ а ^ " - 1+ |
• . + а„) X (г) = 0. |
(10.71) |
Решение уравнения (10.71) при отсутствии у него одинаковых
корней 2 представляет собой сумму |
|
Xc(iT) = t c d , |
(Ю.72) |
k=\ |
|
где Cft — постоянные интегрирования, зависящие от |
начальных |
условий; zk — корни характеристического уравнения |
|
a0zn+ a1zn_1 + . , + а„ = 0. |
(10.73) |
Из выражения (10.72) видно, что при i -*■ оо решение хс {iT) стремится к нулю лишь в том случае, если все корни zk по модулю меньше единицы, т. е. если
||z * |< l, k = l \ 2; |
п. |
(10.74) |
Запись (10.74) выражает |
о б щ е е у с л о в и е |
у с т о й ч и |
в о с т и : |
|
|
для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы на ходились внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 10.9, а).
Если хотя бы один корень zk располагается на окружности единичного радиуса, то система находится на границе устойчиво сти. При \zk \ > 1 система неустойчива.
Таким образом, единичная окружность в плоскости корней zk является границей устойчивости и, следовательно, играет такую же роль, как мнимая ось в плоскости корней рк (рис. 10.9, б). Этот вывод вытекает также из основной подстановки (10.20) метода z-npe-
образования. |
Действительно, пусть pk = ak ± |
/р*. Тогда |
z* = epftT = |
eaftr e±/pftr |
(10.75) |
и требование | zk | <; 1 сводится к неравенству |
|
|е а*г |< 1 . |
|
(10.76) |
Рис. 10.9. Области устойчивости в плоскости корней
откуда следует известное в теории непрерывных систем условие устойчивости
Для суждения об устойчивости импульсных систем можно ис пользовать обычные критерии устойчивости линейных систем (см. гл. 5), но при этом приходится учитывать лишь некоторые особен ности импульсных систем. Так, для того чтобы применить к р и т е р и й Г у р в и ц а , необходимопредварительно вуравнении (10.73) произвести замену переменной z на переменную w путем подстановки
z = ( w + \ ) / { w — 1) |
|
(10.78) |
и получить преобразованное характеристическое уравнение |
|
<W + <W,_I + .. + |
а'п = 0. |
(10.79) |
Корням уравнения |
(10.73), расположенным вплоскости |
корней |
внутри единичного круга (см. рис. 10.9, а), теперь будут соответст вовать корни преобразованного уравнения (10.79), находящиеся в плоскости корней wk слева от мнимой оси (рис. 10.9, в). Действи
тельно, |
если |zft| < |
1, то модуль |
числителя в выражении (10.78) |
должен быть меньше модуля знаменателя, т. е. | wk + 11< |
| ш —11. |
А это возможно лишь в том |
случае, если вектор wk расположен |
в левой |
полуплоскости |
(см. |
рис. |
10.9, в). |
в харак |
При |
использовании |
к р и т е р и я |
М и х а й л о в а |
теристический полином |
F (г) |
подставляют z = d aT, изменяют со |
от 0 до л / Т и в комплексной |
плоскости строят годограф вектора |
F (е/“ г). |
Импульсная система устойчива, если при возрастании |
со от 0 до л / Т характеристический вектор F (е'“ г) повернется про |
тив часовой стрелки |
на |
угол |
пп. |
Если |
годограф характеристиче |
ского вектора проходит через начало координат, то система нахо дится на границе устойчивости.
Годографы вектора F (е/й)Г) для устойчивой и неустойчивой системы второго порядка показаны на рис. 10.10, а.
Отметим, что импульсные системы второго и даже первого по рядка, в отличие от непрерывных систем такого же порядка, могут быть неустойчивыми при положительных коэффициентах характе ристического уравнения. Это объясняется тем, что фиксатор, со держащийся обычно в контуре импульсной системы, вносит допол нительное отставание по фазе.
К р и т е р и й Н а й к в и с т а для импульсных систем фор мулируется так же, как и для непрерывных систем: система устой чива, если а. ф. х. W ( е ^ т) устойчивого разомкнутого контура не охватывает точку (— 1; /0).
Характеристики устойчивой импульсной системы и неустойчи вой системы, находящейся на границе устойчивости, показаны штриховыми линиями на рис. 10.10, б.
Устойчивость разомкнутого контура импульсной системы опре деляется устойчивостью ее непрерывной части: если последняя устойчива, то и весь контур (включая импульсный элемент) устой чив.
Следует иметь в виду, что, хотя импульсный элемент не влияет на устойчивость разомкнутого контура, он существенно влияет на устойчивость и качество замкнутой системы. При малых периодах повторения частотная характеристика разомкнутого контура сов падает с частотной характеристикой непрерывной части, и устой чивость импульсной системы полностью определяется свойствами непрерывной части. По мере увеличения периода повторения у большинства систем уменьшается предельный передаточный ко эффициент и ухудшаются динамические свойства. Однако на не которые структурно-неустойчивые непрерывные системы и на си стемы с запаздыванием, а. ф. х. которых заходит в правую полу плоскость, импульсный элемент оказывает стабилизирующее дейст-
вие. Для таких систем рекомендуется период повторения Т выби рать из условия
где (о0 — частота, при которой а. ф. х. непрерывной части пересе кает положительную мнимую ось Q (со).
Пример. Определим с помощью критерия Гурвица предельное значе ние передаточного коэффициента импульсной системы, рассмотренной в при мере 5 из 10.3.
Характеристическое уравнение системы
г + кТ — 1 = 0 . |
(10.81) |
После подстановки (10.76) уравнение принимает вид |
|
kTw + 2 — kT = 0, |
(10.82) |
и для него условие устойчивости Гурвица заключается, как известно, в по
ложительности |
коэффициентов, т. е. |
|
а0 = кТ > 0 |
и а\ = 2 — к Т > 0 , |
(10.83) |
отсюда допустимые пределы изменения передаточного коэффициента |
О< |
fe < 2IT. |
(10.84) |
10.5. |
Оценка |
качества импульсных |
систем |
Качество импульсных систем управления характеризуется та кими же показателями, как и качество непрерывных систем: точ ностью в установившихся режимах, длительностью и перерегули рованием переходного процесса.
Д л и т е л ь н о с т ь и п е р е р е г у л и р о в а н и е оце нивают непосредственно по переходной характеристике. Переход ная характеристика импульсной системы строится гораздо проще, чем для непрерывной системы. Для этого записывают z-изображе- ние выходной величины при единичном ступенчатом воздействии
X (z )= — Д— ф ( г), |
(10.85) |
а затем по изображению находят оригинал — решетчатую функцию
х(iT).
Впростых случаях функцию х (iT) можно найти при помощи таблиц обратного z-преобразования, разложив предварительно
изображение X (z) на простые дроби.
В тех случаях, когда разложение на дроби связано с трудно стями, целесообразно разложить функцию X (г) в степенной ряд по отрицательным степеням г (делением числителя на знаменатель):
X (г) = £ C[Z~{ = с0+ схг~г + с2г '2 + . , + с{тг1+ . |
(10*86) |
*=0 |
|
Из определения z-преобразования (10.21) вытекает, что
коэффициенты степенного ряда (10.86) по степеням z_1 пред
ставляют собой значения переходной |
характеристики h (t) |
в дискретные моменты времени t = iT |
(i = 0; 1; 2; |
.) ,т .е . |
| с0 = х(0); |
с1 = х(Т)\ |
с%=х(2Т); |
ct = x(lTy, |
|
|
|
|
|
(10.87) |
Импульсные |
системы |
обладают с п е ц и ф и ч е с к о й |
о с о |
б е н н о с т ь ю : переходные процессы в них могут заканчиваться за конечное число периодов Т, равное порядку системы п. Усло вием получения конечной длительности переходного процесса яв ляется равенство всех (кроме первого) коэффициентов характери стического уравнения (10.64) нулю, т. е.
a1 = ai = . . = а„ = 0. |
(10.88) |
При этом характеристический полином системы имеет вид |
F(z) = a ^ n, |
(10.89) |
а изображение выходной величины оказывается конечным рядом отрицательных степеней z:
Х(г) = — —г |
Ф(г) = — —Z |
- ^ ~ - = c0 + c1z-1+ . . + cnz~n, |
г — 1 |
г — 1 |
ajzn |
|
|
(10.90) |
что соответствует переходному процессу с конечной длительностью tn = пТ
При любом другом соотношении коэффициентов длительность переходного процесса больше пТ Поэтому процесс с конечной дли тельностью будет оптимальным по быстродействию.
Выполнение условия (10.88) достигается, как правило, введе нием в контур системы непрерывных и импульсных корректирую
щих устройств. |
|
|
|
|
|
|
Т о ч н о с т ь и м п у л ь с н о й |
с и с т е м ы |
оценивают по |
установившемуся значению |
сигнала |
ошибки |
[согласно теореме |
(10.32)] |
|
|
|
|
|
|
е (оо) = lim е (iT) - |
lim |
Е (г) = |
Пт |
Z |
Фе (г) Х 3 (г). |
1=оо |
Z—►1 |
Z |
|
z-*l |
(10.91) |
|
|
|
|
|
|
При ступенчатом |
воздействии х3 (t) |
— а\ |
(t) |
установившаяся |
ошибка |
|
|
|
|
|
|
е (оо) = lim —— !--------!---------- 2L- |
|
а |
|
(10.92) |
|
|
|
г-1 г 1 + W (г) г — 1 1+ Г(1)
Отсюда видно, что при ступенчатом воздействии ошибка будет равна нулю, если передаточная функция W (z) разомкнутого кон тура имеет хотя бы один полюс, равный единице.
Аналогично можно показать, что при линейном воздействии ошибка равна нулю, если не менее двух полюсов равны единице.
Пример. Построим переходную характеристику системы, состоящей из «ключа», фиксатора (10.8) и идеального интегрирующего звена.
Д. п. ф. разомкнутого контура такой системы
W (г) = kTI(z - 1). |
(10.93) |
Д. п. ф. системы по задающему воздействию |
|
Фх з (г) = кТ{(г + к Т - 1 ) . |
(10.94) |
При единичном ступенчатом воздействии изображен ие выходного сигнала
X (г) = — --------------- — ------- |
(10.95) |
г — 1 |
z + |
k T — l |
|
можно легко разложить |
на две дроби |
|
X (2) = ■ |
2 — (1 — kT) |
(10.96) |
2 — 1 |
|
и, пользуясь таблицами обратного 2-преобразования, записать переходную функцию
x ( iT ) = |
1 (iT) — (1 — kT)1. |
|
(10.97) |
Построенные по выражению (10.97) |
переходные процессы при kT = 0,5 |
(кривая /), |
kT = 1 (кривая 2), k T = |
1,5 |
(кривая 3) приведены на рис. 10.11. |
Очевидно, |
что при |
k T = |
1 процесс |
оптимален: перерегулирование равно |
нулю, длительность |
процесса минимальная. |
При каждом конкретном значении параметра kT переходную функцию |
можно найти также |
путем |
разложения |
изображения X (г) в степенной ряд |
Рис. 10.11. Переходные процессы в импульсной системе
(10.86). Например, при kT = 1,5 в результате деления числителя выраже ния (10.95) на знаменатель получим:
X (г) = 1,52-! + 0,752-2 + 1,1252-3 + 0,937г"4 + |
(10.98) |
Коэффициенты этого ряда соответствуют ординатам колебательного пе. реходного процесса на рис. 10.11 (кривая 3).
Пример 2. Определим для системы, рассмотренной в примере 1, устано вившееся значение ошибки при ступенчатом и линейном воздействии.
Передаточная функция систем для сигнала ошибки
Фез (*) = (г - |
1)/(z + |
k T - |
1). |
|
|
|
(10.99) |
Так как д. п. ф. разомкнутого контура W (г) имеет полюс 2 = |
1, то при |
ступенчатом воздействии установившаяся ошибка равна нулю. |
|
При линейном воздействии х (t) = at установившаяся ошибка |
|
е (оо) = Игл - |
2— 1 |
2 — |
1 |
aTz |
■lim ■ |
аТ |
а |
Z + kT — 1 |
(2— 1)2 |
|
~~k~' |
£—►1 |
z-И Z + k T — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
( 10. 100) |
10.6. Структура и характеристики цифровой системы управления
Перспективным направлением в технике автоматического управления является использование цифровых вычислительных машин в режиме ПЦУ. При осуществлении этого режима УВМ включают непосредственно в контур автоматической системы уп равления. УВМ функционирует в реальном масштабе времени и в тем пе хода технологического процесса, вырабатывает управляющие воз действия, которые через исполнительные устройства передаются на управляемый объект. Одновременно УВМ выполняет функции задающего и сравнивающего устройства. В качестве УВМ, работаю щей в режиме ПЦУ, используются отечественные миниЭВМ типа СМ-4М, М-6000, «Электроника-100», микроЭВМ типа «Электро ника-60», СМ-1420, СМ-1804, «Электроника-С5», микропроцессор ные цифровые регуляторы серии «Ремиконт».
Рассмотрим типичную функциональную структуру однокон турной цифровой системы управления (рис. 10.12, а). АЦ П кван тует непрерывный сигнал е по уровню и по времени и представляет его в цифровом коде. При этом образуется последовательность чисел ец, записанных в определенной (обычно двоичной) системе счисления. Цифровое вычислительное устройство ЦВУ в соот ветствии с заложенным в него алгоритмом выполняет над числами арифметические и логические операции и с периодом повторения Т выдает в виде числа управляющий сигнал уц. Ц АП состоит из де кодирующего и фиксирующего устройств, которые из выходной последовательности чисел у1Хформируют непрерывное управляющее воздействие у .
Если непрерывная часть системы и алгоритм работы ЦВУ ли нейны, то рассматриваемую цифровую систему можно исследовать
