книги / Теория автоматического управления
..pdfРис. |
4.2. Алгоритмические схемы замкнутой одноконтурной системы (а) |
и ее |
разомкнутого контура (б) |
Так, для соединения из двух звеньев (см. рис. 4.1, г)
I w , (р) = W„ (р)/(1 ± Wn (Р) Wo. С (р)). |
(4.3) |
С помощью этих правил удается преобразовать любую исход ную алгоритмическую схему, не содержащую перекрестных свя зей, к одноконтурной схеме (рис. 4.2, а).
Алгоритмическую схему замкнутой системы управления (и саму систему) называют одноконтурной, если при ее размыкании в ка кой-либо точке образуется цепь, не содержащая параллельных сое динений и обратных связей. Цепь, полученная при размыкании замкнутой системы (см. рис. 4.2, а) между точками А и В, не со держит параллельных соединений и обратных связей.
Получаемая при размыкании одноконтурной системы цепь по
следовательно соединенных |
элементов, стоявших внутри замкну |
|
того контура, |
называется |
разомкнутым контуром системы |
(рис. 4.2, б). В соответствии с этим определением |
||
передаточная |
функция разомкнутого контура Wp. к (р) одно |
контурной системы равна произведению передаточных функций всех элементов, стоящих внутри контура системы. Передаточ
ные функции элементов, стоящих вне замкнутого |
контура, |
никогда не входят в произведение Wp. к (р). |
|
Например, для системы на рис. 4.2, а |
|
WP. к (р) = W, (р) W2 (р) W3 (р) W4(р). |
(4.4) |
Передаточные функции Wb (р) и Wa (р) не входят в произведение (4.4), так как эти элементы стоят вне замкнутого контура.
Передаточная функция разомкнутого контура является одной из важнейших характеристик замкнутой системы управления. От нее зависят устойчивость и показатели качества процесса управле ния (см. гл. 5 и 6). Она обязательно входит в выражение передаточ ной функции замкнутой системы.
В общем случае на замкнутую систему управления могут влиять несколько внешних воздействий (задающих и возмущающих), а при анализе и оценке ее свойств часто возникает необходимость рассматривать несколько выходных переменных. Например, если
всистеме (см. рис. 4.2, а) четыре внешних воздействия (хв, х 2, хв, х4)
ичетыре выходных переменных (уъ у 2, у3, у4), то для каждой пары «вход-выхода замкнутой системы может быть записана своя пере даточная функция по следующему правилу:
Передаточная функция Ф,* (р) одноконтурной системы между
k-м входом xk и 1-м выходом yt |
равна передаточной функции |
|
прямой цепи Wlk (р), деленной |
на единицу плюс передаточная |
|
функция разомкнутого контура, т. е, |
|
|
(Р) = Ш(Р)/*а(Р) = W lk (р)/( 1 + Wp.к(р)), |
(4.5) |
при этом предполагается, что обратная связь в системе отрицатель ная. Знак обратной связи в одноконтурной системе устанавливают с учетом всех перемен знака, происходящих в сумматорах при про хождении сигнала по замкнутому контуру.
Например, для системы на рис. 4.2, а передаточная функция по каналу хь—у3 равна
ф —У»(Р) _ — |
(р) W2(р) w2(р) w3(р) |
/4 g4 |
*ь(Р) |
1 + И7р. к (р) |
|
где Wp. к (р) = Wx (р) W 2(р) Wз (р) W4(р).
При записи (4.6) учтено, что в схеме (см. рис. 4.2, а) знак внутри контура изменяется только один раз (в сумматоре после звена №3), т. е. обратная связь отрицательная. Эта перемена знака происхо дит и с сигналом в прямой цепи и учтена в числителе (4.6) знаком «минус».
Передаточная функция по любому из каналов хк—yi записы вается по правилу (4.5) независимо от остальных каналов — в пред положении, что остальные входные воздействия равны нулю.
Если исходная алгоритмическая схема многоконтурная и со держит п е р е к р е с т н ы е с в я з и (рис. 4.3 , а), то для ее свертывания к одноконтурной приходится применять, кроме трех главных правил (4.1), (4.2), (4.3), вспомогательные правила струк турных преобразований (табл. 4. 1).
Действительно, ни для одного из трех типовых соединений, со держащих по три элемента (W ^ - W 2— W4, W 2— Wz— Wb, W 1— И72—И7*)» образующих схему на рис. 4.3, а, нельзя сразу приме нить главные правила, так как начало или конец одного соединения
132
я
Рис. 4.3. Пример структурных преобразований алгоритмической схемы
оказались бы при этом внутри другого соединения. Поэтому при ходится эти перекрещивающиеся контуры предварительно «развя зывать» — устранять перекрестность различными путями. Так, пользуясь вспомогательным правилом № 3 (см. табл. 4.1), можно перенести узел разветвления с входа на выход звена W3, добавив одновременно перед звеном W3 обратную функцию U7-1. С помощью
правила № 5 можно сумматор перенести на выход звена W 2, вклю чив последовательно с Wb звено W 2, а затем по правилу № 2 по менять местами сумматоры А и В. В итоге получится схема без пе рекрестных связей (рис. 4.3, б), которую легко свернуть по глав ным правилам. Передаточные функции двух внутренних соедине ний данной схемы:
^ 1. 3.4 (р) = |
w t (p)Wt (p ) - W t (р); |
(4.7) |
Ws,,, 8(р) = |
Wa(р)/( 1 - W3(р) Wb(р) Г 2(р)). |
(4.8) |
Теперь схему можно рассматривать как одноконтурную с пе
редаточной функцией разомкнутого контура |
|
Wp. к (р) = w b 2. 4(р) W3, 2, 5 (р) r e (p)/W3(р). |
(4.9) |
Передаточная функция замкнутой системы (см. рис. 4.3, б) по
каналу х— у согласно правилу (4.5) равна |
|
||||
ф от(р) = |
-Ш |
. = Wl-2' 4{р) Ws‘»•6{р) |
(4.10) |
||
у К |
х(р) |
1 + ^ Р.к(Р) |
|
|
|
или с учетом выражений (4.7), |
(4.8), |
(4.9) |
|
||
ф , ч |
. |
Wi (р) |
(Р) |
(р) - У» (Р) W, (р)____________ |
|
ух {Р) |
1 + |
Wl (р) W2 (р) Wt (p ) - W 2 (р) Й73 (р) WB( p ) - W t (р) |
(р) |
(4.11)
|
Вспомогательные правила структурных преобразований |
||||
|
Операция |
|
Исходная схема |
Преобразованная схема |
|
|
|
|
|
|
х , = х А |
|
Перестановка узлов |
|
|
|
|
1 |
разветвления |
|
|
|
|
|
|
|
х 2 |
▼ |
▼х 2=X |
|
|
|
* 2 |
|
* 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Перестановка |
* 1 |
О - - - |
О- - |
|
|
сумматоров |
- |
|
||
|
|
|
|
|
X3 |
W
Перенос узла разветвления через звено вперед
|
W |
|
-► W ----► |
|
“У ▼Г |
F ’ |
|
Перенос узла |
|
||
разветвления |
|
7] |
|
через звено |
|
|
|
назад |
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
*2. |
Перенос
сумматора через звено вперед
Перенос
сумматора через звено назад
* 2
— " О - * |
|
У |
* 1 |
|
▼ |
К |
И/ |
---- ► |
----► |
W |
ч > |
— |
|
|
|
|
|
|
I*2 W
Q — ►[ tv |— ^
Для многоконтурных схем, более сложных, чем рассмотренная, процедуры предварительных переносов и последовательного свер тывания оказываются достаточно трудоемкими. Поэтому для та ких схем целесообразно использовать формулу Мейсона
1 |
т |
(4.12) |
(Р) = - щ |
- £ Wlk (0 (Р) А, (р), |
где Wikd) (р) — передаточная функция t-го прямого канала, свя зывающего вход xh с выходом г/,; т — число таких каналов; А (р) — специальный полином, который определенным образом характери зует совокупность всех замкнутых цепей системы, содержащих об ратные связи, и вычисляется как сумма передаточных функций ра зомкнутых контуров этих цепей и произведений передаточных функ ций разомкнутых контуров пар и троек несоприкасающихся друг с другом цепей с обратными связями:
А (Р) = 1 ■- Е |
W, (р) + Е |
Wt (р) w , ( p ) - Z w t (р) w , (р) X |
с |
l.l |
i.I.r |
XU7r (p)+ |
|
(4.13) |
Полином А, (р) составляется по правилу, аналогичному (4.13), но только для цепей с обратными связями, не соприкасающихся с t-м прямым каналом. Знаки всех сигналов прямых каналов и об ратных связей учитываются в формулах (4.12) и (4.13) перед соот ветствующими передаточными функциями.
Формула Мейсона особенно удобна для применения, когда структура системы представлена в виде сигнального графа.
Проиллюстрируем использование формулы на примере системы, алгоритмическая схема которой приведена на рис. 4.3, а. Соответст вующий ей сигнальный граф показан на рис. 4.4, а, причем знаки сигналов перед сумматорами С и В учтены на графе вместе с пере даточными функциями We и W4. Для наглядности на рис. 4.4, б
а
Рис. 4.4 . Сигнальный граф системы (а) и образующие его прямые каналы
(б) и замкнутые контуры (в)
и в отдельно изображены графы двух прямых каналов и трех замк нутых цепей. Поэтому можно, пользуясь формулой Мейсона, по лучить сразу в окончательном виде передаточную функцию по ка налу х—у, которая полностью совпадает с передаточной функцией (4. 11), полученной с помощью предварительных переносов и после довательным свертыванием. Так как все контуры в данном примере соприкасаются (имеют общие ветви или вершины), то парные про изведения и триады в формуле отсутствуют. Нет также в сигналь ном графе (см. рис. 4.4, а) контуров, не соприкасающихся с пря мыми каналами, поэтому Ах (р) = 1 и Д 2 (р) = 1 .
После определения передаточных функций между всеми т вхо дами хк и одним из выходов yt можно на основании принципа су перпозиции записать уравнение динамики замкнутой системы для рассматриваемого выхода уу.
|
т |
|
yt (Р) = |
(р) Ф/а (р)- |
(4.14) |
А = 1
Так как у одноконтурной системы знаменатели всех передаточ ных функций Фik(p) одинаковы, то уравнение (4.14) для нее можно записать в таком виде
У1(Р)П + Wp. к(р)] = £ xk (р) Wlk(р), |
(4.15) |
А=1
где Wp, к (р) — передаточная функция разомкнутого контура. Выражение в квадратных скобках в левой части уравнения
(4.15) представляет собой собственный оператор системы. Если приравнять его нулю, то получим характеристическое уравнение одноконтурной системы в обобщенном виде:
|1 + ^ р. к(р) = 0. |
(4.16) |
Выражению (4.16) соответствует следующее правило:
характеристическое уравнение замкнутой одноконтурной си стемы представляет собой приравненную к нулю сумму единицы и передаточной функции разомкнутого контура.
Если передаточная функция разомкнутого контура предвари тельно записана в виде отношения полиномов К (р) и D (р), то ха рактеристическое уравнение одноконтурной системы будет иметь вид
D(p) + K(p) = 0. |
(4.17) |
Для многоконтурных систем характеристическое уравнение получается приравниванием к нулю полинома (4.13). Например, для системы на рис. 4.3, а характеристическое уравнение
А (р) = 1 + W 1 (р) W t (p )W e(p) - W 2(р) W t (р) W 6 (р) -
- яМ р )И М р)= о.
4.2. Примеры составления передаточных функций и уравнений динамики систем управления
Система управления частотой вращения двигателя. Автомати
ческая система, упрощенная принципиальная схема которой при ведена на рис. 4.5, а, широко применяется для регулирования ча стоты вращения различных машин и механизмов. Систему исполь зуют как в режиме программного управления, так и в режиме стабилизации скорости. В качестве исполнительного устройства в си стеме применен генератор постоянного тока G. Возбуждение гене ратора осуществляется от тиристорного преобразователя VS. Уп равляющий сигнал %, действующий на входе преобразователя, формируется в операционном усилителе У в зависимости от вели чины и знака сигнала рассогласования ц, — разности напряжений и3 и ип. Формирование сигнала иу может происходить по про стейшему пропорциональному закону или по более сложному алго ритму (см. 4.3).
Кроме главной обратной связи (по частоте вращения двигателя), в системах такого рода применяют обычно обратные связи по на пряжению или току якорной цепи (см. пунктирную линию на рис. 4.5, а). Далее будем рассматривать только главную обратную связь.
На алгоритмической схеме системы управления частотой вра
щения двигателя (рис. |
4.5, б) двигатель М представлен в виде |
двух звеньев WA и Wд, |
выходные величины которых суммируются. |
а |
|
Рис. 4.5. Автоматическая система управления частотой вращения двигателя:
а — принципиальная схема; б — алгоритмическая схема
Передаточная функция двигателя по управляющему воздейст
вию — ЭДС генератора ег (см. 3.4) |
|
|
Г д (р) = п (р)1ег (р) = V (T„7> 2+ Т ыр + |
1), |
(4.19) |
по возмущающему воздействию — моменту |
нагрузки |
|
К (Р) = п (р)!Мс (р) = - к (Т«Р + 1)/(ТпТяР2 + Т мр + |
1). (4.20) |
|
Передаточная функция генератора G (см. 3.3) |
|
|
Г г(Р) = ег (р)/ив (р) = kr/(Trp + 1). |
|
(4.21) |
Тиристорный преобразователь VS по сравнению с двигателем М и генератором G может рассматриваться как практически безынер ционное звено:
Г т.п (р) = ив (р)/иу (р) &кт. п- |
(4.22) |
Будем считать, что операционный усилитель У выполняет про стейший алгоритм — пропорциональное усиление:
W y { p ) = u y { p ) l u p ( p ) = k y . |
(4.23) |
Тахогенератор BR является безынерционным звеном: |
|
Г т.г (р) = ит. г (р)/п (р) = k T. г. |
(4.24) |
Согласно правилу (4.5) передаточная функция замкнутой си
стемы по задающему |
воздействию |
|
|
|
Ф . (р) |
п {р) |
{р) Гт- " (р) w r (Р) |
(Р) |
,4 2 5 ) |
|
«3 (Р) |
1 + W'p. к (Р) |
|
’ |
а по возмущающему |
воздействию |
|
|
|
® .(p )_ ^ L i£ L = |
К ( р ) |
|
(4.26) |
|
|
М е (Р) |
1 + » V « M |
|
|
где Г р. к (р) — передаточная функция разомкнутого контура:
UV к (Р) = Wy (р) Wr. п (р) Г г (р) Г д (р) Wr. г (р). |
(4.27) |
После подстановки в выражения (4.25), (4.26) и (4.27) переда точных функций отдельных элементов получим:
Ф,(р) = |
|
£у^Т. П&Г^Д |
(4.28) |
|
|
|
(T’rP+l) ( Т мТ яр * + Т мр + 1 ) + к |
|
|
Фв(р) = |
- ^ |
( v + 0 ( v + 0 |
(4.29) |
|
|
|
с тг Р + т т ктяР* + т ир + \ ) + к |
’ |
|
1 ^р . К = kl(Trp + |
1) (ТмТ яр2+ Т„р + 1), |
(4.30) |
||
где |
k = kykr. nkrkAkr. г — передаточный |
коэффициент разомкну- |
||
того |
контура. |
|
|
138
Рис. 4.6. Алгоритмическая схема системы стабилизации подачи руды
Передаточные функции (4.28) — (4.30) можно записать в форме (2 .94) — в виде отношения двух полиномов.
Согласно принципу суперпозиции уравнение динамики в опе
рационной форме |
|
|
|
п (р) = |
и3(р) Ф3 (р) + Л4С(р) Фв (р) |
(4.31) |
|
или в развернутом виде |
|
|
|
[(Т гр + |
1) (ТМТ яр2+ Т мр + 1) + k] п (р) — kykTt nkrkAи3 (р)— |
|
|
— &д (Т яр + 1) (Т гр + |
1) М с(р). |
(4.32) |
|
Характеристическое |
уравнение системы |
|
|
(Тгр |
1) (ТмТ яр2+ Тмр + 1) -\-k = 0. |
(4.33) |
Подставляя в уравнение динамики (4.32) значение р = 0, по лучим уравнение статики
ь ь k k |
|
п = и3 к у кт. п ^ г^ д ■ М с 1 + k |
(4.34) |
Система стабилизации подачи руды. Составим передаточные
функции и уравнение автоматической системы стабилизации по дачи руды, описанной в 1.4 и 2.1. При этом воспользуемся приве денными в гл. 3 передаточными функциями конструктивных эле ментов системы.
Алгоритмическая схема системы (рис. 4.6) составлена согласно принципиальной (см. рис. 1.8) и функциональной (см. рис. 2 . 1) схемам системы.
Питатель по каналу частота вращения — расход руды пред
ставляет собой статическое инерционное звено |
|
1РП(Р) = Q ( Р) 1 пп (Р) = kn/(TnP+ 1), |
(4.35) |
где kn — передаточный коэффициент питателя, (кг/с)/(об/с); ТП — постоянная времени питателя, с.
Весоизмеритель опишем приближенно инерционным звеном первого порядка:
W B(р) = QcP {p)/Q (Р) - Щ ТъР + 1 ) . |
(4.36) |
Двигатель постоянного тока, вращающий шнековый питатель, в рассматриваемой инерционной системе достаточно учитывать как звено первого порядка:
WR(Р) = Яд (Р)/Ид (Р) « |
kAl(T Rp + 1 ) , |
(4.37) |
|
где |
кл — передаточный |
коэффициент двигателя, |
(об/с)/В; |
Тя « |
Ти — электромеханическая постоянная времени, |
с. |
Магнитный усилитель по этим же причинам можно считать
безынерционным звеном |
|
Wu.y (р) л# &м. у* |
(4.38) |
Электронный усилитель, |
редуктор и магнитоупругий датчик |
в данной системе являются практически безынерционными звеньями (4.38) с передаточными коэффициентами £э. у, кр и 1ги, д (В/Н).
Кроме указанных конструктивных элементов в алгоритмиче скую схему системы входят еще два условных звена с эквивалент
ной передаточной функцией, Н/(кг.с), |
|
W3 (p) = xg, |
(4.39) |
где т — время |
нахождения элементарной порции руды на ленте |
весоизмерителя, |
с; g да 9,8 — ускорение свободного падения, м/с2. |
Эти два звена включены в схему для перехода от среднего массового расхода Qcp (кг/с) к количеству m (кг) материала, находящегося на ленте, и от количества тп к силе тяжести F (Н), которая непо средственно действует на магнитоупругий датчик. Если переда точный коэффициент датчика задан сразу с размерностью В/(кг/с), то звено (4.39) в алгоритмической схеме отсутствует. Возможные при работе системы изменения плотности и сыпучих свойств руды учтены на алгоритмической схеме (см. рис. 4.6) в виде экви валентных изменений расхода руды AQ„. Характеристики эквива лентного возмущения AQ„ определяют обычно экспериментальным путем — измерением расхода Q (кг/с) при разомкнутом контуре системы, т. е. при постоянной частоте вращения шнека. Таким способом можно определить, например, максимальное значение отклонений расхода Q (от некоторого среднего значения), возни кающих из-за изменений свойств руды.
Согласно правилу (4.5) передаточная функция системы по за дающему воздействию
<S>3 (p) = |
Q {p )/u 3 {p) = |
|
|
= ______________ У а. у (р) ДУ у (р) |
УдО>) |
(р) W „ (р)______________ |
|
1 + |
«V у (Р) V * . у (Р) WA(р) Щ |
(р) W n (р) W , (р) Г , (р) W u. д (р) ' |
(4.40)