книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1

Видно что это неравенство обращается в равенство (и, стало быть левая часть достигает максимально возможного значения) при выполнении условия

F2{x) = AFS(x)t

то есть когда ^Ь(х) пропорциональна функции, комплексно сопряженной с Р\ (ж). Здесь А — произвольный постоянный коэффициент.

Приравняв Р\ (ж) = G(ш) и Р2(х) = К (u))exp(ju)tm), квадрат пикового зна­ чения сигнала зВых(*т) согласно уравнению (5.7.1) может быть представлен в

В подынтегральной функции последнего интеграла отсутствует экспонен­ циальный член, так как \exp(ju>tm)\2 = 1. Поэтому

Из формулы (5.7.3) следует, что пиковое значение выходного сигнала огра­ ничивается величиной

ОООО

( tm ) ^

\

а его отношение к среднеквадратичному значению выходного шума (5.7.2) со­ ставляет _________ _______________

Здесь ^ J ^ G 2(ш)ёш — полная энергия & входного сигнала согласно урав­ нению (4.1.33). Отношение сигнала к шуму получается наибольшим и равным

\J&/WQ при

К(ш) = К(ш)ехр\jtpk(w)] = AG* (w)exp( - ju>tm) =

= A G (w )e x p { - /[¥ > e(w) + u>tm]}. (5.7.5)

Из последнего соотношения вытекают два условия для фазовой и ампли­

Первое условие (5.7.6) определяет компенсацию начальных фаз в спектре сигнала. После прохождения через фильтр фазовая характеристика выходного сигнала (—wtm) обеспечивает образование его пика при t = tm. Очевидно, что это возможно не ранее окончания сигнала.

Второе условие (5.7.7) показывает, что амплитудно-частотная характери­ стика К(ш) оптимального фильтра усердно повторяет спектр сигнала G(u>) (с точностью до произвольной постоянной А). Теперь, когда соотношение (5.7.7) выведено, это замечательное правило кажется очевидным: на тех частотах, где спектральная плотность G(a>o) сигнала больше и усиление должно быть боль­ ше. Зачем же усиливать сигнал на частотах, где G(u) —*• 0, ведь вклад этих сигнальных гармоник мал, мы только усилим лишний шум. Напомним, что рассматривается случай белого шума W(UJ) = Wo = const.

Поясним вывод соотношения (5.7.7) более наглядным методом «от простого к сложному», не опираясь на формулу Шварца.

Пусть спектр шума белый, а симметричный во времени сигнал имеет по­ стоянную спектральную плотность G\ в узкой полосе частот Д /с. Если полоса усилителя еще уже (Д /у < Д /с), то отношение сигнал/шум на его выходе

Здесь К\ обозначает коэффициент усиления. NQ/ш увеличивается с ро­ стом A f y до тех пор, пока полоса усилителя не превысит полосу сигнала: при A f y > Д /с сигнал уже не возрастает с увеличением полосы, продолжает рас­ ти только шум. Следовательно, полосу усиления надо выбирать равной полосе сигнала.

Усложним задачу. Дополним спектр сигнала второй частотой /2 так, что он теперь состоит из двух равных узких полос Д /с на частотах /1 и /2 с раз­ ной спектральной плотностью G\ и G2 соответственно (рис. 5.7.16). Рассуждая аналогично первому случаю, находим, что полосы усиления опять должны со­ ответствовать частотным полосам сигнала. Обозначив коэффициент усиления

Выражение (5.7.9) практически уже представляет собой частотную характе­ ристику оптимального фильтра при белом шуме и сигнале произвольной формы (рис. 5.7.15).

Определим импульсную характеристику согласованного фильтра. Из соот­ ношений (4.5.19) и (5.7.5) следует

ОО

«выхМ = ^ J G 2 ( u ) d u = A $ .

—ОО

С учетом того, что G * ( u ) = G ( - u ) , а также соотношений (4.1.19)

( S ( - u ) e x p ( - j u t m ) = F [ s ( t m - t ) } ) и (4.1.27)

оо

(t) = ^- J G(oo) [ G ( - w )e xp ( - ju tm) exp (jcot) dio =

—ОО

оо

= A J s(y)s[y - ( t - t m)]dy = ABa( t - t m). (5.7.12)

Таким образом, сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до

Корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с корреляционной функцией входного сигнала и, следовательно, с выходным сигналом.

Дисперсия (средняя мощность шума) на выходе

Таким образом, отношение пикового значения сигнала sBUx (tm) к средне­ квадратичному значению шума составляет А §/у7A2WQS = \/&]WQ, ч т о , конеч­ но, совпадает со значением (5.7.4), полученным из частотного анализа.

5.7.2. Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса.

Пусть относительная форма сигнала задана функцией времени

Так как К(ш) отличается от спектра сигнала G(u>) только постоянным коэффициентом, то импульсная характеристика согласованного фильтра h(t), определяемая соотношением (4.5.19), совпадает по форме с сигналом

Структурная схема фильтра, согласованного с прямоугольным сигналом, имеет вид, представленный на рис. 5.7.3. Первый множитель 1 /jui реализуется интегрирующим звеном, а второй [1 —ехр(—juiTc)) — устройством вычитания, к которому сигнал попадает без задержки и с задержкой Тс (передаточная функция линии задержки без потерь равна ехр(—ju>Tc)).

Корреляционная функция прямоугольного импульса (5.7.15) имеет вид рав­ нобедренного треугольника с основанием Тс и высотой, равной относительной энергии S импульса, выде-

сигнала). При этом отношение сигнала к среднеквадратичному значению шума согласно (5.7.4) равно \J&/WQ = \/TC/W Q.

Уже в оптимальном фильтре для простейшего прямоугольного видеосигна­ ла появились не простые радиотехнические компоненты: идеальные интегратор и линия задержки. При сигнале с другой формой синтез оптимального филь­ тра значительно усложняется, а в ряде случаев оптимальный фильтр вообще физически не реализуем.

На практике используют квазиоптимальные фильтры из более простых ком­ понентов, подбирая их параметры по тому же критерию — максимальному от­ ношению сигнала к шуму. Часто в качестве квазиоптимального фильтра ис­ пользуют одно или несколько #С-звеньев.

Рассмотрим прохождение прямоугольного видеосигнала через интегрирую­ щую ЛС-цепочку с передаточной функцией К (и>) = 1/(1 + jujRC).

Максимальное значение входного сигнала в этом случае, достигаемое в момент tm = Тс, составляет

При Tc/R C = 1,28 отношение сигнала к шуму достигает максимального значения, равного 0,9y/Tc/Wo. Таким образом, переход от согласованного с сигналом фильтра к квазиоптимальному однозвенному ЯС-фильтру приводит к уменьшению отношения сигнала к шуму всего на 10% При этом отношение сигнала к шуму оказывается некритичным и к настройке ЯС-цепочки: измене­ ние Tc/R C в 4 раза (от 0,64 до 2,56) приводит к дополнительной потере всего

в8%.

5.7.3.Согласованная фильтрация сигнала при небелом шуме. Пере­ даточная функция к (ш) согласованного фильтра определяется в результате приведения заданного спектра шума к белому.

боту устройства так как их результирующая передаточная функция равна единице.

Зададим модуль функции К\ (и>) в виде

где W (ш) — энергетический спектр шума на входе фильтра, WQ — постоянная величина. Теперь на выходе первичного четырехполюсника наблюдается шум с равномерным энергетическим спектром (белый шум)

Wi(bj) = W ( w) Kt (w) = Wo-

Очевидно, что и сигнал на выходе этого четырехполюсника отличается от входного сигнала. Его спектральная плотность

Однако из раздела 5.7.1 следует, что для максимизации отношения сигнала к шуму сохранение формы сигнала не требуется.

Так как на выходе первого четырехполюсника шум белый, то для получения на выходе всего фильтра максимального отношения сигнала к шуму передаточ­ ная функция фильтра согласно (5.7.5) должна быть равна

• ~ \ К (ш) = AG1 (oj)exp(-ju)tm) .

Kiiuj)

Откуда

К(и>) = AG\{UJ) K I (w)exp(—jujtm) = AG* {ш)К{ (u>)exp(-ju>tm) =

= AG*(u)KUu)exp(-ju;tm) = AWQ^~— exp{—j u t m) . (5.7.24)

Физический смысл этого соотношения очевиден. Как и в случае белого шу­ ма, для получения максимального отношения сигнала к шуму фильтр должен обеспечить компенсацию начальных фаз спектра входного сигнала G(u). По­ этому в (5.7.24) входит комплексно-сопряженная функция G* (ш). Однако для усиления тех компонентов спектра сигнала, для которых интенсивность шу­ ма меньше, модуль передаточной функции не только пропорционален модулю G(UJ) (как при белом шуме), но и обратно пропорционален энергетическому спектру шума на входе фильтра.

5.8.Минимально обнаруживаемые оптические сигналы

5.8.1.Ограничение флуктуациями сигнала. Фундаментальное огра­ ничение минимально обнаруживаемой оптической энергии обусловливается квантовой природой излучения: в импульсе оптического сигнала не может быть меньше одного фотона. В идеальном фотоприемнике — счетчике фотонов один фотон преобразуется в один электрон, при этом минимальная площадь

импульса фототока во внешней цепи равна заряду электрона. Соответственно минимально обнаруживаемая энергия импульса не может быть меньше энергии фотона

Здесь размерности [£т т] = Джоуль; [А] = микрон; Si — монохроматическая токовая чувствительность идеального квантового фотоприемника (Si = q/hv).

Конечно, у большей части реальных фотоприемных устройств порого­ вая энергия далека от этого предела: требования, предъявляемые к оптико­ электронной аппаратуре, не позволяют неограниченно уменьшать фоточувствительную площадку, фоновый поток излучения и температуру фотоприемника. Ограничен и выбор элементной базы, а, следовательно, входных шумовых пара­ метров микросхемных предусилителей. Однако в фотоприемных устройствах с малошумящими лавинными фотодиодами, шумы которых в результате внутрен­ него усиления фототока превышают шумы усилителя, в специальных кремние­ вых приборах с зарядовой связью, а также при гетеродинном приеме излучения удается приблизиться к предельному значению и регистрировать если не один, то несколько единиц или десятков квантов.

Столь малые сигналы нельзя уже описывать детерминированными функци­ ями. В силу статистической природы как источников излучения, так и потерь излучения на пути от источника до фотоприемника, оптический сигнал явля­ ется случайным процессом: случайны моменты прихода каждого из фотонов, число фотонов N в импульсе, а, следовательно, и энергия импульса. Как и в любом случайном процессе, параметры конкретного импульса (или реали­ зации) не известны заранее. Могут быть предсказаны лишь статистические характеристики сигнала (прежде всего его средние длительность и мощность).

Случайное отклонение числа фотонов в импульсе от своего среднего зна­

квантов и вероятность пропуска импульсов возрастает (малый сигнал как бы сам мешает себя обнаружить).

Предположим, что фотоны регистрируются идеальным фотоприемником без потерь, при этом не создается дополнительных шумов. Рассмотрим одиночные импульсы со средним числом фотонов в импульсе N Из статистики Пуассона следует, что вероятность реализации импульса с числом фотонов N составляет

В этом случае естественное правило принятия решения «сигнал есть» — это когда фиксируется хотя бы один электрон. Тогда вероятность пропуска сигнала