книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1

равная

—оо —оо

Функция B 3lS2 (г) не изменяется, если вместо упреждения сигнала S2 (t) произвести задержку сигнала si(f). Очевидно, что В3(т) является частным случаем BSIS2(T ), когда si{t) = S2 (t). Однако в отличие от В3(т), взаимно­ корреляционная функция не обязательно является четной относительно т и не обязательно достигает максимума при т = 0.

4.5. Линейные четырехполюсники с постоянными параметрами при воздействии регулярных сигналов [12, 15]

Электрическая цепь, в которой выделены два узла (клеммы) для под­ ключения источника сигнала и еще два — для подключения ее потребителей, называется четырехполюсником. При рассмотрении такой цепи как четы­ рехполюсника обычно не интересуются изменениями напряжений и токов в элементах цепи: четырехполюсник полностью характеризуется соотношениями между напряжениями и токами на его входе и выходе. При этом реакция четырехполюсника зависит от выходного импеданса источника сигнала и от подключенных к выходным клеммам четырехполюсника потребителей.

В этом разделе рассматривается прохождение регулярных сигналов через четырехполюсники, предназначенные для линейного преобразования электри­ ческих сигналов (усиления, фильтрации и так далее).

Преобразование называют линейным, если соответствующий ему оператор

то есть реакция пропорциональна величине воздействия, а реакция на сумму внешних воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельно­ сти. Последнее свойство называют принципом суперпозиции или наложения.

Отметим, что производные любого порядка и интегралы любой кратности, применяемые к функции, также являются линейными преобразованиями этой функции. Ведь в предыдущем разделе было показано, что взятие производ­ ной равносильно умножению спектральной функции на С = ju , а интегриро­ вание — на С = 1Цш.

Электрические цепи, включающие линейные элементы с постоянными во времени параметрами, описываются линейными дифференциальными уравне­ ниями с постоянными коэффициентами. В таких цепях не происходит преоб­ разование спектра сигналов (в спектре выходного сигнала щ {£) не появляются частоты, отсутствующие в спектре входного сигнала u\(t) — при прохожде­

нии через цепь меняются лишь амплитуды и фазы гармоник, содержащихся в ui (*)).

Нелинейные и параметрические электрические цепи (в последних парамет­ ры элементов изменяются со временем) требуют отдельного рассмотрения. Од­ нако существует значительное число нелинейных систем, допускающих лине­ аризацию. Так, одной из основных задач фоточувствительных приборов явля­ ется регистрация предельно слабых сигналов. Очевидно, что в этих случаях приемная система линеаризуется.

Далее рассматриваются только электрические цепи с сосредоточенными па­ раметрами, волновыми процессами в которых можно пренебречь. Имеющиеся в цепях устройства с распределенными параметрами учитываются в простейшем виде звена запаздывания.

Применение нашли следующие методы математического исследования ли­ нейных электрических цепей, основанные на использовании принципа супер­ позиции:

классический метод решения дифференциальных уравнений (используется для простейших цепей, описываемых уравнениями не выше второго порядка);

частотный (преобразование Фурье) и операционный (преобразование Ла­ пласа) методы, основанные на спектральном представлении сигнала. Здесь ре­ шение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф­ фициентами для оригиналов функций заменяется решением соответствующей системы алгебраических уравнений для их изображений;

метод интеграла наложения Дюамеля, основанный на представлении сигна­ ла в виде суммы импульсов (или скачков).

Далее рассмотрены методы интеграла наложения и частотный метод.

4.5.1.Импульсная характеристика четырехполюсника. В соответствии

с(4.2.3) функция щ (t) на входе четырехполюсника может быть представлена

ввиде

Таким образом, входное колебание щ (t) можно рассматривать как бес­ конечную последовательность смещенных во времени дельта-импульсов, умно­ женных на значение этого колебания в моменты, соответствующие смещениям. Но так как к линейной системе применим принцип суперпозиции (наложения), то, определив реакцию четырехполюсника на воздействие дельта-импульса, можно определить его реакцию на любое воздействие щ (t). Поэтому будем характеризовать четырехполюсник его выходной реакцией h(t) на воздействие в виде дельта-импульса S(t)

Функцию h(t) называют импульсной характеристикой или импульсным от­ кликом четырехполюсника. Так как параметры четырехполюсника не меняются

со временем, то форма h(t) не зависит от того, в какой момент воздействовал импульс: если ui(t) = 6(t — T) — импульс запаздывает, то U2 {t) = h(t —т). При этом импульсный отклик четырехполюсника до момента воздействия им­ пульса, очевидно, равен нулю (следствие не может опережать вызвавшую его причину):

Соотношение (4.5.2) называется условием физической осуществимости че­ тырехполюсника.

Так как входное воздействие и\ (t) представляет собой сумму (точнее инте­ грал) дельта-импульсов, а реакция четырехполюсника на каждый из них равна по определению h(t), то ре­

акция на щ (t) выражается в виде интегралов

и2 (t) =

= JОО u\(r)h(t — т)йт =

сигнал на выходе линейной цепи является сверткой входного сигнала ui(t) с импульсной характеристикой цепи h(t).

На рис. 4.5.1а-г показан порядок операций, которые необходимо проделать для получения и2(t) в некоторый момент t в соответствии с первым интегралом в соотношении (4.5.3). На рис. 4.5.1а,б приведены графики входного колебания u i(r) и импульсного отклика цепи h(r). На рис. 4.5.1в показан график h ( - r),

а на рис. 4.5.\г график h(t — т) в произвольный момент t. Для получения u,2 {t) необходимо проинтегрировать произведение кривых u i(r) и h(t — т).

Видно, что реально интегрирование производится от т = —оо (если импульс появился бесконечно давно) до т = t. Если входное воздействие началось при t = 0, то интегрирование происходит в пределах от 0 до t.

На основании (4.5.3) импульсному отклику можно придать следующий смысл: h(t — т) есть весовая функция, на которую должна быть умножена ордината щ (t) для того, чтобы определить ее вклад в значение выходного ко­ лебания U2 (t) в рассматриваемый момент t.

Иногда функцию h(—r ) называют функцией памяти четырехполюсника и обозначают h ( —r) = т(т), тогда его выходной сигнал представляется взаимной корреляционной функцией входного сигнала и функции памяти:

— ОО

Очевидно, что в реальных электронных схемах память ограничена во вре­ мени и интеграл

о

Это неравенство называют условием устойчивости системы.

Импульсная характеристика особенно удобна для расчета реакции на корот­ кий входной импульс. Выходная реакция цепи в момент времени t на короткий импульс длительности tn, пришедший на ее вход при t = 0, согласно (4.2.3) составляет

tn

и2(t)- J tti (т) h (t — т) dr ~ h(t — 9) J u \ (T ) CLT = h(t — 9)S ~ h(t)S, (4.5.6)

о

где 9 < tn и S — площадь входного импульса. Таким образом, при подаче на вход четырехполюсника импульса малой длительности по сравнению с т вы­ ходной сигнал зависит от площади импульса, а не от его формы (аналогично G(UJ) в спектре импульса). Это и понятно: такой короткий импульс по суще­ ству сам является тестовым, точнее, отличается от дельта-импульса только площадью. Если площадь дельта-импульса по определению равна единице, то площадь реального короткого импульса равна S. Поэтому и выходной сигнал системы составляет не h(t), a h(t)S.

4.5.2. Переходная характеристика четырехполюсника. Входное воздей­ ствие щ (t) четырехполюсника можно представить не только в виде бесконеч­ ной последовательности дельта-импульсов, но и в виде бесконечной последо­ вательности скачков напряжения разной величины, возникающих в различные

приобретает вид д (<) = 0, если t < 0. В соответствии с принципом суперпозиции

Функция g(t) может быть представлена в виде, аналогичном (4.5.7):

t

9{t) = 9 (0) 1 (<) + J д' (т) 1 (t - т) dr =

о

t

= д(о) 1 (t) + J д' ( t - т ) 1 (т) dr. (4.5.9)

о

При этом и2(t) выражается следующим образом:

t

u2(t) = ui (t)g(0) + J иi (r)g'(t - r)dr =

о

t

= Щ(t) g (0) + J ui (t - т) g' (r) dr. (4.5.10)

о

Такой же результат получается при интегрировании по частям выражения (4.5.8).

Так как импульсный отклик h (t) и переходная характеристика д (t) описы­ вают одни и те же физические процессы, то между ними существует однознач­

t

Соответственно g (t) = / h (t) dt.

о

Преимуществом расчетов с помощью переходной характеристики h(t) яв­ ляется большая физическая наглядность скачка напряжения по сравнению с дельта-импульсом. Очень удобна переходная характеристика для определения реакции системы на прямоугольный импульс и на ступенчатые воздействия. Ведь прямоугольный импульс является суммой двух скачков, положительного, например, при t = —ги/ 2 и отрицательного при t = ти/ 2. Поэтому и выходная реакция есть сумма двух переходных характеристик, сдвинутых друг относи­ тельно друга на время тн. Однако использование импульсного отклика обычно приводит к более простым вычислениям.

Представление входного сигнала щ (t) интегралом

заменяет действие на систему произвольного входного сигнала действием сум­ мы гармонических сигналов. Вследствие применимости к линейной системе принципа суперпозиции получается, что реакция системы на произвольный сигнал может быть определена, если известна ее реакция на входной сигнал

ввиде гармонического колебания. Гармоническое колебание в частотном мето­ де играет роль стандартного сигнала, подобно единичной импульсной функции

вметоде интеграла свертки. При разложении входного сигнала с помощью дельта-функций S (t — т) и ступенчатых функций 1 (t —т)переменной служил момент воздействия этих функций т. При разложении сигнала с помощью гар­ монических функций переменной служит частота гармоники — круговая ш или циклическая /

Таким образом, метод спектральных функций для расчета четырехполюс­ ников включает следующие действия: определяется спектральная функция за­ данного входного воздействия Gi(u;), определяется коэффициент передачи че­ тырехполюсника К(ш) (например, по формуле (4.5.13)), перемножением Gi(a;) на К (ш) вычисляется спектральная функция <?2 (ш) выходной реакции и, на­ конец, с помощью обратного преобразования Фурье — формулы (4.5.16) — определяется реакция четырехполюсника U2 (t).

Из уравнения (4.5.15)

В соответствии с (4.5.14) комплексная амплитуда любой гармонической со­ ставляющей периодической последовательности импульсов выражается через спектральную функцию одиночного импульса:

= |й « , ( k j r ) , Uu = | б „ ( к Щ

Подставляя GU2 и GUl из этих соотношений в (4.5.21) и отбросив индекс к, получим

При гармоническом воздействии коэффициент передачи равен отношению комплексных амплитуд на выходе и входе четырехполюсника. Модуль Коэф­ фициента передачи К(и>) = \U2 \/\Ui\ называют амплитудно-частотной переда­ точной характеристикой четырехполюсника. Аргумент коэффициента передачи 0 = <Р2 —<Ръ равный сдвигу начальных фаз выходного и входного гармони­