книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1

При £2 = h двумерная случайная величина х\Х2 вырождается в одномерную величину х\ = х 2 — представляет собой просто средний квадрат:

Ясно, что исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного про­ цесса является n -мерная плотность вероятности при больших п (в пределе бес­ конечномерная при п —>оо, если бы такие функции существовали). Однако опе­ рации с многомерными распределениями произвольного вида встречают значи­ тельные трудности. К счастью, большое число задач, связанных со случайными процессами, удается решить с использованием двумерной плотности вероятно­ сти. Более того, для так называемых случайных колебаний без последействий, например, одномерных Марковских случайных процессов (когда вероятность того, что случайная функция в конце интервала времени примет некоторое зна­ чение, зависит только от ее значения в начале интервала и его продолжитель­ ности), многомерный закон распределения полностью определяется двумерным.

Исследование случайного процесса, а также реакции на случайный процесс различных устройств существенно упрощается при его стационарности. Слу­ чайный процесс называется строго стационарным (или «стационарным в узком смысле»), если его многомерная плотность вероятности p (x i,ti\хъМ', ■■■xn,tn)

зависит только от интервалов <2 - t i ; *з - h; ... tn - t\ и не зависит от поло­ жения этих интервалов в области изменения аргумента t.

Во многих приложениях теории случайных процессов условие стационарно­ сти ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности (такой случайный процесс называется «стационарным в широком смысле»). В этом случае автокорреляционная функ­ ция зависит опять не от самых моментов времени t\ и t2, а только от интерва­ ла между ними T = t2 ~ t\. Для стационарных процессов (в узком и широком смысле) выражения (5.1.4)—(5.1.6) и (5.1.9) можно записать без обозначения фиксированных моментов времени:

ОО

(5.1.11)

—ОО

ОО

(5.1.12)

— ОО

(5.1.13)

ОООО

(5.1.14)

Определим корреляционную функцию алгебраической суммы двух случай­ ных процессов X (t) и F (i) с нулевыми средними (ж = у = 0): s(t) = x ( t ) ±

=*=2/(*)• Из соотношения (5.1.18)

В3(т) = s(t)s(t + т) = [x(t) ±y{t)\ [x(t + т) ± y(t + т)] =

= x(t)x (t + т) ± x ( t ) y ( t + r) ± y ( t ) x ( t + т) + y(t)y(t + T) =

Если процессы X (t) и Y (t) независимы, то дисперсия (средняя мощность)

может быть больше или меньше суммы дисперсий. Так для двух совпадающих (полностью коррелированных) процессов X (t) = Y (t) флуктуации в каждый момент складываются и а3 = 4ах = 4сгу.

5.1.2. Спектральная плотность мощности (энергетический спектр) случайного процесса. Обозначим через Gxw(u>) спектральную функцию и- реализации x„(t) с продолжительностью Тр стационарного центрированного случайного процесса X(t).

Для нахождения спектральных характеристик случайного процесса X (t) осуществим операцию, обратную переходу от спектра периодического колеба­ ния к спектру импульсного сигнала. Нарастим ^-реализацию большим числом N —►оо других реализаций с такой же длительностью. При этом спектральная функция Gx (ш) случайного процесса X (t) усредняется по реализациям:

Достаточно поменять порядок суммирования и интегрирования в этом со­ отношении, чтобы убедиться, что среднее значение или спектральная функция Gx (ш) такого процесса равна неинформативному нулю:

Пределы интегрирования можно сделать бесконечными, так как вне интервала [-Гр/2, Гр/2] х „(f) = 0; кроме того, для центрированного процесса xu (t) = 0.

Если бы ^-реализация наращивалась во времени ее периодическим повто­ рением, то в результате получился бы линейчатый спектр с амплитудами

Gx (ч>) = Gx (ч^п) = ЧтгСр­ одна ко в случае усреднения разных реализаций

Gx (ч>) —Gxu(j-^) —dnTp —I^n.|бхр (jipnjTp —|an| exp (j(pn)Tp —0.

Так как амплитуды и фазы в разных реализациях не коррелированы, то |dn|exp(j</?) = |an| - exp(j<pn) — среднее от произведения равно произведению средних.

Гармоники с одинаковой частотой в спектрах разных реализаций стационар­ ного случайного процесса хаотически сдвинуты во времени друг относительно друга, поэтому их фазы равномерно распределены в интервале [0,27г]. Это об­ стоятельство и обуславливает нулевой результат усреднения: exp[jV„] = 0.

Тем не менее, спектральный анализ широко используется для исследования флуктуирующих величин. Шумы можно охарактеризовать спектральной плот­ ностью среднего квадрата их величины (средней мощностью, выделяемой на нагрузке 1 Ом), поскольку величина среднего квадрата не зависит от соотноше­ ния фаз суммируемых гармоник. Спектральную плотность средней мощности (средняя мощность на заданной частоте, приходящаяся на полосу частот 1 Гц), имеющую размерность энергии [Вт/Гц = Вт • с = Дж], называют также энер­ гетическим спектром случайного процесса.

Отметим, что локализуемость по частоте для средних билинейных величин (именно к ним относится и спектральная плотность шумов) является замеча­ тельным свойством, присущим только стационарным случайным процессам.

Энергия любой из реализаций x v {t) с конечной длительностью Тр стацио­ нарного процесса X (t) выражается через модуль спектральной функции этой реализации Gxv{u) — уравнение (4.1.33):

-Tp/2

Здесь GXu (ч>) /Г р — спектральная плотность средней мощности ^-реализации с продолжительностью Тр.

При этом из (4.1.29) следует, что

гР/ 2

/x u(t - r)exp(-ju>t)dt = Gxu(u>)exp(—j u r ) .

-r P/2

Подставим эти соотношения в (4.1.29):

Разделив обе части полученного уравнения на Гр и и произведя усреднение по реализациям, получим

Гр/ 2 Т р /2

—OO

Таким образом, автокорреляционная функция находится обратным преобра­ зованием Фурье спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса.

Прямое преобразование Фурье автокорреляционной функции приводит оче­ видно, к спектральной плотности мощности

— ОО

Уравнения (5.1.28) и (5.1.29) представляют собой математическую запись теоремы Винера-Хинчина.

На частотах / < Д, где R\ (т) ~ 1, влияние широкополосного фильтра ниж­ них частот на шумы несущественно, шум остается некоррелированным и име­ ет белый спектр. В таких случаях можно без значительной ошибки заме­ нить реальный шум, обладающий малым временем корреляции, на дельтакоррелированный шум.

Вычислим корреляционную функцию шума, спектр которого обозначен на рис. 5.1.2 двойной штриховкой. От шума в узкой полосе |ш| < этот случай отличается положением спектральной полосы на оси частот. Шум с подобным спектром называется узкополосным.

Огибающая функции R3(т) — штриховая линия на рис. 5.1.36 имеет вдвое большую протяженность, чем /?2 (т), а частота высокочастотного заполнения R3(т) равняется центральной частоте спектра шума и>о.

Примерный вид реализации узкополосного шума приведен на рис. 5.1.4. Шумовые колебания происходят в среднем с частотой а>о> ПРИ этом огибающая

Р и с . 5.1.4. Реализация случайного процесса, корреляционная функция которого показана на рис. 5.1.36 (масштабы по осям t и т разные) [15]

шума изменяется со временем сравнительно медленно — подобно шумовому процессу с наивысшей частотой Пь

5.2.Примеры случайных процессов

5.2.1.Биномиальный процесс. К биномиальному распределению приводит решение задачи Бернулли. Постановка этой задачи излагается следующим образом. Проводится m независимых испытаний, при каждом из которых происходит одно из противоположных событий: А (вероятность его появления