книги / Пространственная модель турбулентного обмена

При о = 0,5 -г 1,0 схема

(1,8Г) абсолютно устойчива

(см., |гапример,

[2,

3 0 ]), т.с. итерационный

процесс сходится. Можно

сказать, что при

о=

1,0 схема (1.8) имеет "двукратный" запас устойчивости.

Ос уравнении

(1.8) в

соотнстсгини с (1.7) перейдем

к следующему:

(7льЛд ♦•СдКр1 - 0 ° )

а

- 7 1кЛ ц19°)*уНей кш

(1.9)

где

с - дока нронэиопьная матрица.

Эю уравнение, как нетрудно заметить, тождественно урапнени

(Т« л (к 4 <7ь) {'Р1) = У(к Л* ♦ См (V»0)

(1 -9')

(см. работы (4, 6]

и д р .).

ния (1.9) шит (1 .9'), выберем матрицы Г и С такими, чтобы

(П4

д К = ДЯК,

(1.10)

где Я

л Л -

матрицы более простые, чем А, с единичными элементами

на главной диагонали, V - произвольный вектор.

Имея в виду

уноминапиишея запас устойчивости

схемы

(1.8') при

а - 1,0, можно

надеяться, что При малой норме матрицы С по сравнению

с нормой матрицы ГЛ итерационный процесс

/?$(Ф(Я) _ ф<" - 1>) =

ГР -

ГА Ф(№- 1 \

(1.11)

или

/?$«!><"> =

ГЛЧСФ*"- 0 ,

(1-11')

будет сходиться.

Краме того,

дня усиления

устойчивости

итерационного процесса (1.9)

в линейную функцию с^(о)

всегда

можно

включить

регулярнэатор

0,* (и) типа

с{ки^ - л 1а(Ди)/*. Итак, в

развитие идей (2.9), (2.10) гл. 3,

(1.5)

или (1.9), (1.10) линейную функцию

г/д (и) представим в виде

= Оп(р) + Нн(ь) + (}н(р).

(1.12)

где С/*(<р) -

некоторая

линейная функция,

не

содержащая

компонент

линейной формы /4,*(ц); //м (в) служит для

компенсации

итерируемого

выражения и может содержать только

компоненты

линейной

формы

А)[*(о);

б]*(о)

— регулярнзатор, который может

состоять

лишь

из КОМ*

ноиенг лннеГшой формы

Как

и в

[4,

6], при

практической

реализации

этой идеи

струкзура

матриц Я и 5

задастей, а матрица О получается. Указанное выше требо*

наннс,

наложенное

на 2>, позволяет связать /> с Я ы

5.

А далее, после

выбора

матриц

//

и

условие (1.10)

позволит

связать Я, $

и Г с А-

Матрицы Я н 5 могут

выбираться произвольно. От их выбора будет за­

цесса (1.9).

Для; обобщения схемы

(1.11) в правую часть уравнении (1.1 ]) мож­

но внести релаксационным

параметр тп. Если же в итерационном процес­

его лучше использовать в виде (1.11) или, с учетом

(1.12),

/ЫФ(Я) =

+

+

(1-13)

Из соотношения

(2 8) с учетом (2.7)

получаем формулу

для

. Если

г,-л принять нс зависящим от а{к, то

71* (РГА + 0 -

* 0 |- 1.кТ'<Чк(Ък - И -

I.* -

Ь -

|,Аг)1 я

1 ~

С2-9)

Если ЖС принять

т{к = Г(М^ 1к ,1 0

7 « 1 Р4к + ( К ^ - |. а) ' ,^ * (Л ’Дс +^А: +®ЛО.-_1,Я

“

*Г-

=

*■

(2-Ю )

А* + 8га +

< 1 -

(2 . 1 1 )

Действительно, из соотношений (2.8) и (2.7) получаем

I “ Г,* ■

СГ,*(1 -К О |_

| .*)

1,к - а(кЬ~ I,*

+

+ (I

- г,*) 0?,* + «,* + Ь а) + 7г*%* + сл *Лк,

или

(1

-

Г(к ) ^1 -

0 /*

- 5 ^

- € « )

” “ г * О - А - 1 ,к - 6 | _

1 ,1 с -

I , * ) +

+

7 ,•* -< & * + е № в ] * ,

<2 , 2 >

<?йк

= Рг* - 0,А -

А* “ <7* -

4* . <?/* > 0 .

Из соотношения (2.12) следует неравенство (2.11).

На основании

(2.12)

можно записать теперь более жесткую оценку для

коэффициентов А*->А* и \{к:

Е (к = А*

+ $!* + (> ~ тГЛ-)1 (7н<?/к +.*!**?*) <

).

(2-13)

С использованием (2.7) и (2.13) получаем оценку

(1

~ Гд)ДЦ_____________

(2.14)

(Ьль +

+ ^1А + <г№)■*■*«««

где а№ = (I - ка*_|.*)"1в№*

слагаемое ег* сг/к р[к в

Согласно

формуле (2.14)

неявной схеме ( 2 .1 )

существенно

прежде всего на правой границе рассматриваемой о б л ает в

циентов

7(к И €н МОЖНО

составлять ИЗ коэффициентов0Г-1,*| 8/

- 1 ,*|

^ Если в рсгуляриэаторс

вида (2 .6) принять тл

= ч« д , где 0

<*?<

< 1 ,то оценка (2.14) переиншеген следующим образом:

ап. <

--------------------------- --------------.

(2.15)

при т = 1?«|* являются к » ), 6 е 0, т? = 0^-з-0,7, 0 < е1к

- •

ладание. А излишнее диагональное преобладание в регупяри заторе

(?г*(р)в принципе приводит к замедлению итерационного

процесса.

Поэтому имеет смысл рассмотреть другой вариант регуляризатора

в

схеме (2 .1).

Примем

0/*(р) = г 1к №к(йМг —<Р1.к- 1) *

- &1,к* I )1 *

+ Ц|к$Гк(|А* + Ф И 1.к) + €Г*в /кРНг»

(2 .17>

где

<

Тц < I . Тогда коэффициенты о д , 0Л , б,*,

будут вы-

числиться по формулам

ог/дД! - к о , _ 1)к)

= у,*о,л.

Рт* 0

~^Лг) = УГкЬк*

Л л (1

-Т /* ) *=

ЬкИ ~ь>нс) =

Коэффициент

вычисляется из соотношения

1

= 7ГкР1к

-0 < * 1 к О 1 -1 .к

+ Ъ М+ Шк

+ Ынйд

которое может быть лрсобразовано к лиду

Уп I Р1к + г<к

Ьн + й(к

*ы{к

С1к

1

- г №

I - Ш к

'\р

+ {1

=

I.

(2 .1?)

Для коэффициентов #1к ,ЬГк,

, От** о этом случае получаем неравенства

Е/>

=

+

+

+«/*<*»* <

I.

( 2 .20)

ап|

<

------------------------------------

-----------

%с<к--------------------*

—

( 2-2 1 )

( 1 -

* 7 к )

4 * 7 *

+ ( I

-

+

*ТЛг * /к

В выражении (2.17) удобно принять

тг*

=

соли

=

>1,

<о,А =

сонет = ц>.

ний коэффициент сходимости X, определяемый

по

(2.31)» на послед­

них (2.7) итерациях состппинет 0,58 на сетке с ш

X г

= 23 X 23 и 0,60 -

на сетке с гл Хг= 35 X 35.

спективных направлений

слсцуст

признать

нсслсдопанис

итерационных

схем с

рогуляризагорэм

на Базе

операторов Г - ,Л5\ более

близких к

исходному оператору А, чем в схемах (3.3) или

(2.231

(ем., например,

схему (55) мз работы 151),

Заметим теперь, что пространственная счетная

неустойчивость

может

возникнутьи при решении одномерного уравнения

1 +Р№ - с г I

= /т

(2-12)

по схеме

2т =

СОД- I +Тт//.

(2-33)

=

Бг^ГМ

где ТТА“ (Рг - ^1-1)"'.

- т п ъ ,

Действительно, если й} > с „

то коэффиииенты а§ могут оказаться большими

единицы. Эта

счетная

неустойчивость легко ликвидируется при решении

уравнения

(2.32) ме­

тодом

негодной факторизации, а именно путем

введения

в

уравне­

ние (2.32) регуляриэатораО типа (2.17):

О М

=

- V /. |) + ^отрРг-

(2 34)

Неравенство типа (2.21) п этом случае будет иметь вид

а г <

------------- р --------------- ,

1 = 1 ......... N.

(2.35)

(I - ш г)

+ ад* о д

□оэоращансь снова к системе (2.16), отмстим,

что

рекуррентная

структура формул

для у,*, а Гк, «л . $*,

типа

(2.17")-<2.19) легко

Схемы

(2.1), (2.6) и (2.1),

(2.17) можно |>ассмагринагъ как схему (2 .1)

при 0 =

I с добавлением в уравноше дин Г д

регулярнэатора, состав­

ленного

из компонент линейкой формы АдвО-

Согласно проведенным

экспериментам итерационная

схема (2 .1 ), (2.17) имеет несколько боль­

*]* =

-

р/д,2 г<к_ ,

- УIX^

+ Нгк(ф) + (!<к(р)>

Як

1г*^+М -

бГЛгУ».Ы-1

= 2;*.

( I

♦ « I* ^1— I ,*

4 А * ® / , * - 1 ) Л *

-

*4 к ЙГ- I .«г - Л * Ю.Аг - 1 “ ?МгР/* 1 .* -

-

&М^С,Лс«-1 +

1,4+ 1

+ А*$Г,к-1 0 |Ч| л - 1 =

а

У}к^1к{Ф\ +

4

4-

(3.2)

Г<к Г Р л + О -

1 Г * Л/а (Г№ + V -

1 ,* - Ь - I . * ) *

+ 0 - к ^ * _ , ) ' ' ♦ п - Щ к - 1 - Яи - | ) И К

<3,в>

получим

°г*(1

-

®Г- 1 ,к) = 7««ГА.

$1* = О + * « )ЪкС1к,

0ГЛ с

О + '7*)7г*&ГА + ^ аР]- 1.А&Г-1 . к - I»

-- (1 + г1*)Тйс<*« + ®№81-м4г-1,*+||

(4 . 5 )

Т

л [ р ^

+

П к ( Ь , к

*

Л л

)

4 а ( к е ь

+

(1 -

о { .

, Л ) -1 <г,к {еГк

- 5г_ , , к)|

=

1,

ГДР

0 | *

-

А

- !

*

&

/ , * - ! ) *

б Л

( р ^ к + ,

+

5 , ( Л + 1 ) .

О п ти м альн ы м и

значениям и парам етров

г { к ,

х ^ ,

л

схем е

( 4 Л )

я в ­

ля ю тся

Г{х = 2-?-3,

5{к

**

0,2 ,

е л

=

0 .

(4 . 6 )

Итерационны й

проц есс

(4 . 1 )

-

более

б ы стри н ,

чем

( 2 . 1 ) . ЕСром е того,

х ар ак т е р затухан и я о ш и б к и здесь б о ле е г л й д к ш и

О б об щ ен и ем

и

синтезом схем

(3 . 1 ) и

(4 . 1 )

я илист ся

сх ем а

неполном

ф актори зац и и с п ро гон к о й

в ди агон альн ом н аправлени и

на ортогон альн ой

сетке.

Явная

схем а

неп олн ой

ф актори зац и и

(3 . 1 )

и м еет и тери руем ое

иы ра.

жение вида

Я « (У > )

=

I ,кйг_ 1, А4 I

+

к к Ъ

, к -

1 Й + 1 . к +1 •

(4 . 7 )

Т ак и м о б р а з о м ,

итерируем ое

вы раж ение

им еет

п о р я д о к

а 3 . И з

ст р ук ­

туры п ервою - уравнения

системы (3 . 1 )

в и д н о,

что если п о

в сп о м ога ­

тельную

ф у н к ц и ю

г ! к

вклю чить

члены

( - о /к«5г_ , ьу?г _

+ , )

и

( _ Р п к $ Г .А - 14^+1 , е - 1 )| * °

иЭ

и тери руем ого

выражения ^ ^ к ( $ )

члены с

У ( - 1 ,»+ |

и Ф п -1 .к -1 . вы падаю т, а появляю тся как и е-то

о рути е слагаем ы е,

п ричем

с

м еньш им и коэф ф и ц и ен там и . Р еализация этой

идеи дает схем у с

д и агон альн ой л рогом к о н :

*/* = <Чк*1-1,к + Д/Аг/,А-1

+

У1кГ(к

+ А * (^ _1) +

+ ^ «

( ^ - , ) + 0

а( / - ' ) .

(4.8)

т

$№ &1,к

-

1

-

ЫкЧ?1- 1.А+1

-

1' л Л

| 1* - 1

“ 27к'

(4 . 9 )

И ск лю ч ая

г 1 к ,

г { , к ~ , н э

урав н ен и я (4 . 8 )

с п ом ощ ью

(4 . 9 ), п о л у ­

чим у равн ен и е:

ЙГА -

-

®ТкЛ.*+1

-

Л к Л -Ц г +1 - * '« Л 4 |,А _ |-

ог/л(чЛ‘—X„А

“

— ^1- 1 ,* ^ /- 1.А+1

—Д^г-I ,А^/-а,А+»-

-

“

(4.Ю)

“

^* -|9У + 1,*-1 - 5 г,А-1ЛА -М ,к -§ М -1 гк

~

* > ,А - 1 ^ 4 1 , А - з ) -

&1к(Ч>) “

Н [ к (V»)

-

2<*(Ч>)

“

7 / *Л * -

О н о д о л ж н о быть эк в и в ален тн о и сх о д н о м у уравнению (1 . 3 )

гл . 1.

С о п ос т ав ля я

к оэф ф ициенты

при

соответствую щ их

значениях

в

(4 ,1 0 )

и

в

(1 . 3 )

пт.

I ,

п о луч и м вы раж ен и е

д л я

Л ;*(</>)

к ф о р м у лы

д л я

к оэф ф и ц и ен т ов ф а к т о р и зов а н н ой систем ы

( 4 . 8 ) ,

( 4 . 9 ) .