книги / Линейная алгебра
..pdfвсеми переменными в уравнении (10.31), приведем это уравнение к виду
гп
^ А ,Х ? |
+ 2 |
a'jXj + 6 = 0, 0 < г < п. |
(10.32) |
•=1 |
;=г+1 |
|
|
Рассмотрим возможные случаи относительно коэффициентов а'•в уравнении (10.32).
Бели все а'- = 0, то имеем приведенное уравнение квадрики в Еп nepBioro рода
г
^ А ^ ? + Ь = 0. |
(10.33) |
»= 1 |
|
Если среди коэффициентов а'- в уравнении (10.32) есть отличные от нуля, то полагая
zi = Х и
|
zr |
= |
|
X r |
|
i |
zr+1 |
|
S,=r+1 a'jX)^2 |
(10.34) |
|
|
■\/°г+12+ - + в{.2 ’ |
||||
|
zr+ 2 |
— |
|
||
|
Тг+2 ,1 - ^ 1 |
+ •••+ 7 г+2 ,п-^П) |
|||
k |
Zfl |
— |
7 »,1 * 1 |
+ •••Н“ |
f |
уравнение (10.32) приведем к виду
г
Aizf - 2pzr+i = 0, |
(10.35) |
»=i
где р = У < +12 + ... + а'п2.
Уравнение (10.35) называют приведенным уравнением квадрики второго рода в Еп.
В формулах (10.34) преобразования прямоугольных координат ко эффициенты тijyi = г 4- 2, n, j = 1, п, выбирают так, чтобы матрица этого преобразования координат была ортогональной. Это равно сильно дополнению ортонормированной системы n-мерных векторов-
формы является матрица |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
0 |
0 |
0 \ |
|
А - |
0 |
|
5 |
4 |
- 2 |
|
0 |
|
4 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
- |
2 |
2 |
8 |
/ |
Ее характеристический многочлен |А— А£| = А(А — 9)3 имеет корни Ai = Аз = Аз = 9, А4 = 0. При каждом А,- будем строить ФСР систем уравнений (А — AiE )X = 0 и ортонормировать их.
При А,- = 9 эта система имеет вид
—4хг |
+ |
4®з |
— |
2хз |
= |
0, |
4а?2 |
— |
4хз |
+ |
2хз |
= |
0, |
I —2x2 |
+ |
2хз |
— |
хз |
= |
0. |
Ее общее решение X = (xi, хг, хз, —2хг + 2хз)т имеет три свободных неизвестных. Поэтому ФСР состоит из трех решении, например, из решений
bi = (1, о, 0, 0)т , Ь2 = (0, 1, 2, 2)т , 63 = (о, 2, 1, -2)т
Так как векторы fa, 62» fa выбраны ортогональными друг к другу, то остается лишь их нормировать. После нормирования получим век торы
ei = (1, 0, 0, 0)т , |
е2 =§(0, |
1, 2, 2)т , |
е3 =§(0, 2, 1, - 2 )т |
||||
При А,- = 0 система (А —А{Е)Х = 0 имеет вид |
|
||||||
[ 9 ц |
Ьх2 |
+ |
4*з |
— |
2 ц |
= |
0, |
|
0, |
||||||
— |
4*2 |
+ |
5*з |
+ |
2*4 |
= |
0, |
2*2 |
+ |
2*з + |
8*4 |
= |
0. |
||
Ее общее решение X = |
(0, 2* 4, —2*4, *4)т имеет одно свободное |
||||||
неизвестное. Поэтому ФСР состоит из одного решения, например, из решения 64 = (0, 2, —2, 1)т Нормируя его, получаем вектор =
=|(0, 2, -2, 1)т
Из столбцов координат векторов ei, ег, ез, |
составим матрицу |
|||||
|
3 |
0 |
0 |
0 |
\ |
|
Q =\ |
0 |
1 |
2 |
2 |
|
|
0 |
2 |
1 |
- 2 |
|
|
|
|
|
2 |
- 1 |
2 |
У |
|
и по ней выпишем преобразование координат
{ |
*1 |
= |
2/1, |
|
|
х2 |
= |
Ь(У2 |
+2^/3 |
+ 22/4), |
|
|
|
= |
о(22/2 |
+2/з |
- 22/4), |
|
S4 |
= |
|(22/2 |
-22/3 |
+у4). |
При этом преобразовании координат рассматриваемая квадратичная форма приводится к каноническому виду 9у2 + 9у%+ 9у§, а все урав нение квадрики - к виду
9у2 |
+ |
9у2 + 92/| + I82/1 — 18(2/2 + 2уз + ^Уа) + |
|
или, что то же самое, к виду |
18(22/2 - 2уз + 2/4) + 207 = О |
||
|
+ |
18(22/2 + 2/з - 22/4) - |
|
92/I |
+ $У2 + 9у | + I82/1 — |
I82/2 + I82/3 —902/4 + 207 = 0. |
|
В полученном уравнении квадрики выделим полные квадраты по у\, 2/2, 2/1- Уравнение квадрики при этом примет вид
9(2/1 + |
I)2 + 9(2/2 - |
I)2 + 9(2/3 + I)2 - 902/4 + 180 = |
0. |
|||
Теперь совершим преобразование координат по формулам *1 = |
||||||
= 2/1 + 1, *2 = 2/2- 1, *3 = Уз+ 1, |
*4 = У4 ИЛИ У1 = *1 - 1, |
У2 = *2 + 1, |
||||
2/з = 2г3 — 1, |
2/4 — *4- |
Тогда уравнение квадрики преобразуется в |
||||
уравнение |
9z\ + 9z\ + 9z\ - |
2(45*4 - |
90) = 0. |
|
||
|
|
|||||
Далее совершим преобразование координат по формулам |
|
|||||
v |
v |
|
v |
v |
4 5 * 4 - 9 0 |
|
Ai = *i, |
А2 = *2, |
Аз = *3, А4 = —^ = = — = * 4 - * |
||||
ИЛИ *1 = X i , *2 — -Х2, |
*3 = Х з у *4 = -Х4 + 2. |
|
||||
В новых координатах рассматриваемая квадрика имеет уравнение
|
9Х\ + 9Xl + 9X1 - |
2 •45X4 = 0 |
||
или |
2 |
V2 |
V2 |
|
|
1 |
Ло |
Ло |
= 2X4 = 0. |
|
-ХГ - + |
-Г - + |
-Г - |
|
Это уравнение показывает, что в Е4 рассматриваемая квадрика явля ется эллиптическим параболоидом.
Результирующее преобразование прямоугольных координат опре деляется формулами
*1 |
= |
J/1 = *i + 1 = х х + 1 , |
|
|
|
*2 |
= |
^(г/2 + 2уа + 2г/4) = i ( z 2 + |
2z3 + 2z4 |
- 1) |
= |
|
= |
±(X 2 + 2X3 + 2X4) + l, |
|
|
|
*з |
= |
|(2y2 + Уз - 2у4) = ^(2z2 + z3 - 2z4 + 1) = |
|||
|
= |
J (2X2 + X3 - 2 X 4) - 1 , |
|
|
|
*4 |
= |
i(2 У2 - 2 y 3 + y4) = i(2 z 2 - |
2z3 + z4 |
+ 4) |
= |
=i(2 X 2 - 2 X 3 + X 4) + 2.
Поэтому новая система координат (O', е^, е^, е'3) еА) имеет начало 0 '( 1, 1, —1, 2) и координатные векторы
е; = ( 1 , О, О, 0)т , £ = | ( 0 , 1, 2, 2)т ,
4 =|(0, 2, 1, - 2 ) т ' е; =|(0, 2, - 2 , 1)т
(координаты векторов е» выписываются по столбцам коэффициентов при переменных в формулах преобразования координат).
П ример 2. В евклидовом пространстве Еъ преобразованием пря моугольных координат упростить уравнение квадрики
х\ + XiX2 + х\ —3xi — 6х2 + 3 = 0,
указать преобразование прямоугольных координат, осуществляющее такое упрощение уравнения квадрики, и установить ее метрический класс.
Реш ение. Квадратичная форма х\ + x ix 2 + х\ имеет матрицу
Ее характеристический многочлен
|А - \Е\ - |
1 - А |
1/2 |
= А2 — 2А + ^ |
|
1/2 |
1 - А |
|||
|
4 |
имеет корни Ai = 3/2 и Аг = 1/2. Поэтому рассматриваемая квадра тичная форма в главных осях имеет канонический вид
3 о |
1 2 |
2У1 + |
22/з* |
Перейдем к конструированию матрицы ортогонального преобра зования переменных, приводящего рассматриваемую квадратичную форму к каноническому виду в главных осях. Для этого будем стро ить ФСР однородных систем уравнений (А — А%Е)Х = 0 и ортонормировать их.
При А,- = 3/2 эта система имеет вид
Г —х\ |
+ |
Х2 |
= |
О, |
\ Х\ |
— |
Х2 |
= |
0. |
Ее общим решением является X |
= |
(х2,®2)Т Здесь одно свобод |
||
ное неизвестное. Поэтому ФСР состоит из одного решения, напри мер, из решения b\ = (1, —1)т Нормируя его, получим вектор 6J =
= (l/V2,l/y/2)T
При Л,- = 1/2 также построим вектор 6° = (—1/л/2,1/л/2)т Векторы 6° и Щ уже ортогональны, так как принадлежат различным собственным значениям. Они составляют канонический ортонормированный базис данной квадратичной формы. Из столбцов их коор динат строится искомая ортогональная матрица
0 _ |
( |
1/V2 |
- 1 / V 2 N |
Q ~ |
v |
1/V 5 |
1/V2 ) |
По строкам этой матрицы выписывается искомое ортогональное пре образование переменных
1/1 -1/2 |
я2 = 3/1 + 3/2 |
" V2 |
V2 • |
Будем рассматривать это преобразование переменных как преобраг зование прямоугольных координат в 1?2. Подставляя выражения для Х{ из этих формул в уравнение квадрики, приведем его к виду
1 |
9\/2 |
“ ^ 3 / 2 + 3 = 0 |
£3/? + £3/§ “ |
2 |
|
|
|
Для удобств» запишем это уравневие в виде
%i + У 2 ~ 9^3/1 —3V53/2 + 6 = 0
10.7.Упражнения
1 . П ривести к нормальному виду уравнение квадрики, установи ть ее ви
вы писать формулы преобразования координат, координаты нового начал
и новых координатны х векторов относительно старой |
систем ы координ |
||||
|
в аффинном пространствеА 2' |
|
|
|
|
а) х? —2 х \% 2 + + 2 xi —5 = 0 , |
|
|
|
||
б) |
3xi + IOX1 X2 4“ 3 x2 4" 2xi 4* 14x2 —53 = 0, |
|
|
||
в) |
х \ + 4 X IX2 4- 5 x2 —2 xi —2xi —2 = 0 ; |
|
|
|
|
|
в аффинном пространстве А з ' |
|
|
|
|
г) |
X? 4" |
+ 8 х§ —2 X IX2 —6 x1 x3 4- 4 x2 X3 |
4" 2 xi 4" 2хг 4" 4хз —14 = 0, |
||
д) |
х \ 4- 2x2 + 2хз —2X IX2 — 2X IX2 — 2xi |
4-8x3 — 6 = 0, |
|
||
е) |
4х?4- 6x2 4* 5хз 4- 4 xiX3 —8 x2 — 4хз + 3 = 0, |
|
|
||
|
в аффинном пространствеА\\ |
|
|
|
|
ж) |
Х1Х2 + Х2Х3 + Х3Х4 + Х4Х1 + 2xi —4x2 + Ю хз +6x4 + 8 = |
0, |
|||
з) X i+2X2+ 2X3+ X4+ 2X iX2+ 2X iX3+ 4X2X3+ 2X3®4+ 2X l+2X2+ 4X3— 8x4 = 0, |
|||||
и) |
X? + X2 IX2 + х\ — 2х§ —4x3X4 — 2x4 + 4 x i —8x2 + 6x3 — IOX4 + 10 = 0. |
||||
2. |
Преобразованием прям оугол ьны х кординат привести к каноническо |
||||
виду уравнение квадрики, вы писать |
формулы преобразования координа |
||||
вы писать |
координаты нового начала и новы х координатны х векторов о |
||||
носительно старой систем ы координат |
|
|
|||
|
в евклидовом пространстве |
|
|
|
|
а) |
Ъ х\ + 8 x1 X2 + 5 x2 ~ 18xi —18x2 + 9 = 0, |
|
|
||
б) X? —2 X IX2 + Х2 + 2 xi —2 x2 —3 = 0 , |
|
|
|
||
в) |
Зх? +4X IX2 + 2x2 — 4x2 — 9 = 0; |
|
|
|
|
|
в евклидовом пространствеЕ з : |
|
|
|
|
г) |
2 х \ + ЗХ2 + Х3 —4 X IX2 + 4 xiX3 —1 2 xi —6 x3 |
+ 4 = 0 , |
|
||
д) |
x\ — 2x2 + X3 + 4X IX2 — 8x 1x3 — 4x2X3 + 2x i |
— 4хз —1 = 0, |
|||
е) |
8xJ + 4x2 + 5хз —4x 1X3 — 44xi — 2хз + 29 = 0, |
|
|||
|
в евклидовом пространствеЕ*\ |
|
|
|
|
ж) 2x 1x2 — 6x 1X3 — 6x2X4 + 2x3X4 + 4 x i —8x2 + 8x3 — 4x4 — 9 = 0, |
|||||
з) |
5 x i +5x2 + 5®з + 5xJ — IOX1X2 + 2x 1X3 + 6x1X4+ 6x2X3 + 2x2X4 — IOX3X4+ |
||||
24х3 - 24X4 - 18 = 0 , |
|
|
|
||
и) |
Зх? + 8 x1 X2 —ЗХ2 + 4хз —4 x3 X4 + xj + 10-\/5хз —2 0 ^ 5 x4 |
—14 = 0. |
|||