книги / Линейная алгебра
..pdfСобственный вектор Х\ находят как и в предыдущем случае, т.е. принимают
Xi ~ Акх [ 0) или X t ~ а ^ Х ^ = У*.
Заметим, что этот метод значительно упрощается, если матрица
Асимметрическая, т.е. если А = Ат
Пример 1. Методом скалярных произведений найти наибольшее по абсолютной величине собственное значение Ai и соответствующий ему собственный вектор матрицы
/ |
i |
- з |
4 |
\ |
А = I |
4 |
- 7 |
8 |
|
\ |
6 |
- 7 |
7 |
/ |
Реш ение. Примем за начальный вектор х [ 0^ = |
(1 ,1 ,1)т Тогда |
||||
последовательность векторов |
|
при А: = |
1,10 |
уже вычислена в |
|
предыдущем примере. Вычислим векторы |
|
при к = 1,2,3,4. |
|||
Результаты приведены в следующей таблице: |
|
|
|||
х { 6) |
А Х [ 0) |
А 2 Х [ 0) |
А 3Х [ 0) |
A AX f } |
|
1 |
11 |
57 |
115 |
|
433 |
1 |
-17 |
-47 |
-129 |
|
-415 |
1 |
19 |
41 |
139 |
|
401 |
Вычислим Ai по формуле (9.31) при к = 4:
|
(85, |
169, |
165) |
(Л4Х^0),Л Т<^ |
0) |
|
3.0002 |
А ^ А ^ = |
0)) |
|
|
(А3^ 0),Л Т4^ |
|
52) |
|
|
(24, -49, |
||
и X - по формуле Xi ~ АкХ ^ при к = 4 :
X i ~ Л4Х {0) = (85, 169, 165)т
Мы видим, что формула (9.31) уже при к = 4 дала результат, близ кий к тому, какой в предыдущем примере был получен при к = 10.
Поэтому метод скалярных произведений в [32] рассматривают как ускорение степенного метода.
Метод скалярных произведений, как и степенной метод, можно рассматривать в сочетании с методом исчерпывания для отыскания других собственных значений и собственных векторов матрицы.
9.6.Упражнения
1.Методом итераций найти собственные значения и собственные векторы следующих матриц:
2. Методом вращений найти собственные значения и собственные векторы следующих симметрических матриц:
• ( |
2 |
-2 |
3 |
|
2 |
- 2 |
1 |
2 |
|
4 |
|
О |
-2 |
0 |
|
- 2 |
|
|
2 |
2 |
|
■7 |
-4 |
ч |
2 |
5 |
-4 |
5 |
|
-2 |
-4 |
|
0 |
4 |
|
|
3 |
-2 |
|
б |
-2 |
” |
-2 |
6 |
-2 |
5 |
|
-(4 |
-2 |
|
2 |
0 |
|
|
11 |
2 |
' |
1 |
2 |
10) |
2 |
2 |
12) |
2 |
-5 |
( |
-8 |
10 |
>1 |
2 |
|
3. Методом Якоби найти собственные значения и собственные векторы следующих матриц:
3 -1 |
|
|
2) |
3 |
2 + 2» |
0 \ |
3) |
3 |
2 - * 0 |
||
0 \ |
|
( |
/ |
||||||||
* |
3 |
0 ) ’ |
|
\ |
2 - 2» |
10 |
0 1 . |
V |
2 + * |
7 |
0 |
( 0 0 |
3 / |
|
0 |
0 |
4 / |
0 |
0 |
3 |
|||
4) |
|
|
|
5) |
|
2 + 2* |
|
6) |
1 |
1 + * 0 |
|
0 |
* |
0 \ |
|
/ |
3 |
0 \ |
/ |
||||
- » |
0 |
0 ) ’ |
|
V |
2 -2 » |
1 |
0 . |
V |
1 - * |
0 |
0 |
( 0 0 |
1 ) |
|
о' |
0 |
4 / |
0 |
0 |
1 ) • |
|||
7) |
0 1 - * \ / |
8) |
3 |
2 + 2* 0 \ |
9) |
3 |
2 - 2» О |
||||
1 |
|
/ |
|||||||||
О |
1 |
0 |
], ( 2 - 2 * |
5 |
0 ), |
1 2 + 2» |
1 |
О |
|||
( 1 + i 0 |
2 |
/ \ |
|
0 |
0 |
1 / |
\ |
0 |
0 |
1 |
|
4. С помощью QA-алгоритма найти характеристические числа матриц из упражнений 1-2 и следующих матриц:
|
4 |
-1 |
1 |
-3 |
4 |
1) |
2 |
1 |
4 |
- 7 |
8 |
|
< 1 |
-1 |
6 |
- 7 |
7 |
2 |
-1 |
2 |
5 |
-3 |
3 |
-1 |
О |
- 2 |
5. Степенным методом найти наибольшие по абсолютной величине соб ственные значения и соответствующие им собственные векторы матриц из упражнений 1, 2, 4.
в. Степенным методом в комбинации с методом исчерпывания найти собственные значения и собственные векторы матриц из упражнений 1,2, 4.
7.Методом скалярных произведений найти наибольшие по абсолютной ве личине собственные значения и соответствующие им собственные векторы матриц из упражнений 1, 2, 4.
8.Методом скалярных произведений в комбинации с методом исчерпыва ния найти собственные значения и собственные векторы матриц из упраж нений 1, 2, 4.
9.Найти собственные значения и собственные векторы следующих поло жительно определенных симметрических матриц:
Примерами конечномерных аффинных пространств служат одно мерное, двумерное и трехмерное пространства, изучаемые в аналити ческой геометрии. Приведем еще один пример аффинного простран ства. Будем называть векторами строки
(ai,c*2, •••,<*„>()), |
ог,€ Р , |
|
|
(10.1) |
|
а точками — строки |
|
|
|
|
|
(otl, ОГ2,--- , Qtn, 1), |
|
|
|
|
(10.2) |
Операции над такими векторами определим равенствами |
|
||||
(a i,a 2, . . . , a n,0) + (a i,a 2 ,...,a ^ ,0 ) |
= |
(аг + |
.. .,a n + |
<*п,0), |
|
Л - ( a i ,<*2, . . . ,arn , 0) = ( A a i,Л а 2, |
. . . ,Aa?n , 0), |
A G |
Р . |
||
Точкам ( a i ,... , a n, 1) и (/?i,..., /?п, 1) поставим в соответствие вектор
Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что множество всех векторов вида (10.1) образует линейное пространство Х п над полем Р, а множество всех точек вида (10.2) — n-мерное аффинное пространство А п, связанное с линейным пространством Х п.
В дальнейшем нас будут интересовать лишь конечномерные аф финные пространства, связанные с действительными или комплекс ными линейными пространствами. Такие аффинные пространства соответственно будем называть конечномерными действительными или комплексными аффинными пространствами.
10.2.К оорди н аты в конечномерном аффинном п ростран стве
Пусть дано n-мерное аффинное пространство Лп, связанное с ли нейным пространством Х п.
С и стем ой коорди нат или репером в аффинном пространстве
Ап называют систему |
|
(0,ei, е2,•••, Сп) |
(10.3) |
некоторой точки О из «4П, называемой началом координат, и неко торого базиса
^1,^2,•••» Ofi |
(10.4) |
линейного пространства Х п.
К оординатам и точ к и А из А п в си стем е коорди нат (10.3) называют координаты ai, с*2, •• осп ее радиуса-вектора ОА = а в базисе (10.4), т.е. коэффициенты из разложения
о А = а = aiei + a 2e2 + ... + otnen = (ег, е2, ... , е„)
и записывают А(аi, a 2, ... , ап)в. Индекс е обычно опускают, если это не вызывает путаницы.
Пусть в аффинном пространстве А п даны две точки А(аi , . . . , ап)е
и JB(/?I , ... , /?п) координатами в системе (10.3) |
Тогда |
ОА = aiei + ----- h апеп = е •[a]e, OB = /?iex + |
----- Ь /?пеп = е •[/3]е |
и из правила треугольника ОА + АВ = ОВ получается соотношение
АВ = О В - О А = (/?i - ai)ei + •••+ (/?n - <*n)en = е ([/?]е - [<*]е).
Таким образом, координаты Х\} . . . } Х п вектора АВ в системе коор динат (10.3) вычисляются по формулам
-^1 — 01 ~ I •••> — 0П &П)
т.е. равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.
Пусть в аффинном пространстве А п даны две системы координат
(10.5)
( 10.6)
Пусть далее 0 '( 7 1 , 7 ••2 -, 7, n ) e Т, |
= (Uj) — матрица перехода от ба |
зиса е к базису е' и |
|
А(аь а 2, ..., а „)е, |
^ (« i, а'2)... , а'п)е/. |
Тогда |
|
0 0 > |
= |
7iei + ----- h 7„е„ = |
е •[-y]e, |
||
ОА |
|
= |
a id |
Н-------1- а„е„ = |
е •[а]е, |
O'А |
= |
a id |
+ ----- h aj,e„ = е' • [а']е/, |
||
е' |
|
= |
е -Т , |
0 4 = ОО7+ СРХ |
|
Равенство ОА = 0 0 ' + 0'..4 запишется в виде |
|||||
е •[а]е = е •[7]* + |
е' ■[а\> = |
е •[7]* + еТ •[а']е. = е •([7]е + Т[а']е' ) . |
|||
Отсюда получается |
|
|
|
|
|
|
|
Ме = [7]е + Т -[а']е' |
(10.7) |
||
или в подробной записи |
|
|
|||
(OCX |
= |
|
71 +*11^1 +*12^2 +••• + * !«< , |
||
\ 0С2 |
= |
|
72 +*2ia7l + ^22<*2 + ***+*2n<*n, |
||
V.0£п |
— |
|
7n + *nl<*i + ^n2^2 ”b •••"Ь ^nn^n• |
||
Соотношение (10.7) можно разрешить относительно [с*']в/. Тогда по лучим
М . / = Т - 1[ а ] « - Т - 1[7].. |
(10.8) |
Формула (10.7) дает выражение старых координат точки А через ее новые координаты, а формула (10.8) — выражение новых координат точки через ее старые координаты.
10.3.П лоскости в конечномерном аффинном п ростран стве
Пусть в n-мерном аффинном пространстве А п, связанном с линей ным пространством Х п, дана точка MQ и fc-мерное подпространство Lk в Х п. Множество точек аффинного пространства А п, для кото рых вектор МоМ G £*, или , что то же самое,
r = L * + r 0, |
(10.9) |
где г = ОМ , го = ОМо, называют А:-мерной п л оскостью , п рохо дящей через т оч к у Мо в направлении п одп ростран ства L*.
Точку MQ называют начальной точ к ой плоскости, точку М - т е кущ ей точ к ой плоскости, подпространство Lk ~ направляющим п одп ростран ством эт о й плоскости .
Всякая n-мерная плоскость в аффинном пространстве А п сама является аффинным пространством размерности п.
Уравнение (10.9) показывает, что рассматриваемая плоскость по лучается параллельным переносом подпространства Lk на вектор го. Очевидно, что нульмерная плоскость состоит лишь из одной точки ЛГо. Поэтому каждую точку аффинного пространства можно рас сматривать как нульмерную плоскость. Само аффинное простран ство является n-мерной плоскостью. Одномерную плоскость обычно называют прямой, (п — 1)-мерную плоскость — гиперплоскостью .
В определение плоскости введена ее начальная точка. В действи тельности все точки плоскости равноправны, так как в качестве на чальной точки плоскости можно взять любую точку этой плоскости. Из этого следует,что две плоскости, имеющие одну общую точку и одно и то же направляющее подпространство, совпадают.
Пусть в афинном пространстве |
А п выбрана система координат |
||
(0, ei, в2, ..., еп) |
и дана |
fc-мерная |
плоскость г = Lk + го, проходя |
щая через точку |
Мо(х\, |
... , я°) параллельно подпространству |
|
L = < а\, <*2, •••,<** > (векторы ai, аг, ..., а* линейно независимые, так как L* - fc-мерное). Тогда рассматриваемую плоскость можно записать в виде
г = *iai + ... + tkdk + г0) |
(10.10) |
где *i, ..., tk - параметры, принимающие независимо друг от друга произвольные числовые значения из поля Р.
Уравнение (10.10) называют парам етрическим уравнением в векторной ф орм е рассматриваемой плоскости.
Пусть в выбранной системе координат
<*1 = (<*11, <*21, •••, |
<*nl)T, |
<** = (<*lJk, <*2*, . • |
<*n*)T, |
r = (x 1 , x2, |
*n)T, |
r0 = (x?, x\, |
* ° )T |
Тогда, переходя от векторного равенства (10.10) к покоординатным равенствам, получим систему уравнений
' х \ |
— |
а ц * 1 + |
ai2*2 + |
•••+ |
<*iJb^Jb + |
ж?, |
х2 |
= |
<*21^1 + |
<*22^2 + |
••• + |
<*2Jfetffc + |
®2) |
|
|
|
|
|
|
( 10. 11) |
хп |
= |
<*nl*l + <*n2*2 + |
•••+ Qnkik + |
|
||