книги / Линейная алгебра

Найти матрицу сопряженного оператора р* в том же базисе.

21. Пусть даны матрица Грама Г базиса е и матрица А линейного опера­ тора <рв этом базисе:

Найти матрицу сопряженного оператора (р* в том же базисе.

22. Построить канонические разложения с ортогональными трансформи­ рующими матрицами для следующих симметрических матриц:

23 Убедиться в положительной определенности матрицы и найти квадрат-

НЫЙ корень из нее.

24. Применяя процесс ортогонализации, привести к треугольному виду матрицы из упражнений 22, 23 и следующие матрицы:

30. Убедиться, что матрица является нормальной и построить для нее каноническое разложение с унитарной трансформирующей матрицей:

ч 0 O'г)(:i I -!)• з»(

31.Построить QA-разложения для матриц из упражнений 22 и 24.

32.Решить систему А Х = Ь при матрице Л, заданной ее QAразложением, и столбце Ь свободных членов:

33. Построить сингулярное разложение матриц:

Указание. Одно из ненулевых характеристических чисел матриц А * А следует искать среди чисел 36, 144, 324.

34. Построить полярные разложения следующих матриц:

с матрицей А . Применим к ее переменным жх, жг, •••>жп невырожден­ ное линейное преобразование переменных

Подставив в форму (7.8) вместо каждой переменной ®i, жг, . .., х„ выражение через переменные j/i, J/2? ••-5Уп по формулам (7.10), получим квадратичную форму

Это означает, что матрицей квадратичной формы д(уи У2> •••, Уп) является матрица

Таким образом, при линейном преобразовании переменных с матри­ цей Q квадратичная форма с матрицей А преобразуется в квадратич­ ную форму с матрицей В — QTAQ. При этом, если Q — невырожден­ ная матрица, то из соотношения (7.12) следует, что ранг матрицы В равен рангу матрицы А } т.е. ранг квадратичной формы не менлетсл при невырожденном линейном преобразовании ее переменных. В то же время определители матриц В и А связаны соотношением

Напомним, что переход к новым переменным можно рассматри­ вать как переход к новому базису в линейном пространстве. Поэтому квадратичную форму (7.11) в новых переменных j/i, t/2>. . уп можно рассматривать как квадратичную форму (7.8) в новом базисе.

Примечание. Не следует смешивать правило QTAQ изменения матрицы А квадратичной формы при переходе от одного базиса к другому с правилом Q~lAQ (см. п. 3.4) изменения матрицы А ) рас­ сматриваемой как линейный оператор, при переходе от одного базиса к другому. Матрица QTAQ в общем случае не является матрицей того же оператора. Совпадение матриц QTAQ и Q~lAQ будет лишь в случае ортогональной матрицы Q, т.е. при QT = Q” 1, или, что

то же самое, когда переход совершается от отортонормированного базиса к ортонормированному базису.

Если квадратичная форма /( х i, Х2, хп) некоторым невыро­ жденным линейным преобразованием переменных переведена в ква­ дратичную форму <7(2/1, 2/2, •••, Уп), то формы / и д называют экви ­ валентными. Так как матрицы А и В таких форм связаны соот­ ношением В = QTAQ> где Q — невырожденная матрица, то ранги этих форм одинаковые. Эквивалентность квадратичных форм обо­ значают знаком ~ Она обладает свойствами:

Пусть квадратичная форма /(х 1 , Х2, ..., х„) некоторым невыро­ жденным преобразованием переменных переведена в квадратичную форму

содержащую только квадраты переменных. Квадратичную форму д называют каноническим видом квадратичной ф орм ы / . Ма­ трицей формы (7.14) является диагональная матрица

(7.15)

0 Сп

Поскольку ранги у форм / и д одинаковые, то число ненулевых диаго­ нальных элементов в матрице (7.15) равно рангу квадратичной фор­ мы / .

Базис пространства, в котором квадратичная форма имеет ка­ нонический вид, называют каноническим базисом эт о й квадра­ тичной ф орм ы . Очевидно, что две квадратичные формы эквива­ лентны между собой тогда и только тогда, когда они могут быть приведены к одинаковому каноническому виду.

7.4.П риведение квадратичной ф орм ы к каноническом у виду

Впредыдущем параграфе мы видели, что если в квадратичной форме подвергнуть переменные линейному преобразованию, то по­

лучится квадратичная форма от новых переменных с другими коэф­ фициентами. Поэтому при надлежащем выборе линейного преобра­ зования переменных любую квадратичную форму можно привести к более простому виду.

Оказывается верным следующее утверждение.

Любую квадратичную форму с помощью невырожден­ ного линейного преобразования переменных можно при­ вести к каноническому виду.

Такое приведение квадратичной формы легко достигается мето­ дом Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в последователь­ ном выделении в квадратичной форме полных квадратов по каждой переменной. При этом, если в квадратичной форме нет членов с ква­ дратами переменных, т.е. если в ней все коэффициенты ац = 0, то сначала добиваются, чтобы в квадратичной форме появились члены с квадратами переменных. Так, если все ац = 0, но a,j ф 0, то совер­ шив невырожденное преобразование переменных

получим, что член 2aijXiXj квадратичной формы примет вид

2<4j{yi + Vj)(yi - Vj) = 2aijyf - 2dijyj,

т. е. в квадратичной форме появятся члены с квадратами переменных у, - и уу, причем они не могут сократиться с другими членами формы, так как в каждый другой ее член входит у* при к ф i ,j . Таким образом, можно считать, что в квадратичной форме

n n

содержащие xi, и дополним их сумму до полного квадрата. Тогда получим