книги / Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах
..pdf
Рис. 7.18. Зависимость оптимальной |
Рис. 7.19. Распределение остаточных |
внешней нагрузки от времени |
напряжений в пакете стержней: |
|
1 – свободное охлаждение; |
|
2, 3 – охлаждение с регулирующей |
|
нагрузкой при силовом воздействии |
|
( Nt = 10 и Nt = 20 соответственно) |
Как видно из графиков, относительная невязка по оптимальной нагрузке при увеличении количества интервалов разбиения времени охлаждения Nt с 10 до 20 не превышает 5 %, что говорит о хорошей сходимости решения; остаточные напряжения снижаются с 0,9 до 0,05 % относительно первоначального уровня (табл. 7.1).
Рис. 7.20, 7.21 иллюстрируют результаты, полученные при кинематическом регулировании напряжений.
Увеличение Nt в 2 раза существенно, с 21 до 2 % (см. табл. 7.1, рис. 7.21), снижает уровень остаточных напряжений и сопровождается «сглаживанием» кусочно-линейного полинома (рис. 7.20). Минимизация при тех же степенях дискретизации по времени реализуется гораздо хуже, чем в первом варианте расчета.
Рис. 7.22–7.25 отображают результаты, полученные для совместного воздействия силы и углового перемещения.
Приведенные данные показывают хорошую сходимость решения и лучшее, по сравнению с двумя первыми вариантами, качество минимизации.
221
Рис. 7.20. Зависимость оптималь- |
Рис. 7.21 Распределение остаточных |
ного углового перемещения |
напряжений в пакете стержней: |
при кинематическом воздействии |
1 – свободное охлаждение; |
от времени |
2, 3 – охлаждение с регулирующим |
|
перемещением при кинематическом |
|
воздействии ( Nt = 10 и Nt = 20 |
|
соответственно) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 . 1 |
|
Снижение уровня остаточных напряжений |
|
σ*max |
|
|
100 % |
||||
|
|
/ |
σTmax* |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Nt |
Силовое |
Кинематическое |
|
|
|
Совместное |
|||
воздействие |
воздействие |
|
|
|
воздействие |
||||
|
|
|
|
||||||
10 |
0,886 |
26,112 |
|
|
|
0,103 |
|||
20 |
0,042 |
1,604 |
|
|
|
0,013 |
|||
Анализ полученных результатов показывает, что наименьший уровень остаточных напряжений достигается при совместном силовом и кинематическом воздействии.
Однако при этом, как и в случае регулирования только внешней силой, уровень максимальных технологических напряжений достаточно высок на всем временном интервале (рис. 7.25, кривые 2, 3). Наибольшую опасность представляют напряжения в начальной стадии охлаждения, когда основная часть материала конструкции еще находится в высокоэластическом состоянии. С этойточки зрения более
222
Рис. 7.22. Зависимость оптимальной внешней нагрузки от времени при совместном воздействии
Рис. 7.24. Распределение остаточных напряжений в пакете стержней:
1 – свободное охлаждение;
2, 3 – охлаждение с регулирующими нагрузкой и перемещением при совместном воздействии ( Nt = 10 и Nt = 20 соответственно)
Рис. 7.23. Зависимость оптимального углового перемещения от времени при совместном воздействии
Рис. 7.25. Зависимость максимальных технологических напряжений в пакете стержней от времени:
1 – при силовом воздействии;
2 – при кинематическом воздействии;
3 – при совместном воздействии
223
предпочтительным является регулирование остаточного напряжен- но-деформированного состояния кинематическим воздействием (рис. 7.25, кривая 1). Однако, как видно из рис. 7.25, полученное решение недостаточно устойчиво, что, по-видимому, объясняется плохой обусловленностью задачи. Поэтому приведенный алгоритм расчета оптимального угла поворота требует дальнейшего совершенствования. В частности, предполагается постановка проблемы оптимизации остаточного напряженно-деформированного состояния с ограничением по уровню внешней нагрузки в реальной двумерной конструкции.
Представленное исследование метода регулирования остаточных напряжений в конструкциях из стеклующихся полимеров и композитов на их основе позволяет сделать следующие выводы.
1.К преимуществам метода следует отнести его высокую эффективность с точки зрения затрат машинного времени, требуемого для формирования результирующей системы линейных уравнений задачи оптимизации.
2.Полученное в модельной задаче оптимальное силовое управление Р(t) даже при достаточно грубой кусочно-линейной интерполяции снижает уровень остаточных напряжений на 3 порядка. В то же время аналогичное кинематическое воздействие гораздо менее эффективно как в плане устойчивости, так и по качеству полученного результата. Это говорит о высокой чувствительности предлагаемой методики к выбору типа управления, необходимости численного анализа каждого из возможных его вариантов.
3.Требуются дополнительные исследования по применимости
метода и проверке его эффективности в многомерных задачах, а также введение в постановку ограничений, связанных с технологической прочностью конструкции.
224
ГЛАВА 8. АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
В АМОРФНО-КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРАХ
Актуальность и необходимость исследований особенностей деформационных процессов в аморфно-кристаллических полимерах обусловлена следующими обстоятельствами:
–во-первых, аморфно-кристаллические полимеры представляют собой широкое многообразие конструкционных твердых полимерных материалов, для которых адекватное моделирование напряжен- но-деформированного состояния актуально на всех этапах технологических процессов изготовления и эксплуатации изделий из них;
–во-вторых, практически отсутствуют модели, позволяющие конструктивно описывать сложные взаимосвязи процессов тепловыделения, полимеризации, кристаллизации и стеклования с эволюцией напряженно-деформированного состояния.
Вопросам моделирования термомеханического поведения аморфных и аморфно-кристаллических полимеров посвящено большое число зарубежных исследований. За последние два десятилетия был предложен ряд моделей для описания упруговязкопластических деформаций твердых полимеров, часть из которых основаны на чисто феноменологическом подходе. В ряде других предложены физически обоснованные модели. Большинство усилий моделирования были посвящены описанию механического поведения аморфных полимеров как в застеклованном состоянии, так и в температурном диапазоне, включающем температуру стеклования.
Интерес к вопросам описания термомеханического поведения полимерных материалов при фазовых превращениях и релаксационных переходах вызван все более широким использованием в различных областях техники материалов с памятью формы, в том числе полимеров. К полимерам с памятью формы (SMP) относится широкий
225
класс аморфно-кристаллических и аморфных полимеров, проявляющих способность сохранять временную и восстановить первоначальную форму в управляемом режиме. Различным аспектам, связанным с SMP, посвящено большое число публикаций, в том числе обзорного характера. При математическом моделировании термомеханических циклов, описывающих эффект памяти формы, как правило, используются два подхода. Первый подход связан с использованием стандартной линейной вязкоупругости. Второй общий подход основан на изучении термодинамики эффекта памяти формы. Считается, что эффект определяется в первую очередь переходом от высокоэластического состояния (выше температуры перехода Тg) к застеклованному (ниже Тg) вследствие изменения сегментарной подвижности полимерных цепочек за счет физических связей межмолекулярного взаимодействия. В рамках этой общей концепции различные исследователи предложили подход, в котором SMP представляется в виде смеси двух фаз: жесткой, «замороженной фазы» и мягкой, активной фазы. Переход состояний моделируется как изменение относительных долей объема двух фаз, с использованием переменной состояния (как правило, доля одной фазы). Построенная модель записывается в терминах термомеханики и используется для описания поведения с памятью формы путем решения полученных определяющих уравнений.
В последних научно-исследовательских работах, описывающих поведение аморфно-кристаллических полимеров, принимают во внимание гетерогенный характер микроструктуры таких материалов и используют представления структуры материала как композита. Так, предложен ряд реологических моделей механического поведения аморфно-кристаллических полимеров, в которых свойства аморфной и кристаллической составляющих явным образом вводятся в модель.
Глава посвящена анализу возможностей описания особенностей деформационных процессов в аморфно-кристаллических полимерах на основе разработанных ранее определяющих уравнений. Этот анализ осуществлен на основе результатов численных экспериментов при условии пространственной однородности напряженно-деформи- рованного состояния.
226
8.1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ АМОРФНО-КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ
В предлагаемом варианте определяющих соотношений, которые позволяют описать взаимосвязь термомеханического поведения кристаллизующегося полимера с протекающими в нем фазовыми переходами, учитывается возможность реализации релаксационного перехода – стеклования в аморфной фазе.
Для описания пространственно-временного изменения температуры T, а также относительной степени кристаллизации β предлагается использовать систему дифференциальных уравнений, включающую в себя:
– уравнение нестационарной теплопроводности
|
|
|
∂T = |
1 |
div(λgradT ) + |
1 |
Q |
|
dβ |
; |
|
|
|
(8.1) |
||||||
|
|
|
cρ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
cρ |
β dt |
|
|
|
|
|
|||||||
– кинетическое уравнение кристаллизации |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dβ |
= C0 exp |
− |
|
E1 |
|
− |
E2 |
|
(β |
p |
(T ) − β) |
(1+ C1β). (8.2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dt |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|||
|
|
R(T − Tc ) |
|
R(Ta − T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Здесь с, ρ, λ – теплофизические константы; |
Q |
|
dβ |
– интенсив- |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
dt |
||
ность тепловых |
источников, |
обусловленных |
кристаллизацией; |
|||||||||||||||||
R – универсальная газовая постоянная; |
|
C0 , C1 , E , E |
, T , T – кине- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
β |
1 |
2 |
|
a c |
|||
тические константы, определяемые экспериментально из калориметрических измерений; βp – равновесная степень кристаллизации (0 < βp < 1). Функциональный вид выражений в уравнении (8.2) может меняться в зависимости от типа процессов кристаллизации.
При решении краевых задач систему уравнений (8.1–8.2) необходимо дополнить соответствующими граничными и начальными условиями.
227
Построение определяющих уравнений, которые позволяют описать эволюцию напряженно-деформированного состояния полимерного материала в процессе фазового перехода, осуществляется в рамках феноменологической теории механики сплошных сред. Кристаллизующийся полимерный материал рассматривается как двухкомпонентная смесь аморфной и кристаллической структур, удельная доля которых определяется степенью кристаллизации β. Предполагается, что в момент перехода в кристаллическое состояние каждая часть аморфной структуры полимера, пропорциональная приращению степени кристаллизации Δβ, имеет нулевое напряженное состояние и согласована по деформированному состоянию с ранее существовавшей структурой. Физически это означает, что процесс кристаллизации является сильным релаксационным механизмом сброса напряжений в кристаллической фазе. Важной особенностью для аморфно-кристаллических полимеров является изменение удельного объема материала в процессе кристаллизации − кристаллизационная усадка. Этот факт отражен в многочисленных экспериментах. Осуществляясь неоднородным образом по объему материала и по времени, этот процесс во многих случаях становится определяющим в формировании напряженно-деформированного состояния конструкции из полимерного материала.
Для удельной свободной энергии двухкомпонентной системы используется выражение
F ε(t ),T (t) |
|
β(t ) |
|
ε(t ) − ε(τ),T (t) dβ(τ) |
|||
= |
|
Fc |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(1− β(t )). |
|
|
+ Fa |
ε(t ),T (t) |
(8.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Fc и Fa – удельная свободная энергия кристаллической и аморфной структур.
Если задать конкретный вид функционалов Fc и Fa и принять во внимание формулу (8.3), можно получитьопределяющие соотношения:
σij (t ) = ∂F / ∂εij . |
(8.4) |
228
Аморфным полимерaм соответствует вариант определяющих соотношений при β(t) ≡ 0.
В данном исследовании мы ограничим область применимости рассматриваемой модели рамками малых деформаций и характерными временами процесса кристаллизации и внешних воздействий, которые меньше времен релаксации кристаллической фазы. Это позволит пренебречь реологической природой закристаллизованной компоненты и использовать упругую аппроксимацию ее свойств в форме мгновенного модуля.
Предложенные определяющие соотношения позволяют учесть влияние на напряженно-деформированное состояние полимерного материала как фазовых превращений, так и релаксационных переходов типа стеклования (в аморфной составляющей). Для характеристики на феноменологическом уровне эволюции межмолекулярного взаимодействия полимерных цепочек аморфной составляющей материала введены тензорные величины eij , ε*kk , и с учетом этого запи-
саны выражения для удельной свободной энергии аморфной и кристаллической компонент в виде
|
|
μ1 |
|
|
μ2 |
* |
* |
|
k1 |
|
2 |
|
|||
Fa [ε(t),T (t)] = 2 |
|
eij eij + 2 |
(eij − eij |
)(eij − eij |
) + |
|
ε |
kk |
+ |
||||||
2 |
|||||||||||||||
+ |
k2 |
(εkk − |
ε*kk )2 − (k1 + k2 )αa (T − T0 )εkk − |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
β(t ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
−(k1 + k2 )κcεkk |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(8.5) |
||||||
|
|
1− β(t ) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Fc [ε(t),T (t)] = |
|
Gc |
eij eij + |
Bc |
εkk2 – Bc αc (T − T0 )εkk , |
|
|||||||||
2 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где μ1,k1 − сдвиговой и объемный модули, характеризующие упругие свойства аморфной составляющей материала в высокоэластическом состоянии; μ2 ,k2 − сдвиговой и объемный модули, характеризующие упругие свойства, обусловленные межмолекулярным взаи-
229
модействием полимерной сетки; eij – компоненты девиатора тензора деформации; εkk – объемная деформация; е*ij , ε*kk – соответствующие
тензорные величины, характеризующие эволюцию межмолекулярного взаимодействия; Gc, Bc – сдвиговой и объемный модули кристаллической компоненты материала; αa, αс– – коэффициенты температурного расширения аморфной и кристаллической составляющих соответственно; T(t) – текущая температура; Т0 – температура окружающей среды; κс – коэффициент кристаллизационной усадки (безразмерная величина, характеризующая относительное изменение объема полимера при кристаллизации), κс < 0.
Тогда с учетом соотношений (8.3)–(8.5) получаются следующие физические уравнения:
|
|
|
∂F |
β(t ) |
|
|
|
|
|||
|
sij = |
|
= |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∂eij |
2Gc eij (t ) − eij (τ) dβ(τ) + |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
+ μ1eij + μ2 (eij |
− eij* ) 1− β(t ) ; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σkk |
= 3 |
∂F |
|
= β(t ){3Bc εkk (t ) − εkk (τ) − |
(8.6) |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∂εkk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
−3Bcαc |
T (t ) − T (τ) |
}dβ(τ) + 3k1εkk + 3k2 (εkk − ε*kk ) − |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3(k1 + k2 )αa (T (t) − T0 ) |
1− β(t ) |
− 3(k1 + k2 )κcβ(t ), |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где sij – компоненты девиатора тензора напряжения; σkk – первый инвариант тензора напряжения.
Компоненты тензоров eij , εkk характеризуют деформационное
состояние, относительно которого проявляются жесткостные свойства от возникающих межмолекулярных связей на текущих деформациях eij , εkk . В зависимости от энергетического состояния, эти
связи могут переходить в новое равновесное состояние, которое определяется кинетическими соотношениями аррениусовского типа для тензорных величин eij , ε*kk
230