книги / Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах

Тогда для функции рассеяния из (3.26) можно записать следующее соотношение:

где σ2 – среднее нормальное напряжение в дополнительных меж-

111

При этом выражение для функции диссипации может быть записано следующим образом:

Если положить в соотношениях (3.28), (3.29) N (t ) = 1 (что соот-

ветствует полностью застекловавшемуся полимеру), то полученные соотношения для функции диссипации совпадают с полученными в работе [101] для классических линейных вязкоупругих сред.

Можно показать [77], что

112

если выполняются следующие условия:

RG (t ) > 0, RB (t ) > 0, RG (t ) < 0, RB (t ) < 0. (3.30)

Если, кроме того, для функции степени стеклования выполняется условие

то функция рассеяния W * ≥ 0. Условия (3.30), (3.31) выполняются автоматически, исходя из смысла функций объемной и сдвиговой релаксации и функции степени стеклования.

Для линейной упругой среды из соотношения (3.28) следует W * = 0, что в данном случае отражает обратимость процесса.

113

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕКЛУЮЩИХСЯ ТЕЛАХ

В главе дана общая постановка краевой задачи термомеханики полимерных материалов в условиях релаксационного перехода, включающая описанные в предыдущих главах определяющие соотношения. Изложен численный пошаговый алгоритм решения задачи с применением на каждом шаге процедуры метода конечных элементов. Рассмотрены особенности численного решения при учете вязкоупругих свойств стеклообразного состояния. Алгоритм проиллюстрирован при решении задачи о прогнозировании полей технологических и остаточных напряжений в стеклующемся сплошном коротком эпоксидном цилиндре.

4.1. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОМЕХАНИКИ

СТЕКЛУЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

Для решения задач механики деформируемых твердых тел, поведение которых описывается физическими соотношениями (3.3) или (3.13), (3.14) в двух- и трехмерном случаях, приходится использовать численные методы. В данной главе рассмотрено применение метода конечных элементов для расчета напряженно-деформиро- ванного состояния в стеклующихся телах.

В общем случае постановка краевой квазистатической задачи без учета объемных сил включает в себя следующие уравнения:

с начальными условиями

114

ничной нормали к поверхности S с компонентами соответственно Ui ,ni ; x – радиус-вектор произвольной точки тела, имеющий ком-

поненты xi ; U – заданный на части Su границы S вектор перемещений с компонентами Ui ; P – заданный на части Sσ границы S вектор поверхностных сил с компонентами Pi ; Su Sσ ≡ S ; i, j = 1, 2, 3.

Система уравнений задачи механики замыкается определяющими соотношениями, которые, в зависимости от условий задачи и свойств конкретного материала, записываются либо в упругом приближении вида (3.3)

TH

либо в более полной форме, с учетом вязкоупругих свойств в стеклообразном состоянии (3.16)–(3.17)

115

Если в застеклованном состоянии материал проявляет термореологически простое поведение в опытах на сдвиговую и на объемную релаксацию (или ползучесть), то по аналогии с одноосным напряженным состоянием возможно использование принципа темпе- ратурно-временной аналогии с двумя независимыми функциями температурно-временного сдвига (для функции объемной релакса-

ции aT(RB ) и для функции сдвиговой релаксации aT(RG ) ) и, как следствие, введение двух различных модифицированных времен

для уравнений (4.7). В этом случае соотношения связи напряжений и деформаций преобразуются к виду

Приэтом зависимость N(T) задается однимиз законов (2.7)–(2.9). Уравнения (4.1)–(4.7) содержат зависимость от времени, кото-

рая возникает за счет возможного изменения во времени внешних

116

силовых и кинематических воздействий, а также нестационарного температурного поля T (x,t ), определяемого из решения краевой за-

где c(T ), ρ(T ), λ(T ) – удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности материала; αT – коэффициент конвективного теплообмена с окружающей средой, имеющей температуру Tср ; S3 – граничная область с условиями конвективного теплообмена; S0 – с отсутствием теплообмена.

4.2. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО ПОШАГОВОГО

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Пусть каким-либо известным способом, например, методом конечных элементов [76], получено решение задачи (4.8)–(4.11), т.е. найдено изменение во времени поля температур в области Ω . Рассмотрим формулировку метода конечных элементов для решения краевой задачи (4.1)–(4.6) в случае упругого приближения.

Используем некоторый конечный элемент, перемещения любой точки которого характеризуется вектором-столбцом перемещений

117

Вектор-столбец деформаций элемента {εT } = {ε11, ε22, ε33, γ12, γ23, γ13} выражается через {δe (t )} известным образом [76] через матрицу гра-

( )

диентов B x :

{ε(x,t )} = B(x) {δe (t )} .

Представим в матричном виде физические соотношения (4.6) (см. (3.5)), введя в рассмотрение вектор-столбец напряжений

{σ}T = {σ11, σ22 , σ33 , τ12 , τ23 , τ13} :

{σ(t)} = D(1) (t) ({ε(t)} − {εT (t)})+ {D(2) (t)}({ε(t)} − {εT (t)})N ((t)) −

118

с узловыми точками t0 , t1, , tM . Тогда возможна аппроксимация

интеграла в (4.13) конечной суммой с использованием правосторонней формулы прямоугольников:

После вынесения неизвестного вектора текущей деформации {ε(tM )} из-под знака суммирования и подстановки в (4.13) физические соотношения принимают вид

следовательно, численное решение краевой задачи (4.1)–(4.7) сводится к пошаговой процедуре, в которой на каждом шаге по времени tM решается краевая задача теории упругости относительно уз-

ловых неизвестных {ε(tM )} с некоторым начальным для данного шага полем напряжений {σ0 (tM )}, которое вычисляется с помощью

119

соотношений (4.14) по найденным к моменту времени tM значениям узловых неизвестных {ε(tm )}, m = 0, M − 1.

Векторы узловых сил конечного элемента определяются обычным образом [76]:

– вектор узловых сил от начальных напряжений:

Ωe

– вектор узловых объемных и поверхностных сил:

где Ωe – объем конечного элемента; S e – часть его поверхности, принадлежащая границе Sσ области Ω .

В результате построения традиционным способом [76] глобальных матриц системы конечных элементов приходим к алгебраическому аналогу системы интегродифференциальных уравнений

(4.1)–(4.7):

(4.15)

{Fσ0 (t0 )} = 0.

Вычисление вектора {Fσ0 (tM )} связано с подсчетом суммы

(4.14), учитывающей деформационную историю. Сумма будет равняться нулю для моментов времени, соответствующих температурам T > Tg1 , и некоторой постоянной величине для моментов времени,

соответствующих T < Tg2 .

120