книги / Теория автоматического управления. Линейные системы управления
.pdfK2 = lim p 2W ^p). |
(4.9) |
p —>0
Как следует из выражений (4.3)-{4.9), установившиеся ошибки САУ могут иметь нулевое, бесконечное или постоянное значение в зависимости от числа интеграторов в передаточной функции W^(p) и типа входного сиг нала. Установившиеся ошибки для трех типов входных воздействий и трех типов передаточной функции W\(p) - с отсутствием интеграторов, с однйм и двумя интеграторами - приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1 Установившиеся ошибки САУ при различном числе интеграторов разомкнутого контура
____________________________ и типах входного воздействия_____________________________
Число интеграторов |
|
Входной сигнал |
|
Ступенчатый |
Линейный |
Квадратичный |
|
Х(1) = А |
|
II |
0 |
г = А/(\ + Кй) |
1 |
8 = 0 |
2 |
8 = 0 |
X(t) = At |
X(l) = At2/ 2 |
|
Х{р) = А / р 2 |
Х(р) = А / р 3 |
|
6 = 00 |
6 |
=00 |
г = А / К { |
8 |
= 00 |
8 = 0 |
8 = А / К 2 |
Динамические режимы САУ характеризуются переходными состоя ниями системы при изменении входных (задающих и возмущающих) воз действий. При этом различают свободные и вынужденные переходные про цессы.
Назовем процесс вынужденным, если промежуток времени между-мо ментом Г3 (tB) приложения задающего (возмущающего) воздействия X{t) и мо ментом наблюдения выходной величины Y(t) равен бесконечности. В даль нейшем будем полагать моменты времени приложения воздействий равными нулю. Тогда процесс изменения выходной величины Y(t) в соответствии с тео ремой свертывания (умножения изображений) будет иметь вид [1,2]
Y{t)= \w{x)X(t-x)ch , |
(4.10) |
о |
|
где w(т )- импульсная переходная функция по внешнему (задающему или
возмущающему) воздействию.
Свободный (собственный) процесс в системе определяется решением однородного дифференциального уравнения, описывающего САУ. Он про текает под действием ненулевых начальных условий Y(t0) и в устойчивых
системах асимптотически затухает: |
|
Y(t) = eM'~'o)Y(t0), |
(4.11) |
где е ^ 1 ~ матрица перехода системы из начального состояния У(^о) в текущее состояние Y(t). Понятие и расчет матрицы перехода рассмотрены в
разделе 9.3.
Полное решение уравнения движения линейных САУ представляет со бой сумму решений уравнений свободного и вынужденного движений.
В качестве примера на рис. 4.3 приведена реакция электродвигателя по стоянного тока (полное решение уравнения движения) на ступенчатое прило жение номинальной нагрузки Мсн(возмущающего воздействия) к его валу.
Рис. 4.3. Реакция электродвигателя на возмущающее воздействие в виде ступени нагрузки на валу
При приложении нагрузки скорость ш(/) двигателя падает, причем имеет место колебательный процесс. Максимальный динамический провал скорости Дшдин превышает статическое падение скорости Дсос (см. рис. 4.1).
Вынужденное движение соответствует новому установившемуся со стоянию - номинальной скорости сон электродвигателя. Время переходного процесса (перехода в новое установившееся состояние) составляет tp.
4.3. Переходные и импульсные характеристики САУ
Временные характеристики линейной САУ (динамического звена) мо гут быть определены по ее переходной и импульсной переходной функции.
Одним из наиболее распространенных тестовых воздействий на систе му является единичное ступенчатое воздействие x(t). которое может быть
представлено в виде функции |
|
||
* = |
[0 при t < 0; |
(4.12) |
|
1 |
Л |
||
|
[1 при t> 0 |
|
|
или в виде графика, приведенного на рис. 4.4. |
|
||
Следует отметить, |
что ступенчатое воздействие |
на входе САУ —это |
не только типовое тестовое воздействие. Оно относится к одному из наиболее распространенных программно-временных задающих воздействий, прежде
|
х ^ |
|
1 " |
Рис. 4.4. Единичное ступенчатое |
^ |
воздействие на систему |
------------------------------------------ ► |
всего, в системах цифрового управления, задающие и управляющие воздей ствия которых квантованы по уровню.
Переходная функция (переходная характеристика) hit) - это нормаль ная реакция системы (переходный процесс), вызванная входным единичным ступенчатым воздействием при нулевых начальных условиях. Переходные функции САУ определяют, как правило, по формулам Хевисайда или мето дом математического моделирования. Для наиболее широко распространен ных динамических звеньев САУ имеются аналитические выражения их пе реходных функций [1-5].
Импульсная единичная функция (дельта-функция Дирака) относится также к тестовым сигналам САУ, характеризующим ее свойства во времен ной области. Она представляет собой производную от единичной ступенча
той функции |
|
8(0 = |
(4-13) |
dt
Дельта-функцию можно трактовать как бесконечно короткий по вре мени импульс с бесконечно большой амплитудой, но с конечной площадью, равной единице.
Нормальная реакция САУ на импульсное воздействие - импульсная переходная функция (весовая функция) w(t) системы. Ее легко получить чис ленным или графическим дифференцированием переходной функции. Для наиболее широко распространенных динамических звеньев САУ в учебни ках по теории управления приводятся аналитические выражения их весовых функций [1—5].
Переходные и весовые функции типовых элементарных динамических звеньев приведены в главе 5.
4.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода и дифференциальные уравнения объектов управления
Математические модели технических средств, систем автоматизации и управления весьма многообразны и могут быть достаточно сложными. В ча стности, на сложность электромеханических систем управления влияет мно жество факторов: число, тип и последовательность звеньев (кинематических
пар), компоновочные схемы размещения приводов механических подсистем и конструкции передаточных механизмов, наличие устройств уравновеши вания и динамической развязки движений и др. Для определения их матема тических моделей, в общем случае, применяют весьма сложные уравнения Лагранжа-Максвелла [1,2].
Механические системы, как правило, имеют значительно большую инерционность по сравнению с инерционностью электромагнитных цепей электроприводов, приводящих их в движение, что позволяет при составлении математических моделей механических систем в форме дифференциальных уравнений использовать более простые уравнения Лагранжа 2-го рода [2]:
(4.14)
где q, q , Q(q, q) - векторы обобщенных координат, скоростей и обоб щенных сил;
£K(q,q) - кинетическая энергия механической системы.
Решение уравнения (4.14), т. е. математическую модель механического объекта управления, представляют в форме системы обыкновенных диффе ренциального уравнений, разрешенных относительно вторых производных обобщенных координат (обобщенных ускорений), т. е.
(4.15) Для составления уравнений Лагранжа составляют расчетную схему механической системы, учитывающую геометрические размеры механиче ских звеньев, тип и распределение (порядок расположения) кинематических
пар, массы звеньев, упругие свойства кинематических связей.
Составление дифференциальных уравнений движения материальной системы на основе уравнений Лагранжа проводят в следующей последова тельности:
1)определяют число п степеней свободы материальной системы;
2) выбирают систему координат и вводят независимые обобщенные
координаты q\,qi,..^qn\ q = ~ вектор обобщенных координат;
их число должно быть равно числу п степеней свободы механической си стемы;
примечание: обобщенные координаты - |
независимые параметры, од |
нозначно определяющие положение точек материальной системы; |
|
3) определяют обобщенные силы |
системы Qu Qi,..., Qn\ |
Q = [Qi>62 v«.>Q„]T - вектор обобщенных сил;
примечание 1: для определения обобщенной силы Q, , соответствую щей /-й обобщенной координате, надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном пере
мещении bqt ; при этом все остальные обобщенные возможные перемещения принимают равными нулю; тогда
е ч |
|
— ; |
(4.16) |
Ьд, |
|
примечание 2: если силы, действующие на систему потенциальны (од нозначно определяются только положением материальных точек системы), то обобщенную силу £?, можно найти как частную производную потенциаль
ной энергии по обобщенным координатам, т. е. |
|
а = - |
(4.17) |
где потенциальная энергия системы £п определяется как функция обобщен ных координат, т. е. £ n = £ n(q ); потенциальная энергия, создаваемая силами тяжести звеньев механической системы, для z'-го звена массой т, равна Еи(#,) = т д А ^ , где А/г, - высота подъема центра масс /-го звена, g - ускоре ние силы тяжести; потенциальная энергия, создаваемая силами упругости
упругого звена (например, пружины), для /-го звена равна Еп(дг) = |
, |
где с, - жесткость упругого звена, Ад, - угол закручивания (приращение обобщенной координаты);
4) вычисляют кинетическую энергию Ек системы как функцию обоб щенных координат и скоростей, т. е. £ K(q,q); кинетическая энергия матери альной системы определяется как сумма кинетических энергий всех п мате риальных точек системы
£ K(q.4) = E'«,v/2(q>q). |
(4.18) |
/= 1 |
|
Использование формулы (4.18) ориентировано на концепцию распре деленных масс механической системы и требует определение абсолютных
скоростей v, (q, q) достаточно большого множества материальных точек системы с массами /и,.
Кинетическая энергия в частных случаях движения твердого тела:
- при поступательном движении: £ к = 0,5mv2, где т - масса твердого тела, v - скорость любой его точки;
- при вращательном движении вокруг неподвижной оси: £ к = 0,5J ZCD ,
где Jz - момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения, со - угловая скорость вращения;
при вращательном движении вокруг неподвижной точки:
Ек = 0,5/со2, где J - момент инерции твердого тела относительно мгновенной
оси вращения, со - модуль мгновенной угловой скорости.
Если в твердом теле удается выделить оси материальной симметрии и, соответственно, главные центральные оси инерции, то кинетическую энер
гию тела определяют по формуле |
|
|
|
|
|
||||||
£ к = 0,5/ии* + 0,507,0)* + J уи>) + J,®]), |
|
(4.19) |
|||||||||
где Jx, J |
J z - осевые моменты инерции твердого тела; |
||||||||||
сох, со^,сог- |
|
проекции мгновенной |
угловой |
скорости на соответст |
|||||||
вующие координатные оси;. |
|
|
|
|
|
||||||
5) определяют частные производные кинетической энергии по обоб |
|||||||||||
щенным скоростям, т. е. |
5£K(q,q) |
d£K(q,q) |
d£K(q,q) , а затем вычисля- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ц\ |
|
дд2 |
|
дЯп |
|
ют их производные по времени: |
|
d 3£I((q,q)N| |
|
||||||||
d |
(X(q>q)] |
d |
3£K(q,q)^ |
|
|||||||
|
|
|
|
, |
1•••» . |
дЯп J |
|
||||
Л 1 |
3<?i |
) ’ dt v. |
&Яг |
dt l |
|
||||||
6) находят частные производные кинетической энергии по обобщен- |
|||||||||||
ным координатам, т. e. d£K(q,q) |
<5£K(q, q) |
” |
d£K(q,q) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
dqi |
|
dq2 |
dq„ |
’ |
|
7) |
|
полученные в п. 3-6 результаты подставляют в уравнение (4.14) |
дифференциальные уравнения разрешают относительно вторых производ ных по времени обобщенных координат, т. е. записывают уравнение движе ния механической системы в форме (4.15).
В качестве примера составления уравнения Лагранжа для начала рас смотрим кинематическую схему маятника, приведенную на рис. 4.5.
Рис 4.5. Кинематическая схема маятника
1. Число степеней свободы материальной системы п = 1.
2.В качестве обобщенной координаты механической системы примем угол ф отклонения нити маятника от вертикальной оси.
3.Для определения обобщенной силы 2, (я=1) надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщен ном возможном перемещении 5ф. Единственной активной силой является
сила тяжести маятника P^mg. Так как нить рассматривается нерастяжимой, то она является идеальной связью. Работа силы тяжести на возможном пере мещении 5ф
З Л --Р 1 БШфбy =-m g l этфбф.
Заметим, что работа является отрицательной, т. к. знаки вращающего момента, вызванного силой Р и приращения 5ф, разные.
Отсюда с учетом (4.16)
Qx = -PI sin ф = -mgl sin ф .
Полученная обобщенная сила имеет размерность момента (нм).
Обобщенная сила Q\ может быть определена иначе - на основе расчета потенциальной энергии системы Еп(ф) - - Р 1 cos ф = -mq I cos ф:
-mgl sin ф.
4.Кинетическая энергия системы (твердого тела с массой т) при вр щательном движении вокруг неподвижной оси:
ЕК=0>5/2ф2,
где Jz - момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения, на
правленной перпендикулярно плоскости рисунка; для невесомой нити и то-
2
чечной массы т имеем J 2 - т1 \
ф- угловая скорость вращения.
5.Частная производная кинетической энергии по обобщенной скоро-
сти — - = а ее производная по времени Эф6
d _ fdE ^ = У2ф. dt\d<$ ,
6. Кинетическая энергия Ек не зависит от обобщенной координаты ф, следовательно, частная производная кинетической энергии по обобщенной координате
дЕи
Эф
7. После подстановки полученных выражений в уравнение Лагранжа
(4.14) получим
У2Ф = - mgl sin cp |
(4.20) |
или с учетом допущений, принятых для нити и массы маятника, |
|
ф= —-y-sinф . |
(4.21) |
Полученные дифференциальные уравнения (4.20), (4.21) являются ди намическим уравнением движения маятника.
Рассмотрим в качестве примера расчетную схему более сложного ме ханизма с тремя степенями подвижности, приведенную на рис. 4.6. Такая схема соответствует механизмам переносных движений роботов-манипу- ляторов, портальных кранов, ротационных стендов и т. п.
Платформа механизма совершает вращательное движение вокруг оси Z\ со скоростью ф . Каретка (ползун) массой т2 перемещается вдоль радиуса вращения платформы (оси X) со скоростью х . Груз (изделие) массой т 3 по ворачивается вокруг оси У (ось У направлена касательно к радиусу х враще ния каретки, проходит через центр ее масс т2) и отстоит на расстоянии / от оси вращения.
1. В число обобщенных координат механизма включим угол ф поворо та платформы против часовой стрелки, радиус х перемещения каретки от оси вращения платформы и угол а поворота ИП вокруг оси Х2 против часовой стрелки, т. е. q = [q} q2 <7з]т =[ф х а ]т
2. Будем полагать, что приведенный к валу платформы момент инер ции равен 7,, а массы т2 радиально перемещаемой каретки и w3 перемещае мого груза сосредоточены в их центрах масс.
|
3. Вектор обобщенных сил, действующих на систему (см. рис. 4.6), |
|||||
|
Q ~ [й |
Qi |
2з ]т = \М \ - |
м с\ F 2 - Fc2 м ъ- м сЪ- |
. |
|
|
- m 3g l cos а] , |
|
|
|||
где |
М и |
- вращающие моменты электроприводов на валах платформы и |
||||
груза, |
K.I, И з - |
реактивные моменты сопротивления на валах платформы и |
||||
груза, |
||||||
m ^ g lcos а |
активный |
момент сопротивления вращению груза, вы |
||||
|
||||||
званный силой тяжести груза, |
|
|
||||
|
F2, Fc2 - сила радиального перемещения каретки и сила сопротивления |
|||||
этому перемещению (см. рис. 4.6). |
|
|||||
|
4. |
Кинетическую энергию стенда представим в виде суммы кинетиче |
||||
ских энергий платформы, каретки и груза, т. е. |
|
|||||
|
Ек =Ек[ + Ек2+ Ек3 > |
|
(4.23) |
|||
где |
£ к1 = 0 ,5 J^ 2* |
|
(4.24) |
|||
|
J x - момент инерции платформы, включающей приведенный к ее валу |
|||||
момент инерции электропривода платформы; |
|
|||||
|
£к2 =0,5m2vl2; |
|
(4.25) |
|||
|
Екз =0,5т3и*3, |
|
(4.26) |
|||
где |
ис2, ис3 - абсолютные скорости центров масс соответственно каретки и |
|||||
платформы. |
|
|
|
|
||
|
Каретка (ползун) совершает сложное движение, и абсолютная скорость |
движения ее центра масс ис2 состоит из переносного вращательного движе ния платформы и относительного движения каретки вдоль оси X ее линейно го перемещения, т. е.
а следовательно,
Ек2 = 0,5 т2х 2(р2 + 0,5 т2х 2 (4.27)
Груз также совершает сложное движение, и скорость движения его центра масс ос3 состоит из рассмотренного выше переносного сложного движения каретки и относительного движения груза вокруг оси Y. Применяя теорему о сложении скоростей точки к точечной массе /я3, получим
v23 = (* + / с0Б а)2ф2 + X2 + / 2d 2 - 2 /sinoti:d,
а следовательно,
£к3 = 0,5/и3(;с+/cosa)2(p2 4-0,5m3i 2 + 0,5m3/2a 2 -
(4.28)
-m3/sina id .
Подставляя полученные выражения в (4.23), имеем
£ к = 0,5[У, 4-т2х 2 4-т3(х + / cosa)2]<p2 4-0,5(m2 + m3) i 2 +
(4.29)
+0,5m3/2oc2 -m 3/s in a ia .
5.Частные производные кинетической энергии по обобщенным скоро
стям
-* - = 1/1 + щ х1+ m3(* + /cosa)2](p,
Эф
дА - = (т2 + m3)i-/w 3/sina a ,
дх
- ^ = m3/2d - m 3/s in a i. da
Возьмем производные по времени полученных выражений, имея в виду, что все обобщенные координаты и скорости являются функциями вре мени:
— [ 1 = 2[т2 хх + т3(х +1cosa)(i - / sin а а)]ф 4- |
||
dt\d<s>) г |
2 |
21 |
+ [/{+т2х |
|
+тъ(х + 1cosa) J ф , |
д (дЕЛ , |
.. |
, |
. 2 |
, . .. |
— — - I = (т2 + т3) х - т 31cosa a |
-/H3/sina а, |
d t \ d x )
д(дЕк'
= т 3/ a-ffij/cosa air-ffjj/sina дг.
d/v da J
6. Частные производные кинетической энергии по обобщенным коор динатам
8Е.
= 0 ,
Эф
ЭЕ.
- = [(т2 + тъ )х + тъ1cos а]ф2, Эх
дЕ, = ю3/cosa(;c-/sina^ 2 - т 3/cosa i d
да