книги / Теория автоматического управления. Линейные системы управления
.pdf2.Оценить запас по фазе в нескорректированной системе.
3.Определить необходимый дополнительный фазовый сдвиг ф^.
4.вычислить параметр к по выражению (10.10).
5.Найти частоту о)т , при которой ЛАЧХ корректирующего устройства
имеет усиление 101g/c, т. е. частоту, при которой ЛАЧХ скорректированной
системы имеет усиление 0 дБ (частоту среза сос). |
t |
6.Вычислить значения полюса а = (йт^1к и нуля Ь = а/к.
7.При использовании пассивного четырехполюсника скомпенсировать уменьшение коэффициента усиления, введя последовательно с корректи рующим устройством усилительное звено с коэффициентом передачи к
8.Построить частотные характеристики скорректированной САУ, про верить полученные запасы по амплитуде и фазе.
Рассмотрим пример синтеза САУ с опережением по фазе. Пусть объект управления и звено обратной связи по регулируемой координате имеют пе
редаточные функции |
|
|
|
Кру |
_ |
10 |
(10.13) |
К у ( Р ^ Р(Т{р + 1) |
|
р(0,5р + 1)’ |
|
|
|
||
Ww (p) = l- |
|
|
(10.14) |
Тогда передаточная функция разомкнутой САУ |
|
||
WpyipWp^p) |
10 |
(10.15) |
|
|
|
р(0,5 р+\)
Требуется, чтобы при линейном задающем воздействии X{t) относи тельная установившаяся динамическая ошибка составляла не более 5 %, а за
пас по фазе составлял около 40° В соответствие с (4.8) и табл. 4.1 коэффициент передачи разомкнутой
САУ должен быть не менее коэффициента ошибки по скорости |
|
|||
Х (‘) |
X(t) |
= 20. |
(10.16) |
|
К ,= s(0 |
0,05X{t) |
|||
|
|
|||
Отсюда частотная передаточная функция нескорректированной САУ |
||||
|
|
20 |
|
|
»'oyU ® )^oc(» = -7(0(0,570)i/VWIl ^ lfi\ +LIIl) |
(10 17) |
Фазовая характеристика нескорректированной САУ
ф(о) = -90° - arctg(0,5co). (10.18) На рис. 10.7 диаграмма Боде нескорректированной САУ приведена
сплошной полужирной линией.
Частота среза нескорректированной САУ сос = 6,2 рад/с, а значит, в со ответствие с (10.18) фазовый сдвиг ф(сос) = -90° - arctg(0,5 • 6,2)» -162°
\
Рис. 10.7. Дишрамма Боде САУ при коррекции с опережением по фазе
Таким образом, запас по фазе составляет 18° и требуется ввести кор ректирующее устройство, обеспечивающее опережение по фазе
Ф к у (© ) = Фт (©) = 4 5 ° - 1 8е = 2 7 е * 3 0 е |
(1 0 .1 9 ) |
Найдем кратность отношения полюса к нулю корректирующего уст ройства, воспользовавшись (10.10):
|
. к - 1 |
(10.20) |
Ф т |
= arcsm------ = 30°, |
|
|
А + 1 |
|
откуда к = 3.
Амплитудная характеристика корректирующего устройства на частоте <от имеет значение lOIgA = 101g3 « 4,8 дБ. Поскольку именно на столько по
вышается коэффициент передачи скорректированной САУ (частота соот, со ответствующая <pm, должна совпадать с частотой среза скорректированной
САУ), то ©с= 8,4 рад/с. Отсюда д = comV£=14,5 рад/с, b = а / к = 4,85 рад/с.
Таким образом, передаточная функция корректирующего устройства с опережением по фазе имеет вид
(Кх!КЛ{к1Р -И) |
2 [(1 / 4 ,8 5 )/ ? + 1] |
( 10,21) |
|
Т / 7 + 1 |
(1 / 1 4 ,5 )/ ? + ! |
||
|
Если корректирующее устройство выполнено в виде пассивного четы рехполюсника, то его коэффициент передачи необходимо увеличить в к раз.
Таким образом, передаточная функция разомкнутой скорректирован ной САУ имеет вид
| £ |
1 L . |
< ,o ,2> |
Диаграмма Боде скорректированной |
САУ (штриховые |
полужирные |
линии) приведена на рис. 10.7. Фаза передаточной функции (10.22) на часто те среза
Ф К ) = ~90° - arctg(0,5coc)-arctg((l/J4,5)coc)+ arctg((l/4,85)a>c) я -137° Тогда запас по фазе скорректированной САУ Дф(сос) = 180°-ф(сос)«43°, что отвечает исходным требованиям к
САУ
10.3.2. Коррекция с отставанием по фазе
Рассмотрим корректирующее устройство, выполненное на основе опе рационного усилителя (см. рис. 10.6) с передаточной функцией
_ Кку(Т[р + \ ) _ Кку(тр + 1)
^ку (/>) = - Т2 р + \ |
(10.23) |
ктр + \ |
где Кку = /?2 / R\, Т\ = R\C\, Т2 = RI C2, т = 7J, А = Г2 / Гь т. е. для реализации
отставания по фазе, как и для звена с опережением, должно выполняться ус ловие: k> 1.
Его частотную характеристику можно записать в виде
, . ч |
*кУ1К ® 0 + 1] |
(10.24) |
||
^ку(уц>)= |
\ |
.-■■■■■, |
||
|
|
у(шАт) + 1 |
|
|
где т = 1/ 6, |
к = Ь/а. |
|
||
Таким образом, для данной структуры корректирующего устройства |
||||
необходимо выбрать 3 параметра: К^, |
т , к. |
|||
На рис. |
10.8 приведено расположение полюса и нуля на комплексной |
|||
плоскости, а на рис. |
10.9 - диаграмма Боде корректирующего устройства с |
отставанием по фазе.
Поскольку по модулю нуль больше полюса, асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон -20 дБ/дек в области средних частот, т. е. при а <со < b . Фазо
вая характеристика в соответствие с (10.24) определяется уравнением |
|
ф(со) = arctg( ют) - arctg( ю/ст). |
(10.25) |
Отрицательный фазовый сдвиг имеет максимальное значение на часто те сош, определяемой как среднегеометрическое значений полюса и нуля, т.е.
(10.26)
|
усо |
|
|
-0- |
о |
|
|
-fr |
|
||
-b |
-a |
|
|
Рис. 10.8. Расположение полюса |
Рис. 10.9 Диаграмма Боде кор |
||
н нуля корректирующего звена |
|||
ректирующего звена с отставанием |
|||
с отставанием по фазе |
|||
по фазе |
|||
|
|
\ |
Чем больше кратность отношения нуля к полюсу, тем больше макси мальный отрицательный фазовый сдвиг, вносимый корректирующим уст ройством и больше его дестабилизирующее действие. Компенсация такого отрицательного явления, т. е. увеличение запаса по фазе, обеспечивается корректирующим устройством за счет снижения коэффициента усиления на -201gA. При этом происходит снижение частоты среза и, тем самым, полосы пропускания скорректированной САУ, а значит, повышается помехозащи щенность системы.
Синтез корректирующего устройства с отставанием фазы выполняют в следующей последовательности:
1.Определить требуемый коэффициент ошибки в нескорректирован ной системе и вычислить необходимый коэффициент Кку корректирующего устройства. Построить диаграмму Боде нескорректированной системы.
2.Оценить запас по фазе в нескорректированной системе.
3.Сдвигая ЛАЧХ влево, выбрать частоту среза скорректированной САУ ю'с < сос, на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе.
4.Выбрать частоту излома (сопрягающую частоту) (пь, соответствую щую нулю корректирующего устройства, на декаду левее со'с.
5.Определить, на сколько необходимо уменьшить усиление скоррек тированной САУ на частоте ©[., чтобы ЛАЧХ с корректированной САУ на
этой частоте имела единичный коэффициент усиления (уровень 0 дБ).
6. Вычислить параметр к, учитывая, что корректирующее устройство на частоте ш'с вносит ослабление -20lgA.
7. Частоту излома со,, (сопрягающую частоту), соответствующую нулю корректирующего устройства, выбрать на декаду левее частоты среза «£..
Найти частоту излома, соответствующую полюсу корректирующего устрой ства, <оа = \/кт = (оь /к .
8. Построить частотные характеристики скорректированной САУ? проверить полученные запасы по амплитуде и фазе.
Рассмотрим пример синтеза САУ с отставанием по фазе. Пусть сбъ&а управления и звено обратной связи по регулируемой координате имеют* пе редаточные функции (10.13), (10.14).
Будем полагать также, что к системе управления предъявляются те же требования, что и в предыдущем примере (относительная установившаяся динамическая ошибка - не более 5%, а запас по фазе - не менее 40*).
В соответствие с (5.8) и табл. 5.1 коэффициент передачи разомкнутой САУ должен быть не менее коэффициента ошибки по скорости ( = 20 )„ а частотная передаточная функция будет иметь вид (10.17). Диаграмма Боде нескорректированной САУ будет такой же, что и в рассмотренном выше примере. На рис. 10.10 ЛАЧХ и ЛФЧХ нескорректированной САУ представ лены сплошными полужирными линиями.
Частота среза нескорректированной САУ юс = 6,2 рад/с, а значит,, в со
ответствие с (10.18) фазовый сдвиг ср(сос) = -90° - arctg(0p-6,2) ~ -162х
Запас по фазе составляет 18° Введем корректирующее устройство с передаточной функцией, обеспечивающее отставание по фазе.
Сначала определим частоту среза ю'с, обеспечивающую фазовый сдвиг ЛАЧХ ср(со)« -130°, т. е. запас по фазе около 50° Частота среза е/с скоррек тированной САУ, на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе, составит около 1,5 рад/с, а коэффициент усиления системы умень
шится на 20 дБ. |
|
Учитывая, что корректирующее устройство на частоте |
вносит ос |
лабление -201gк, получим 20 дБ = 201gА, откуда определим параметр к кор ректирующего устройства: А=10. Тогда частоты излома скорре!гшрова1Нной ЛАЧХ, соответствующие нулю и полюсу корректирующего устройства, со,, = сос/10 = 0,15 рад/с, соа = со6/Л:= 0,015 рад/с.
ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной САУ представлены на рис. 10Л0 пунктирными кривыми, а ЛАЧХ корректирующего устройства - штрихпунктирной линией.
Таким образом, передаточная функция корректирующего устройства с опережением по фазе имеет вид
К у (Р )= |
( K i / K ^ i x p + i) |
|
2[(1/0,15)/? + 1]_ 2[6,67р + 1] |
(10.27) |
||
kip + \ |
~ |
(1/0,015)/? + ! ~ 66,7р |
+1 |
|||
|
|
/.(дБ )
Рис. 10.10. Диаграмма Боде САУ при коррекции с отставанием по фазе
Корректирующее устройство (10.23) реализуют на основе операцион ного усилителя (см. рис. 10.6) при Т2>Т\.
Таким образом, передаточная функция разомкнутой скорректирован ной САУ имеет вид
20[6,67 р + \] |
(10.28) |
|
^(pWoy(PWoc(p) = -р(0,5 р + 1)(66,7 /? + 1) |
||
|
||
Фаза частотной передаточной функции, соответствующей (10.28), на |
||
частоте среза 1,5 рад/с |
|
|
ф(юс) = -90° -arctg(0,5(oc)-arctg(66,7coc) + arctg(6,67o)c)»-132° |
|
Тогда запас по фазе скорректированной САУ Аф(©с) = 180° -<р(сос)«48°, что отвечает исходным требованиям к
САУ.
В отличие от САУ, имеющих коррекцию с опережением по фазе, поло са пропускания и, соответственно, быстродействие систем, имеющих кор рекцию с отставанием по фазе, будет ниже, однако они менее подвержены влиянию внешних и внутренних шумов.
10.3.3. Коррекция введением интеграторов
Введение интеграторов в структуру устройства управления позволяет повысить точность системы в установившихся режимах за счет увеличения значений коэффициентов ошибок и повышения порядка астатизма САУ (см. раздел 4.2). В качестве регуляторов (корректирующих звеньев), обеспечи вающих повышение статической точности САУ, применяют интегральный (И), пропорционально-интегральный (ПИ) или пропорционально-интег рально-дифференциальный (ПИД) регулятор. Структура применяемого регу лятора зависит как от структуры объекта управления, так и от требований к точности САУ.
Рассмотрим пример коррекции САУ введением в структуру САУ1по следовательного с объектом корректирующего звена, содержащего интегра тор. Пусть передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид
Ky(pWoc(p)= ■ 1 х1. - |
(10.29) |
р(0,05р +1) |
|
Потребуем, чтобы при линейном задающем воздействии X(t) устано вившаяся динамическая ошибка отсутствовала, а при квадратичном во вре мени задающем воздействии составляла не более 2 %. Потребуем также, что бы запас по фазе составлял не менее 35°
Частотная передаточная функция нескорректированной САУ
^oy(MKc(J<0)= ■ |
. |
(10.30) |
уусо(0,05уш + 1)
Диаграмма Боде нескорректированной САУ приведена на рис. 10.11 сплошными линиями.
В соответствие с (4.8), (4.9) и табл. 4.1 коэффициент ошибки по ско рости САУ будет равен нулю, а коэффициент ошибки по ускорению будет отвечать заданной точности, если структура скорректированной разомкнутой САУ будет содержать интегратор 2-го порядка, а коэффициент передачи ра зомкнутой САУ
т |
т |
50. |
(10.31) |
е(/) |
= |
||
0,02Л"(0 |
|
|
Объект управления (10.29) содержит один интегратор. Введение дополнительного интегратора (корректирующего устройства) в структуру САУ приводит к увеличению фазового запаздывания и резкому снижению запаса устойчивости. В связи с этим зададимся пропорционально интегральной (ПИ) структурой корректирующего устройства, создающего опережение по фазе:
Т |
р +1 |
(10.32) |
М'ку(р) = Кку- |
^ — , |
|
где Khy= К2 = 50, |
|
|
Гку - постоянная времени корректирующего |
устройства, причем для |
|
создания опережения по фазе необходимо выбрать Гку>0,05 с. |
||
Потребуем, чтобы скорректированная ЛАЧХ была симметричной от |
||
носительно частоты |
среза, причем ее наклон на |
частоте среза составлял |
20 дБ/дек. Зададимся геометрическим характером расположения корней ха рактеристического полинома скорректированной САУ, отвечающим опти мальным фильтрам Баттерворта [1, 4], т. е. пусть корни (полюсы и нули) ра зомкнутой передаточной функции отличаются в 2 раза. Тогда сос = 10 рад/с,
Гку = 0,2 с.
Рис. 10.11. Диаграмма Боде САУ при коррекции
введением интегратора
Отсюда частотная передаточная функция скорректированной САУ
^ ( • /ttF o y ( » ^ 0С(7Ш) = - 5-Т |
’2^ +1} п ■ |
(10.33) |
(усо) |
(0,05 7(0 +1) |
|
Диаграмма Боде скорректированной САУ приведена на рис. 10.11 пунктирными линиями, ЛАЧХ корректирующего устройства - штрихпунктирными линиями.
Фаза частотной передаточной функции (10.33) на частоте среза, равной
10 рад/с, ср(сос) = -180° -arctg(0,05coc) + arctg(0,2coc) * -143°
Запас по фазе скорректированной САУ Д<р(сос) = 180° - ф(сос)«37°, что
отвечает исходным требованиям к качеству САУ
10.4. Синтез систем с подчиненным регулированием координат
Стуктурная схема многоконтурной САУ с подчиненным регулировани ем координат объекта управления приведена на рис. 10.12.
Основные положения принципа подчиненного регулирования координат изложены ниже.
1. Объект управления представляют в виде п последовательно соединенных простейших линейных динамических звеньев с одним-двумя доминирующими полюсами (интегральных, апериодических первоговторого порядка) - Woy X(р), W0yt2{p\ •••, ^оУ>п(р), где п - число контролируе
мых переменных.
Устройство управления |
Объект управления |
Рис. 10.12. Стуктурная схема многоконтурной системы с подчиненным регулированием координат объекта управления
2. В передаточную функцию младшего подобъекта управления ^ oy,i(p) включают фильтр с эквивалентной малой (некомпенсированной) постоянной времени контура Гц, определяющей такие важнейшие свойства системы управления, как быстродействие, точность и помехозащищенность.
3.Устройство управления представляют в виде п последовательно со единенных регуляторов класса “вход-выход”
4.Синтез САУ начинают с младшего (внутреннего) контура регулиро вания и заканчивают старшим (внешним) контуром, применяя единую типо
вую методику (см. раздел 10.5).
5.Каждый синтезированный замкнутый контур регулирования аппрок симируют оптимальным звеном первого-второго порядка и после синтеза присоединяют к объекту управления последующего контура.
6.Ограничение координат объекта управления на допустимых уровнях осуществляют ограничением задающих воздействий соответствующих кон
туров регулирования.
В многоконтурных электромеханических системах подчиненного ре гулирования координат наиболее распространены настройки отдельных кон туров на технический (модульный) и симметричный оптимум.
Настройка на технический оптимум.
При настройке контуров регулирования на технический оптимум (ТО) передаточные функции замкнутых контуров регулирования представляют в виде фильтров Баттерворта второго порядка:
wv {P) = \/{[г%р(г”- % р + 1]л:ос,,)}, |
(щ.34) |
где i=\,...,n.
Передаточная функция оптимального регулятора в этом случае имеет
вид: |
|
» м (Р ) = |
(10.35) |
2V W 'oy.iO ’)
Переходный процесс в младшем контуре регулирования представлен кривой 1, рис. 10.13. Время регулирования младшего контура составляет
около 8 Гц, в остальных контурах оно будет, как минимум, в 2'-1 раз больше, 1 = 2,...,«.
Рис. 10.13. Кривые оптимальных переходных процессов в САУ
Настройка на симметричный оптимум.
При настройке контуров регулирования многокоитурной САУ на сим метричный оптимум (СО) их передаточные функции представляют в виде оптимальных звеньев третьего порядка. Для этого передаточные функции замкнутых контуров регулирования, настроенных на ТО (см. выше), и соот ветствующих регуляторов умножают на изодромное звено вида
2'+| Т^р +1 |
(10.36) |
W,(p) = |
|
2'+V |
’ |
где i - номер синтезируемого контура регулирования, / = 1,.. .,л.
Такая настройка контуров регулирования обеспечивает астатизм пер вого порядка по задающим воздействиям (теоретически нулевую статиче