книги / Теория автоматического управления. Линейные системы управления
.pdf)Ч(со
Рис. 8.7. Построение переходного процесса с помощью
|
трапецеидальных ВЧХ |
( т |
Л |
|
(8.12) |
V®0i J
где т - табличное время, связанное с истинным временем соотношением
т= й оо*; Лх(т) - табулированная функция (Л-функция), определяемая по специальным
таблицам [1, 2] в зависимости от %и т;
4) |
определяют h(t) (см. рис. 8.7) как сумму составляющих х, (/), т. е. |
п |
(0 , где п - число трапеций. |
h(t) = |
|
/= | |
|
8.2.3. Оценка качества по ЛАЧХ разомкнутой САУ
Оценка качества замкнутой системы по ЛАЧХ разомкнутой системы производится путем сопоставления ее фактической ЛАЧХ с так называемой желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы, при которой обеспечиваются пере ходные процессы в системе, близкие к оптимальным. При построении такой желаемой ЛАЧХ руководствуются следующими соображениями:
1)участок низких частот ЛАЧХ определяет допустимую установив шуюся ошибку в системе, а следовательно, ее коэффициент передачи в ра зомкнутом состоянии и порядок астатизма;
2)участок средних частот определяет запас устойчивости системы (на этом участке расположена частота среза ЛАЧХ);
3)высокочастотный участок определяет начало переходного процесса
имало влияет на показатели качества системы.
На рис. 8.8 приведен примерный вид желаемых ЛАЧХ и ЛФЧХ ра зомкнутой системы (желаемой диаграммы Боде).
Если система статическая, то на участке низких частот ЛАЧХ должна идти параллельно оси абсцисс и иметь ординату 201g&. Коэффициент переда чи разомкнутой системы определяется из выражения (4.3) с учетом допусти мой установившейся ошибки регулирования при подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия.
Если система должна иметь астатизм 1-го порядка, то на участке низ ких частот ЛАЧХ должна иметь наклон -20 дБ/дек (см. полужирную пунк тирную линию на рис. 8.8). Если порядок астатизма должен быть выше, то на участке низких частот ЛАЧХ должна иметь наклон -40 дБ/дек или даже -60 дБ/дек (см. полужирную штрихпунктирную линию на рис. 8.8). При © = =1 ЛАЧХ должна проходить через точку с ординатой 201g£ как статической, так и астатической систем.
Частота среза участка средних частот выбирается с учетом заданных времени регулирования /р и перерегулирования о %. Между временем регу лирования и частотой среза имеется следующая приближенная зависимость:
(8.13)
р
где Р - коэффициент, зависящий от перерегулирования а % (рис. 8.9) [1].
Р
3
|
2 |
|
Рис. 8.9. Приближенная зависимость |
1 |
|
Р=Д о% ) |
о |
10 20 30 о% |
|
Система имеет наиболее благоприятный переходный процесс при на клоне ЛАЧХ -20 дБ/дек в интервале частот сок1 < о с < соК2.
Имеется несколько рекомендаций по выбору сопрягающих частот шК1и
^к2 [1> •
Интервалы частот между частотой среза шс и coKi , со^ рекомендуют вы бирать равными (0,5...0,9) дек [1].
Эти интервалы частот также можно выбирать по значениям ЛАЧХ на частотах соК| и со^.
Значение L\ ЛАЧХ в начале этого интервала соК| выбирают из условия, чтобы значение ЛФЧХ (см. рис. 8.8) на этой частоте было не менее ф|=40° При этом значение ЛФЧХ при частоте среза сос должно быть равно требуе мому запасу устойчивости по фазе ф (сос) =■у = 30.. .45°.
Значение L2 ЛАЧХ в конце интервала 0)к2 выбирают равным требуемо му запасу устойчивости системы по модулю в децибелах L2= Ю...20 дБ. Ино гда запас устойчивости системы по модулю рекомендуют выбирать в зави симости от допустимого перерегулирования в системе по графику, приве денному на рис. 8.10 [1].
Рис. 8.10. Приближенная зависимость
Li =Ла%)
С учетом изложенного рекомендуется следующий порядок построения желаемой ЛАЧХ:
1) с учетом требуемой статической ошибки регулирования выбирается коэффициент передачи разомкнутой системы к или порядок астатизма; через точку (201gA, 1) проводится участок низкочастотной ЛАЧХ с нулевым накло ном к оси абсцисс (для статической системы) или с наклоном -20 дБ/дек, -40 дБ/дек или -60 дБ/дек (для астатической системы 1-, 2- или 3-го порядка);
2)исходя из требуемого времени регулирования tp, по формуле (8.13) определяется частота среза сос;
3)через точку (0, сос) проводится участок среднечастотной ЛАЧХ с на клоном -20 дБ/дек;
4)сопрягающие частоты шК| и сок2 определяются по требуемым значе ниям ф(шК|) ЛФЧХ на частоте coKi и L2(O>k2) ЛАЧХ на частоте сок2;
5) через точку (L2, ш^) проводится прямая с наклоном -40 дБ/дек ил -60 дБ/дек, определяющая характер ЛАЧХ в области высоких частот.
Наклон ЛАЧХ в интервале частот coi<oo<coK и а)>сок2 выбирается из ус ловия наиболее простой практической реализации ЛАЧХ, так как характер ЛАЧХ в этих интервалах частот существенного влияния на переходный про цесс в системе не оказывает. После построения желаемой ЛАЧХ системы путем изменения параметров настройки регулятора (корректирующего устройства) добиваются удовлетворительного совпадения фактической ЛАЧХ системы с желаемой.
Показатели качества регулирования (перерегулирование, время регу лирования, колебательность и т. д.) после определения структуры и парамет ров регулятора определяются по фактической ЛАЧХ системы. Методы опре деления структуры и параметров оптимальных регуляторов, т. е. решение задачи синтеза системы, рассмотрены в гл. 10.
8.2.4.Интегральные оценки качества
Воснове интегральных оценок качества лежит предположение, что ка чество регулирования тем выше, чем меньше площадь между кривой пере ходного процесса и заданным значением регулируемой переменной. Инте гральные оценки качества являются строгой математической формулировкой понятия качества системы, и их минимизация позволяет определить опти мальные параметры системы управления, т. е. решить задачу параметриче ского синтеза системы. Для этой цели применяются процедуры безусловной
иусловной оптимизации [1, 2, 5].
Наибольшее применение для косвенной оценки качества САУ находят интегральные оценки вида [1, 5]:
J = js(t)dt |
min ; |
(8.14) |
о |
|
|
J = \z 2(t)dt -> min; |
(8.15) |
|
о |
|
|
j = J|e(/) + C |
jd/->min; |
(8.16) |
J - \\z(t)\dt -» min; |
(8.17) |
|
о |
|
|
J = Jt\z(t)\dt |
min, |
(8.18) |
о
где e(/) - текущая ошибка регулирования, являющаяся функцией времени;
С - некоторый весовой коэффициент, характеризующий допустимую скорость изменения ошибки регулирования, а следовательно, выходной ко ординаты в переходном процессе.
В критерии (8.14) подынтегральное выражение линейно относительно ошибки регулирования, и такая оценка применяется только для апериодиче ского переходного процесса, когда ошибка имеет положительный знак.
Интегральная квадратичная оценка (ИКО) вида (8.15) применяется при колебательном характере переходных процессов, характеризующихся сме ной знака ошибки регулирования. Интегральная квадратичная оценка (8.16) применяется в тех случаях, когда требуется учитывать ограничения энергии управления.
Широко используемым видом оценки качества является интеграл от модуля ошибки (ИМО) - (8.17), позволяющей учесть смену знака подынте гральной функции.
Чтобы уменьшить вклад начальной ошибки в интеграл (8.17) и учесть связанную с этим ошибку, была предложена [5] оценка в виде интеграла от взвешенного модуля ошибки (ИВМО) в виде (8.18).
Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы
2-го порядка имеет вид: |
|
03п |
1 |
Щ р) = |
(8.19) |
Р +2Ссоп/? + о)п |
р +2С>р + \ |
где £ - коэффициент затухания.
Нормированное значение собственной частоты принято соп = 1. На рис. 8.11 приведены кривые, отражающие изменение двух из приведенных выше интегральных оценок системы (ИКО и ИВМО) в функции коэффициента за тухания £.
Рис. 8.11. Интегральные оценки
качества системы второго порядка
Как видим, оценка ИВМО по сравнению с ИКО имеет ярко выражен ный минимум (хорошую избирательность), соответствующий £= 0,707, что для данной системы 2-го порядка обеспечивает наиболее быстрое протека ние переходного процесса с перерегулированием около 4,3%.
Рассмотрим еще один пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет достаточно общий вид нерекурсивного фильтра п-го порядка:
Щ р > — „------------ |
т г г |
--------------------- (8 -2° ) |
р + а „ _ хр |
|
+ . . . + а { р + а 0 |
Безусловная оптимизация систем первого-четвертого порядка (я=1...4), описываемых передаточными функциями (8.20), по критерию ИВМО дает оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей этих передаточных функций, приведенные в табл. 8.1. Значения коэффици ентов нормированы относительно собственной частоты колебаний соп.
На рис. 8.12 приведены кривые переходных процессов, соответствующих оптимальным по критерию ИВМО фильтрам первого-четвертого порядка.
Таблица 8.1
Оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей
_______ передаточных функций САУ по критерию ИВМО__________________
Порядок |
Полином знаменателя |
системы |
передаточной функции |
1 |
р + (0п |
п - 2 |
р 2 + 1,4(оп// + юп |
/7=3 |
р 3 + 1,75сопр 2 + 2,15 а > 1 р + со3 |
уг= 4 |
р А + 2,1 р 3 + З,4(03р 2 + 2,7со3 р + со* |
Рис. 8.12. Переходные характеристики, соответствующие оптимизации систем по ИВМО
Графики построены в зависимости от нормированного времени соnt .
Кроме приведенных оценок для оптимизации систем управления при меняются и другие интегральные критерии качества, в частности, лежащее в основе синтеза фильтров Баттерворта, широко применяемых при настройке контуров электромеханических систем управления (см. разделе 10.4).
9. Метод пространства состояний
Широкое распространение компьютеров и мощных систем програм мирования побуждает к исследованию СЛУ во временной области, а следо вательно, к непосредственному использованию описания динамических сис тем управления в форме обыкновенных дифференциальных уравнений без перехода к операторной форме. Кроме того, как уже отмечалось, векторно матричные формы описания и исследования применимы не только к одно мерным, линейным, стационарным САУ, но и к широкому классу многомер ных, нелинейных и нестационарных САУ.
Чтобы получить пригодную для компьютерного синтеза и анализа модель САУ, необходимо представить ее в переменных состояния системы, используя далеко не единственный набор переменных. Следует отметить, что описание систем во временной области в векторно-матричной форме ле жит в основе современной теории управления и оптимизации. В настоящей главе рассмотрены вопросы применения метода пространства состояния к непрерывным системам управления.
9.1. Векторно-матричное описание САУ
Состояние системы - это совокупность значений переменных систе мы (координат состояния), существенных с точки зрения решаемой задачи. В общем случае, в это число включают не только выходные и внутренние пе ременные САУ, но и задающие воздействия, и доминирующие возмущаю щие воздействия внешней среды. Чем полнее достоверной информации о со стоянии системы в текущий момент времени, тем проще определить буду щие значения всех ее переменных. Инженерно-технический персонал, разра батывающий и эксплуатирующий технические системы управления, опери рует, как правило, с такими физическими переменными, которые могут быть измерены с помощью соответствующих датчиков. К таким физическим пе ременным САУ относят ускорение, скорость, перемещение, давление, рас ход, температуру, уровень и т. п. Координатами датчиков технологических координат САУ являются другие переменные - напряжение, ток, частота следования импульсов, двоичный код и т. п., что дает исследователю воз можность выбора для синтеза и анализа необходимого набора координат со стояния САУ.
Векторно-матричная модель многомерной, нелинейной, нестационар ной САУ записывается в виде
X(/) = Q[X(/),U(0,F(/),/], |
1 |
|
Y(/) = R[X(/),U(/),F(/),/], |
J |
(9.1) |
|
|
где Х(/), U(r), F(r), Y(t) - соответственно векторы состояния, управления, |
|
возмущения и выходных (управляемых) координат системы, |
|
Х(/) - вектор первых производных координат состояния, |
|
Q [...], R[...] - |
нелинейные, нестационарные функции координат со |
стояния, управления и возмущения системы. |
|
В уравнении |
(9.1) вектор управления U(f) является, в общем случае, |
некоторой нелинейной нестационарной функцией задающих координат, ко ординат состояния и возмущения САУ и призван обеспечить оптимальное управление системой. Описание многомерных, нелинейных, нестационарных САУ в форме (9.1) не позволяет, как правило, получить инженерное решение задачи структурно-параметрического синтеза оптимального управления U(f), или такое решение приводит к неоправданным затратам на реализацию (в техническом или экономическом аспектах). В большинстве случаев такие модели сводят к одномерным или многомерным линейным (линеаризован ным) квазистационарным моделям, для которых имеются развитые методы и инженерные методики синтеза оптимального управления.
Линейную (линеаризованную! модель многомерной стационарной (квазистационарной) САУ представляют в виде системы обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши: |
|
||||||
= а, |
+ ai2*2 + |
+ |
А |
+ Ьххих+ |
+ ЬХтит, |
|
|
х2 =а2Ххх+а22х2 +... + а2пх„+Ь2Хих+... + Ь2п1ит, > |
(9.2) |
||||||
Xm=anXx\+a„2x2 + |
+amx„+b„xiix+ |
+Ъ„тит. ^ |
|
||||
Эту же систему дифференциальных уравнений можно представить в |
|||||||
векторно-матричной форме: |
|
|
|
|
|||
Х(/) = AX(/) + BU(0, |
|
|
|
(9-3) |
|||
где Х(/), U(/) |
векторы |
(векторы-столбцы) соответственно |
состояния и |
||||
управления САУ, |
|
|
|
|
|
|
|
Х(') = [*|(') |
x2{t)...xn{t)], |
Щ*) = [и,(0 |
м2(/)...«от( 0 ] ; |
|
|||
- символ транспонирования (иногда для обозначения транспониро |
|||||||
вания применяют буквенный символ “т”); |
|
|
|||||
А, В - |
стационарные матрицы соответственно состояния и управле |
ния,
~аи |
а\2 |
а\л" |
л. |
Ь\2 |
а1Х |
а22 |
а2п |
Ь2Х |
^22 |
А = |
|
|
, В = |
|
-О___ 1
^2т
ап2 |
^ПП_ |
А . ЬП2 |
^пт _ |
В общем случае, на объект управления помимо управляющих воздей ствий действуют возмущающие воздействия. В этом случае векторно
матричную модель системы представляют в виде |
|
||
X(/) = AX(/) + BU(0 + C F(0, |
(9.4) |
||
где F(/) - вектор-столбец возмущающих воздействий САУ, С - |
стацио |
||
нарная матрица возмущений, |
|
||
F(0 = [/■(') Л ( |
|
|
|
си |
С,2 |
с\а |
|
С21 |
с22 |
С2d |
|
С"1 |
сп2 |
Cnd |
|
Выходные (управляемые) переменные не всегда непосредственно при надлежат вектору состояния. В линейных САУ они линейно связаны с пере менными состояния, управляющими и возмущающими переменными. В этом случае к уравнениям (9.3), (9.4) присоединяют алгебраические линейные уравнения
|
Y(0 = KX(/) + LU(0 |
(9.5) |
или |
Y(f) = КХ(/) + LU(/) + M F(/), |
(9.6) |
где |
Y(r) - вектор выходных переменных САУ, Y(/) = Ly,(/) j/2(0--уДОТ i |
|
|
К, L, М - стационарные матрицы соответственно размерностей (гхя), |
|
(rx/w), ( rxd) . |
|
Следует отметить, что приведенные уравнения (9.1)—(9.6) дают описа ние лишь объекта управления или разомкнутой системы, если вектор управ ления U(f) не является функцией координат состояния САУ. В замкнутых линейных САУ управление обычно формируют как линейную форму коор динат состояния и, в общем случае, возмущения САУ.
В качестве примера приведем векторно-матричное описание ранее рас сматриваемого электродвигателя постоянного тока как объекта регулирова ния по цепи якоря. Пусть выходной (регулируемой) координатой является скорость вращения двигателя. Полагая, что напряжение возбуждения Uв = const, а магнитный поток Ф = Фн, математическую модель электродви
гателя можно представить в виде:
^ L = l |
— (U |
- С |
t |
Ф |
© )-/ |
я |
|
dt Т |
f t |
х я |
|
|
и ' |
||
L |
Э |
|
|
|
|
|
da) |
1 |
Ф |
/ - м |
). |
(9.7) |
dt |
= — (с |
||||
J v м |
и |
* |
с/ |
|