книги / Теория автоматического управления. Линейные системы управления
.pdfНаблюдаемость системы можно определить и по структуре сигнально го графа системы - он должен иметь пути от каждой переменной состояния к выходной переменной.
Для объекта (9.19) выходной переменной является координатаy (t\ рав
ная переменной Х\(Г), а следовательно, матрица К имеет вид:
К = [l о о].
Условие наблюдаемости САУ (9.19) можно записать в виде:
к |
1 |
0 |
0‘ |
G = rank КА |
= rank 0 |
1 |
0 |
КА2 |
0 |
0 |
1 |
Система является наблюдаемой, поскольку ранг матрицы G полный и каждая переменная состояния вносит свой вклад в формирование выходной переменной у(/). Из рассмотрения графа системы (см. рис. 9.6) также следу ет, что от каждой координаты состояния имеются пути к выходной перемен ной, а значит, система полностью наблюдаема.
10. Синтез линейных непрерывны х САУ
10.L Общая постановка задачи синтеза
Под синтезом САУ понимают нахождение ее структуры и параметров, обеспечивающих заданное качество управления при известных входных воз действиях.
Понятие качества САУ, как уже отмечалось, связано с прямыми или косвенными количественными оценками качества функционирования систе мы во временной или частотной области (временем регулирования, перере гулированием, полосой пропускания, запасами устойчивости по амплитуде и фазе, интегральными квадратичными критериями качества и др.).
На практике задачу синтеза начинают с того, что задают структуру и параметры неизменяемой части САУ. К неизменяемой части САУ относят объект управления, включающий все технические средства, преобразующие управляющее воздействие в выходную координату (силовые преобразовате ли энергии, приводы, передаточные механизмы, управляющие органы и др.), а также датчики измеряемых координат, устройства преобразования и пере дачи информации от объекта к устройству управления.
На предварительном этапе синтеза выбирают элементы объекта управ ления из числа типовых (серийно выпускаемых) изделий, основываясь на основных условиях его функционирования (временных диаграммах, средних или предельных значениях мощности, момента, скорости, ускорения и т. п.).
Далее составляется математическая модель объекта управления в той или иной форме, причем учитываются лишь его доминирующие свойства. Если порядок линейного (линеаризованного) объекта управления превышает трех-пяти, его целесообразно разбить на ряд подобъектов или описать упро щенной моделью. При этом используют известные методы декомпозиции сложных объектов, разделения движения объекта на медленные и быстрые движения, методы подобия, эквивалентирования и т. п. Следует отметить, что большинство технических объектов хорошо изучено и их математиче ские модели с разной степенью детализации приведены в научнотехнической литературе [4, 5].
После определения неизменяемой части объекта управления переходят к синтезу структуры и параметров устройства управления. При этом исполь зуют несколько подходов.
Первый подход базируется на задании конкретной структуры устрой ства управления (структуры регулятора или корректирующего устройства - в случае одноконтурной системы). Как правило, задаются типовыми регулято рами класса “вход-выход” (например, пропорционально-интегральными) или простейшими корректирующими звеньями (например, реальными пропор- ционально-дифференцирующими). Корректирующие звенья обычно разме
щают последовательно с объектом управления (в прямом канале регулирова ния), однако в ряде случаев хороший эффект дает установка их в канале об ратной связи или на входе системы. Качество системы управления задают в виде требований к статической точности и оценок качества переходного процесса или частотных свойств САУ (см. гл. 8). Далее решается задача рас чета параметров устройства управления (параметрического синтеза), удовле творяющего требованиям к статике и динамике замкнутой САУ
Второй подход основывается на составлении структурной схемы сис темы управления без задания собственно структуры регуляторов: выбирается число контуров регулирования, их соподчиненность, расположение регуля торов в структуре устройства управления и др. В основе подхода избранные принципы управления и требования к статическим и динамическим показа телям системы. В частности, при синтезе систем управления роботами часто используют кинематическую развязку движений и принцип автономного управления координатами линейных и угловых перемещений схвата мани пулятора. При синтезе систем управления электроприводами доминирует принцип подчиненного регулирования координат (вложенных друг в друга контуров регулирования) и принцип последовательной коррекции динамиче ских свойств контуров. Таким образом, при таком подходе последовательно решаются задачи структурного и параметрического синтеза регуляторов.
Третий подход основан на синтезе оптимальных САУ в смысле задан ного критерия качества управления при заданных ограничениях на ресурсы управления. При таком подходе задается формальный критерий качества, например, интегральная квадратичная оценка (ИКО) и решается задача его минимизации или максимизации. Результат синтеза - структура и параметры устройства управления (регулятора - в одноконтурных системах), удовле творяющих требуемому критерию качества управления. Этот подход приме няется при синтезе САУ методом аналитического конструирования опти мальных регуляторов (АКОР), синтезе модальных регуляторов состояния, апериодических регуляторов состояния и т. п.
Системы управления, синтезированные на основе двух первых под ходов, часто называют системами со стабилизируемыми показателями ка чества управления. Системы управления, синтезированные на основе третьего подхода, называют системами с оптимизируемым показателем ка чества управления.
10.2. Типовые параметрически оптимизируемые регуляторы (корректирующие звенья) класса “вход-выход”
В качестве регуляторов технических систем управления применяются электронные, механические, гидравлические, электропневматические и дру гие регуляторы с той или иной динамической характеристикой, позволяю
щей скорректировать динамику замкнутой САУ. Независимо от технологического назначения регуляторов (регуляторы скорости, положения рабочего органа, давления, расхода, температуры и т. п.) все они подразделяются на 2 больших класса: параметрические регуляторы класса ‘Ъход-выход” и регу
ляторы состояния САУ.
В данном разделе рассматриваются типовые регуляторы 1-го класса. На функциональных схемах систем управления они обозначаются в виде элементов, отражающих их переходные характеристики, на структурных схемах - в виде динамических звеньев, отражающих их передаточные функ ции. В качестве примера на рис. 10.1 приведена функциональная и структур ная схема пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора.
Рис. 10.1. Функциональная (а) и структурная (б) схема пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора
Регуляторы класса “вход-выход” можно представить в виде усилитель ного звена - операционного усилителя (Л1), с двумя комплексными сопро тивлениями ZBXво входной цепи и в цепи обратной связи операционного усилителя (рис. 10.2).
Рис. 10.2. Регулятор класса “вход-выход”
на основе операционного усилителя
Математическую модель таких регуляторов чаще всего представляют либо в виде передаточной функции (структурной схемы), либо в виде диф ференциальных уравнений (переходной функции). Входной сигнал ЦЛУпред ставляет собой разность между задающим сигналом и сигналом обратной —вязи п0 регулируемой координате и пропорционален ошибке регулирова ния. Алгебраическое суммирование этих сигналов осуществляется на ин версном входе усилителя, а следовательно, выходной сигнал ЦйЫ операци онного усилителя будет противоположного знака.
Пренебрегая инверсией знака выходного сигнала регулятора, запишем его передаточную функцию:
ц7(р) = ^вых!/7) _ / 0(р) |
(10.1) |
|
UА р ) Z M ' |
||
|
Вкачестве комплексных сопротивлений ZBXи Z0 обычно применяют различные /?С-цепи, что позволяет получить регуляторы (корректирующие устройства) с различными структурами.
Втабл. 10.1 приведены принципиальные схемы, передаточные функ ции и переходные характеристики регуляторов класса “вход-выход” с типо выми структурами: пропорциональной (П), интегральной (И), дифференци альной (Д), пропорционально-интегральной (ПИ) и пропорционально- интегрально-дифференциальной (ГШД).
Помимо приведенных в табл. 10.1 регуляторов при построении систем управления применяют также пропорционально-дифференциальный (ПД)
регулятор, интегрально-интегрально-пропорциональный (И2П) регулятор и
ДР-
Передаточные функции ПИ- и ПИД-регуляторов часто представляют в виде изодромных звеньев соответственного 1-го и 2-го порядка:
|
|
|
( 10.2) |
передаточная функция ПИ-регулятора, |
|
||
где 7’из - |
постоянная времени изодромного звена первого порядка, |
|
|
Тиз = RQC0 (см. принципиальную схему ПИ-регулятора, табл. 10.1); |
|||
I V ( р ) |
= |
Р ^(^из2Р * 1) |
(10.3) |
ТиР
передаточная функция ПИДрегулятора,
где Гиз1, Тт2 - постоянные времени изодромного звена, Гиз1 = RQC0)
Т^2= Ru*CBX(см. принципиальную схему ПИД-регулятора, табл. 10.1).
ПИ-регулятор в компенсационных системах управления обеспечивает компенсацию одной большой постоянной времени объекта управления, а ПИД-регулятор - двух больших постоянных времени, осуществляется тем самым форсирование динамических процессов и улучшение динамики САУ.
Следует отметить, что на практике применяются более сложные схемы регуляторов, обеспечивающие ограничение полосы пропускания частот входного сигнала. Это осуществляется цепями внутренней или внешней кор рекции частотной характеристики операционных усилителей. Реальная по лоса пропускания даже пропорциональных регуляторов ограничивается сот нями герц или единицами килогерц. При этом дифференциальные регулято ры реализуют реальное дифференцирование входного сигнала, что позволяет повысить помехозащищенность системы управления.
Таблица 10.1
I
Типовые регуляторы класса “вход-выход”
Некоторые регуляторы могут содержать дополнительные цепи на стройки их параметров (подстроечные резисторы), позволяющие в некото рых пределах подстраивать параметры контура регулирования, устанавли вать допустимые уровни ограничения координат САУ, выполнять функции коррекции “дрейфа нуля” и защиты САУ при возникновении аварийных (не штатных) ситуаций.
Регуляторы включают, как правило, последовательно с объектом управления. Они призваны скорректировать динамику САУ с целью удовле творения требованиям к ее статическим и динамическим показателям. При синтезе САУ вместо понятия “регулятор” часто применяют понятие “коррек тирующее устройство” (“корректирующее звено”), включаемое последова тельно с объектом управления или в обратной связи по регулируемой коор динате.
В практических приложениях наибольшее распространение нашли корректирующие устройства, позволяющие варьировать и его полюсами, и его нулями [4]:
реальное пропорционально-дифференцирующее звено первого по
рядка |
|
|
|
w |
(р) = .к1 р +~ь1 |
(10.4) |
|
W^ |
P) |
(р + а) |
’ |
где а и |
b - |
соответственно полюс и нуль передаточной функции, причем |
при \а\ > |6| осуществляется коррекция системы с опережением по фазе,,при \Ь\ > \а\ - коррекция системы с отставанием по фазе; проблема параметричес кого синтеза корректирующих устройств сводится к определению парамет ров К, а, Ь\
- реальное пропорционально-дифференцирующее звено второго и бо лее высокого порядка
к Ц ( р +Ь)
Ку(Р) = - ^ --------------- . |
( 1 0 -5 ) |
И (Р + а,)
/=1
где aj, bj - соответственно полюса и нули корректирующего звена, выбо ром которых стремятся стабилизировать требуемые показатели качества скорректированной системы {т>1, я>1);
- апериодическое звено (фильтр) первого порядка
1
^ к у (Р) =
(Р + а)
применяемое как для фильтрации сигналов измерительного тракта, так и в качестве предшествующего фильтра (фильтра на входе замкнутой системы управления) [4].
10.3.Последовательная коррекция САУ частотными методами
Качество замкнутой САУ можно оценить по ее частотным характери стикам, таким как полоса пропускания, запас устойчивости по фазе, резо нансная частота и др. Чтобы удовлетворить заданным требованиям к качест ву системы, в нее вводят корректирующее устройство. Для его синтеза при меняют частотные характеристики в форме диаграммы Боде, диаграммы Никольса или корневой годограф [4]. При последовательной коррекции (наибо лее распространенный в практических приложениях случай) предпочтитель ным является применение диаграммы Боде, т. к. в этом случае частотная ха рактеристика скорректированной системы получается просто суммировани ем частотных характеристик исходной (нескорректированной) системы и корректирующего устройства (см. подраздел 8.2.3).
Рассмотрим корректирующее устройство с передаточной функцией (10.4). Его частотную характеристику можно записать в виде
__ /С(усо + b) _ (Kb/a)[j(($ /b) + 1] _ ^ку[у(^> kt) +1]
К у ( М = |
(усо + а) |
у(со/я) + 1 |
(Ю.7) |
Д от) + 1 |
|||
где т = 1/ а , к |
= а / Ь , К ку= К / к . |
|
Таким образом, для данной структуры корректирующего устройства необходимо выбрать 3 параметра: К, а, Ь или ККу, т , к.
Заметим, что коэффициент К совместно с коэффициентом передачи объекта управления определяет статическую точность системы, т. е. величи ну статической ошибки регулирования (см. выражения (4.6)-(4.9) и табл 4.1).
Коэффициент к определяет кратность отношения полюса к нулю кор ректирующего устройства. При к >1 корректирующее устройство будет об ладать опережением по фазе, при к <1 - отставанием по фазе.
10.3.1. Коррекция с опережением по фазе
На рис. 10.3 приведено расположение полюса и нуля на комплексной плоскости, а на рис. 10.4 - диаграмма Боде корректирующего устройства (10.4) с опережением по фазе.
Поскольку по модулю нуль меньше полюса, асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон +20 дБ/дек в области средних частот, т.е. при Ь < со < а . Фазо
вая характеристика в соответствие с (10.7) определяется уравнением |
|
ф(со) = arctg(к со т) - arctg( ш т ). |
(10.8) |
Фазовый сдвиг имеет максимальное значение на частоте со,,,, опреде ляемой как среднегеометрическое значений полюса и нуля, т. е.
(10.9)
/„, дБ
Рис. 10.3. Расположение полюса |
Рис. 10.4. Диаграмма Боде коррек- |
нуля корректирующего звена |
тирующего звена с опережением |
с опережением по фазе |
по фазе |
Значение максимального фазового сдвига можно рассчитать по форму
ле [4]
. к -1 |
(10.10) |
Ф т =arcsin—— |
|
к + 1 |
|
Заметим, что чем далее отстоит полюс от нуля, т. е. чем больше к, тем больше максимальное значение фазового сдвига, однако практически одно пассивное корректирующее звено с опережением позволяет получить ц>т не
более 70° Это связано, прежде всего, с возможностями практической реали зации таких корректирующих звеньев. На рис. 10.5 приведена схема пассив ного четырехполюсника, обеспечивающего опережение по фазе.
|
|
|
гЬ |
Рис. 10.5. Пассивный четырехполюсник, |
|
R\ Л |
|
обладающий опережением по фазе |
U\ |
l_j 2 |
|
|
|
||
|
|
о---------------1--------------- о |
|
Передаточная функция такого пассивного четырехполюсника |
|||
И'ку (Р) = |
(\/k)(kzp + \) |
|
(10.11) |
хр + 1 |
|
|
|
|
|
|
где т = - л,л1Л 2 -С, |
R\ + /?2 |
к = |
|
(Л ,+ л2) ' |
л2 |
Заметим, что выражение (10.11) совпадает с (10.7) с точностью до ко эффициента передачи. Практически реализуемое значение к находится в диапазоне 1.. .30, причем увеличение к, т. е. кратности отношения полюса к нулю, приводит к снижению коэффициента передачи четырехполюсника, что может потребовать установки дополнительного усилителя на выходе корректирующего устройства.
Гораздо большие возможности коррекции динамических свойств САУ предоставляют активные четырехполюсники на основе операционных уси лителей в интегральном исполнении. Это связано с тем, что коэффициент передачи современных операционных усилителей в разомкнутом состоянии достигает нескольких сотен тысяч и даже миллионов, а в линейной зоне ра боты, т. е. в режиме масштабирующего звена, может достигать сотен-тысяч. Принципиальная схема корректирующего звена 1-го порядка, обеспечиваю щего практически любой коэффициент передачи, а также реализующего ли бо опережение, либо отставание по фазе, приведена на рис. 10.6.
С,
Ri |
> А |
Рис. 10.6. Принципиальная схема |
|
корректирующего звена 1-го порядка |
|
|
|
на основе операционного усилителя |
Передаточная функция этого корректирующего звена полностью сов
падает с (10.7), т. е. |
|
|
_ K Ky(Tl p + \ ) _ K ty{kzp + l) |
( 10.12) |
|
ККУ(Р) = |
|
|
Т2р + \ |
Т /7 + 1 |
|
где Кку = Я2/ Rh Т\ =2?,С,, T2 = R2C2, т = 72, А = Т{ / Т2. |
|
|
Как и для пассивного четырехполюсника, такое корректирующее уст |
||
ройство при k >1 будет обладать опережением по фазе, при к < 1 - |
отстава |
нием по фазе, однако в отличие от него имеется возможность выбора незави симых друг от друга параметров т , к и К ^ причем практически в неограни ченных пределах.
Синтез корректирующего устройства с опережением фазы выполняют
вследующей последовательности:
1.Определить требуемый коэффициент ошибки в нескорректирован ной системе и вычислить необходимый коэффициент ККу корректирующего устройства.