εm = um − f ≠ 0,
распределенную в области Ω. Для подсчета моментов μk выбирается система взвешивающих функций ψk , k =1,m , с помощью которых невязка взвешивается в области Ω, и при этом требуется выполнение условия ортогональности
μk = ∫εmψk dΩ = 0, k =1,m
Ω
откуда следует |
|
∫( um − f )ψk dΩ = 0, k = |
|
. |
|
1,m |
(12.5) |
Ω |
|
Если система взвешивающих функций обладает свойством полноты, то из
ортогональности невязки εm ко всем функциям ψk следует, что εm →0.
m→∞
Если кроме этого система пробных функций ϕi(x) обладает свойством замкну-
тости, то имеет место сходимость |
|
|
|
u |
m |
− u |
|
|
|
→0 приближенного реше- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
ния um к точному решению u задачи (12.1).
Пусть пробные функции ϕi(x) выбраны так, что не удовлетворяют точно граничным условиям (12.2) и (12.3) на границах ГU и ГQ. Невязки
εU = um −U , x ΓU , εQ = Q − u′m,n , x ΓQ
взвешиваются на указанных границах области,
∫ |
′ |
′ |
∫ |
′ |
εU ψk ,n dΓ = ∫ |
(um −U )ψk ,n dΓ, |
εQψk dΓ = ∫(Q − um,n )ψk dΓ. |
ΓU |
ΓU |
|
ΓQ |
ΓQ |
Теперь, как и в предыдущем случае, можно потребовать выполнения усло-
вий ортогональности невязок εU и εQ соответствующим функциям: |
|
∫(um −U )ψ′k ,n dΓ = 0 , |
(12.6) |
ΓU |
|
|
|
′ |
|
∫ |
(Q − um,n )ψk dΓ = 0 |
(12.7) |
ΓQ |
|
|
и решать совместно систему уравнений (12.5)–(12.7) для поиска коэффициентов ai разложения (12.4) искомого решения. Однако целесообразно объединить соотношения (12.5) и (12.6), (12.7). Для дальнейших выкладок применяется теорема Грина1 [22]:
1 Грин Джордж [14.7.1793 – 31.3.1841] – английский математик и физик. Математику изучал самостоятельно, и поэтому лишь в 1837 году окончил Кембриджский университет.
∫ ξ ζdΩ + ∫ξ ζdΩ = ∫ξζ′n dΓ. |
(12.8) |
ΩΩ Γ
Первоначально полагается, |
что |
ξ = ψk , ζ = um , то есть выражение (12.8) |
принимает вид |
|
|
∫ ψk um dΩ + ∫ |
′ |
ψk um dΩ = ∫ψk um,n dΓ. |
Ω |
Ω |
Γ |
С учетом этого соотношение (12.5) преобразуется к выражению
∫ ψk um′,n dΓ + ∫ψk um′,n
ΓU ΓQ
Согласно (12.7)
∫ψk
ΓQ
um ψk dΩ − ∫ fψk dΩ = 0,
Ω
dΓ − ∫ um ψk dΩ − ∫ fψk dΩ = 0.
ΩΩ
um′ ,ndΓ = ∫Qψk dΓ,
ΓQ
откуда следует |
∫ |
∫ |
∫ |
(12.9) |
∫ |
′ |
|
ψk um,n dΓ + Qψk dΓ − um ψk dΩ − fψk dΩ = 0. |
|
ΓU |
|
ΓQ |
Ω |
Ω |
|
Основной результат выполненного преобразования заключается в понижении порядка производной искомой функции, входящей в получаемое соотношение. Иными словами, можно ослабить1 требования к пробным функциям,
а именно: требовать, чтобы ϕi C1 (Ω) вместо ϕi |
C 2 (Ω), как это требуется для |
решения уравнения (12.1). |
|
|
|
Полагая в выражении (12.8) ξ = um , |
ζ = ψk , |
|
|
∫ um ψk dΩ + ∫um ψk dΩ = ∫umψ′k ,n dΓ, |
|
Ω |
Ω |
|
Γ |
и подставляя полученное соотношение в (12.9), можно получить равенство |
∫ |
′ |
′ |
|
ψk dΩ − ∫ fψk dΩ = 0, |
ψk um,n dΓ + ∫Qψk dΓ − ∫umψk ,n dΓ + ∫um |
ΓU |
ΓQ |
Γ |
Ω |
Ω |
Ввел понятие и термин потенциал, развил теорию электричества и магнетизма. Выполнил работу по исследованию отражения и преломления света в кристаллических средах, в которой вывел основные уравнения теории упругости.
1 Полученное соотношение называют слабой формулировкой исходной задачи.
282
∫ψk u′m,n dΓ + ∫Qψk dΓ − ∫umψ′k ,n dΓ − ∫umψ′k ,n dΓ + ∫um ψk dΩ − ∫ fψk dΓ = 0.
|
ΓU |
|
ΓQ |
|
ΓU |
|
ΓQ |
|
Ω |
|
Ω |
|
|
Поскольку, согласно (12.6), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫umψ′k ,n dΓ = ∫Uψ′k ,ndΓ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
ΓU |
|
ΓU |
|
|
|
|
|
после преобразований получается уравнение |
∫ |
|
∫ |
|
(12.10) |
∫ |
′ |
∫ |
|
∫ |
′ |
∫ |
′ |
|
|
|
|
Qψk dΓ− |
|
|
|
ψk dΩ− fψk dΓ =0. |
|
|
ψk um,ndΓ+ |
|
|
Uψk,ndΓ− |
|
umψk,ndΓ+ um |
|
ΓU |
|
ΓQ |
|
ΓU |
|
ΓQ |
|
Ω |
|
Ω |
|
|
Следует обратить внимание, что в полученном выражении искомая функция вынесена из-под дифференциального оператора1. В то же время под знаком оператора Лапласа2 находятся взвешивающие функции, что ужесточает предъявляемые к ним требования.
Если взвешивающие функции удовлетворяют уравнению
ψk = 0, k =1,m ,
из выражения (12.10) следует соотношение, связывающие только граничные значения функции um и u′m,n – производной искомой функции по направлению
нормали к поверхности ΓU ,
∫ |
′ |
∫ |
′ |
∫ |
′ |
∫ |
∫ |
|
|
|
(12.11) |
|
|
|
|
|
k =1,m . |
|
|
ψk um,n dΓ − |
|
umψk ,n dΓ − |
|
Uψk ,n dΓ + Qψk dΓ = fψk dΩ, |
|
ΓU |
|
ΓQ |
|
ΓU |
|
ΓQ |
Ω |
|
|
|
|
Полученные соотношения являются основой граничных методов для решения уравнений в частных производных, например, метода граничных элементов, метода граничных интегральных уравнений, метода Треффца и ряда
1В этом случае полученное выражение носит название обратной формулировки задачи.
2Лаплас Пьер Симон [23.3.1749 – 5.3.1827] – французский астроном, математик, физик. Участвовал в реорганизации системы высшего образования во Франции, в создании Нормальной и Политехнической школ. В 1790 году был назначен председателем Палаты мер
ивесов, руководил введением метрической системы мер. В 1785 году избран членом Париж-
ской академии наук, в 1802 году – почетным членом Петербургской академии наук, в 1816 – членом Французской академии. Научное наследие относится к области небесной механики, математики и математической физики. Выполнены фундаментальные исследования в теории дифференциальных уравнений, интегрировании уравнений в частных производных. В теории вероятностей развил теорию ошибок и способ наименьших квадратов, позволяющие находить наиболее вероятные значения измеренных величин и степень достоверности этих расчетов.
других. На рис. 12.1 приведена схема классификации методов взвешенных невязок, предложенная в монографии [4].
Методы ( ϕi ≡ ψi ): |
|
|
|
Методы ( ϕi ≠ ψi ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Галеркина |
|
|
|
|
Прямая формулировка |
|
|
|
Моментов |
|
|
|
|
|
метода взвешенных невязок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Конечных разностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наименьшихквадратов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коллокаций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потоков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Галеркина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Слабая формулировка ме- |
|
|
|
|
|
Обобщенная слабая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тода взвешенных невязок |
|
|
|
|
|
формулировка |
Конечных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Треффца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратная формулировка |
|
|
|
|
Граничныхинтеграль- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метода взвешенных невя- |
|
|
|
|
ныхуравнений |
Граничных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12.1. Классификация методов взвешенных невязок |
12.1. Частные случаи метода моментов
Многие хорошо известные численные методы, используемые при решении задач математической физики, могут интерпретироваться как частные случаи метода моментов.
Рассматривается дифференциальное уравнение |
|
′′ |
(12.12) |
u (x)+ u(x) + x = 0 |
с граничными условиями |
|
u(0)= 0, u(1)= 0 , |
(12.13) |
имеющее точное решение (рис. 12.2) |
|
u(x) = sin(x) sin(1) − x. |
(12.14) |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
x |
|
Рис. 12.2. Точное решение задачи (12.12) с граничными |
|
|
|
|
|
условиями (12.13) |
|
|
|
|
С помощью различных численных методов отыскиваются приближенные решения этого уравнения в виде
um (x) = x(1 − x)(α0 + α1 x + α2 x2 +…),
удовлетворяющем граничным условиям (12.13). Для упрощения в этом разложении по степеням аргумента x удерживаются только два слагаемых:
u1(x) = x(1− x)(α0 + α1x). |
(12.15) |
Погрешность получаемого приближенного решения оценивается с помощью точного решения (12.14). Невязка, получаемая подстановкой приближенного решения (12.15) в уравнение (12.12) равна
′′ |
(x) + x = α0 |
(− x |
|
+ x − 2)+ α1 |
(− x |
|
+ x |
|
− 6x + 2)+ x . |
(12.16) |
ε1 (x) = u1 (x)+ u1 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с идеей метода моментов требуется равенство нулю взвешенной по всей области интегрирования невязки ε1:
1 |
|
|
|
∫ε1ψk dx = 0, k = |
|
, |
(12.17) |
0,m |
0 |
|
|
|
где ψk, – полная система взвешивающих функций, k = 0, 1, 2, …
12.1.1. Метод Галеркина
В качестве взвешивающих функций ψk выбирается последовательность полиномов 1, x, x2, … В соответствии с (12.17) получаются выражения:
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
∫ε11dx = α0 ∫(− x2 + x − 2)dx + α1 ∫(− x3 + x2 − 6x + 2)dx + ∫ xdx = 0, |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
∫ε(u2 )xdx = α0 ∫(− x2 + x −2)xdx +α1 ∫(− x3 + x2 −6x + 2)xdx + ∫ x2dx = 0. |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
Интегрирование приводит к системе двух алгебраических уравнений отно- |
сительно неизвестных коэффициентов α0 и α1: |
|
11α |
0 6 +11α1 12 =1 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 +19α |
|
20 =1 3. |
|
11α |
0 |
1 |
|
|
|
|
Решение |
этой системы: |
α0 =122 649 ≈ 0,1879, α1 =110 649 ≈ 0,1695. На |
рис. 12.3 показана погрешность Е = u1 − u |
|
решения, полученного методом мо- |
ментов, по сравнению с точным решением (12.14).
Рис. 12.3. Погрешность метода моментов
12.1.2. Метод коллокаций
В качестве взвешивающих функций ψk выбираются δ-функции1 Дирака:
ψ0 = δ(x − x0 ), ψ1 = δ(x − x1 ),
где x0 и x1 – произвольные точки отрезка [0, 1]. Подсчитываются выражения (12.17) для этого случая:
∫1 ε1δ(x − x0 )dx = ε(x0 )= 0,
0
1 Построение δ-функции и ее свойства обсуждаются в прил. 1.
∫1 ε1δ(x − x1 )dx = ε(x1 ) = 0.
0
Иными словами, в этом методе требуется удовлетворение невязки не в среднем по всей области интегрирования, а в конечном числе точек отрезка,
α |
0 |
(− x2 |
+ x |
0 |
− 2)+ α |
(− x3 |
+ x2 |
− 6x |
0 |
+ 2)+ x |
0 |
= 0, |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
α |
|
|
(− x2 |
+ x |
− 2) |
+ α |
(− x3 |
+ x2 |
− 6x |
+ 2)+ x |
|
= |
|
|
0 |
|
0. |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
Выбор в качестве таких точек x0 = 1/4 и x1 = 1/2 приводит к системе линей- |
ных алгебраических уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29α0 |
16 − 35α1 |
64 =1 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + 7α |
|
8 =1 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7α |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение этой системы:α0 = 6 31 ≈ 0,1935 |
и α1 = 40 217 ≈ 0,1843. На рис. 12.4 |
показана погрешность решения, полученного методом коллокаций.
Рис. 12.4. Погрешность метода коллокаций
12.1.3. Метод подобластей
Пусть рассматриваемая область разделена на m подобластей Ωk, которые могут перекрывать друг друга. Взвешивающие функции, которые в этом случае можно назвать индикаторными, определяются следующим образом:
1, |
x Ωk , |
|
|
|
ψk = |
x Ω |
. |
0, |
|
k |
|
Для задачи (12.12)–(12.13) в качестве таких подобластей выбираются Ω0 = [0,12] и Ω1 = [0,1]. Теперь соотношения (12.17) имеют вид
1 |
1 2 |
1 2 |
|
|
|
|
|
1 2 |
1 2 |
∫ε1ψ0dx = ∫ε1dx = α0 ∫(− x2 + x −2)dx +α1 ∫(− x3 + x2 −6x +2)dx + ∫xdx = 0, |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
∫ε1ψ1dx = ∫ε1dx = α0 |
∫(− x2 + x −2)xdx+α1 |
∫(− x3 + x2 −6x +2)xdx+∫x2dx = 0. |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
Интегрирование приводит к системе уравнений |
|
|
|
11α |
0 12 + 53α1 |
192 =1 8, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
+11α |
|
12 =1 2. |
|
|
|
11α |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение этих уравнений: |
α0 |
= 97 517 ≈ 0,1876 |
и α1 = 24 141 ≈ 0,1702 . На |
рис. 12.5 показана погрешность решения, полученного методом подобластей.
Рис. 12.5. Погрешность метода подобластей
12.1.4. Метод наименьших квадратов
Строится функционал
|
|
|
|
|
1 |
|
Φ1 = Φ(u1 )= ∫ε12 dx , |
|
|
|
|
|
0 |
|
минимум которого, равный |
|
нулю, |
достигается при ε1 ≡ 0 . Поскольку |
Φ1 = Φ(α0 ,α1 ), необходимые условия экстремума функционала, согласно тео- |
реме Лагранжа, представляются в виде |
|
|
|
∂Φ |
1 |
1 |
∂ε |
|
|
|
|
= 2∫ε1 |
1 |
dx = 0, |
∂α |
0 |
∂α |
0 |
|
0 |
|
|
∂Φ |
1 |
1 |
∂ε |
|
|
|
= 2∫ε1 |
1 |
dx = 0. |
∂α |
1 |
∂α |
1 |
|
0 |
|
|
Последнее выражение можно трактовать как вариант метода взвешенных невязок с весовыми функциями
ψ |
0 |
= |
∂ε |
, |
ψ |
1 |
= |
∂ε |
. |
∂α |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
∂α |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно разложению (12.15) определяются весовые функции
ψ0 = ∂∂αε0 = −x2 + x − 2 , ψ1 = ∂∂αε1 = −x3 + x2 − 6x + 2.
Всоответствии с (12.17) строятся выражения
|
1 |
|
1 |
|
|
|
∫ε2ψ0dx = α0 ∫(− x2 + x − 2)2 dx + |
|
0 |
|
0 |
|
|
+ α1 ∫1 (− x3 + x2 − 6x + 2)(− x2 + x − 2)dx + ∫1 x(− x2 + x − 2)dx = 0, |
0 |
|
|
|
|
0 |
∫1 ε2ψ1dx = α0 ∫1 (− x2 + x − 2)(− x3 + x2 − 6x + 2)dx + |
0 |
0 |
|
|
|
|
+ α1 ∫1 (− x3 + x2 − 6x + 2)2 dx + ∫1 x(− x3 + x2 − 6x + 2)dx = 0 . |
0 |
|
|
0 |
|
|
Интегрирование приводит к системе линейных алгебраических уравнений |
|
101α |
0 |
30 +101α1 |
60 =11 12, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 +131α |
|
35 =19 20, |
|
101α |
0 |
1 |
|
|
|
|
решение которой |
α0 = 46161 246137 ≈ 0,1875 и α1 = 413 2437 ≈ 0,1695. На |
рис. 12.6 показана погрешность приближенного решения, полученного методом наименьших квадратов.
Рис. 12.6. Погрешность метода наименьших квадратов
12.1.5. Метод конечных разностей
В соответствии с идеей метода конечных разностей строится локальная аппроксимация решения (для трех соседних узлов разностной сетки с номерами i, j и k соответственно) в виде
um = uiϕi +u jϕj +uk ϕk ,
где
ϕi = 2(x − xk )(x − x j )h2 , ϕk = − 4(x − xi )(x − x j )h2 , ϕj = 2(x − xi )(x − xk )h2
– квадратичные функции, принимающие значения 1 в своем (одноименном) узле и 0 в соседних узлах. Невязка дифференциального уравнения (12.12) на таком приближении решения для всего отрезка [xi, xj] длиной h имеет вид
εm = um′′ + um + x = [4ui h2 −8uk h2 + 4u j h2 ]+ [uiϕi + u j ϕj + uk ϕk ]+ x .
В качестве взвешивающей выбирается δ-функция Дирака, ψ = δ(x − xk ). Тогда выражение (12.17) метода взвешенных невязок приводится к виду
1
∫εmδ(x − xk )dx = εm (xk )= 4[ui − 2uk + u j ]h2 + uk + xk = 0,
0
ui − 2uk + u j + u + x = 0,
( x)2 k k
290