mu_po_oformleniyu_mat_razdela_k_i_dp

21

3. Введем рабочее множество P = {pi,jmin} объемов груза, поставляемого от поставщиков заказчикам при минимальной стоимости транспортировки. Множество (список) Р и есть начальный план перевозок, который в дальнейшем можно оптимизировать. Исходные значения перевозок: (i [1,m]) (j [1,n])

( pij = 0).

4. Вычислим суммарное количество запасов и заказов:

5. Цикл пока (sa > 0) (sb > 0) не все запасы распределены и не все потребности удовлетворены:

5.1.Цикл i = 1..m по поставщикам:

5.1.1.Цикл пока tai > 0 – у i-того поставщика есть запас:

Расчет потенциалов. В процессе решения после каждой итерации проверяется количество k загруженных клеток в таблице перевозок P:

k = 0; (i [1..m]) (j [1..n])(pi,j > 0) k := k + 1, т.е. для всех i от 1

до m и j от 1 до n, если pi,j > 0, то увеличить k на 1.

Если k m + n – 1, то план называется вырожденным и дальнейший расчет не возможен.

Потенциалы – это вспомогательные переменные, вводимые для проверки оптимальности плана.

Расчет потенциалов выполняют по загруженным клеткам, для которых должно выполняться следующее равенство:

i j cij ,

где i - потенциал i-того поставщика, j - потенциал j-того заказчика.

Алгоритм расчета потенциалов заключается в следующем:

za1 = 1 – флажок потенциала первого поставщика;

k = 0 – количество загруженных клеток в плане перевозок.

6. Цикл пока k m + n.

6.1. Потенциал заказчика равняется стоимости первой перевозки к нему, уменьшенной на потенциал поставщика, если между ними есть перевозка и потенциал заказчика не вычислен и потенциал поставщика вы-

Проверка плана на оптимальность. План считается оптимальным, если во всех его незагруженных клетках (в которых перевозки отсутствуют) выпол-

23

Эту клетку необходимо загрузить за счет перераспределения ресурсов из других загруженных клеток. Клетку в таблице помечаем знаком "+", так как здесь в начальном плане находится вершина максимальной неоптимальности:

Составление контура перераспределения ресурсов. Контур перерас-

пределения представляет собой многоугольник со сторонами, параллельными строкам и столбцам матрицы, и удовлетворяет следующим правилам:

1)все углы контура прямые;

2)в каждой вершине контура встречаются только два звена;

3)число вершин контура четное;

4)все вершины лежат на загруженных клетках, кроме клетки максимальной неоптимальности;

5)в каждой строке (столбце) матрицы имеются только две вершины: одна

-загружаемая, другая – разгружаемая.

Контур перераспределения ресурсов (КПР):

KR = {krk}, k [1,l], kr = <uik, ujk>,

где uik – i-координата k-той вершины контура; ujk – j-координата k-той вершины контура.

Введем функцию

true, если в i той строке и в j том столбце есть хотя бы ALL(i, j) одна загруженная клетка, кроме pij

false, иначе.

Алгоритм построения контура перераспределения ресурсов (КПР):

1. Введем рабочее множество TP = {tpij}, i [1,m], j [1,n], элементы которого в исходном состоянии совпадают с элементами множества P перевозок:

(i [1,m]) (j [1,n]) ( tpij = pij).

2.Установим Flag=false – флаг, сигнализирующий, что в таблице остались только вершины КПР.

3.Цикл пока Flag=false – для исключения перевозок, которые не могут быть перераспределены:

3.1.Переустановка Flag=true.

3.2.Обнуление перевозок, которые не могут быть перераспределены вдоль своей строки или столбца:

(i [1,m]) (j [1,n]) (tpij > 0) (ALL(i,j) = false) (tpij = 0) (Flag=false).

4. Первая вершина КПР совпадает с элементом максимальной неопределенности

k = 1; ui1 = im; uj1 = jm.

ла.

5.1.Увеличиваем индекс вершины КПР: k := k +1.

5.2.Если k – четное

то смещение вдоль строки i = uik-1, uik = i,

6. Длина контура перераспределения l = k 1.

Поиск минимального элемента в контуре перераспределения. Пере-

распределение ресурсов по контуру осуществляется с целью получения оптимального плана. В процессе перераспределения ресурсов по контуру в соответствии с условием неотрицательности переменных х, ни одно из этих значений не должно превратиться в отрицательное число. Поэтому анализируют только разгружаемые клетки, из которых выбирают клетку с минимальным объемом перевозок (минимальный элемент в контуре):

MINEL = tpui1,uj1 ;

Перераспределение ресурсов по контуру производится очень просто:

при движении по столбцу от имеющихся компонентов плана надо отнимать минимальный элемент в контуре, а при движении по строке наоборот, прибавлять минимальный элемент в контуре:

где функция Sign(k)

1, если k четное, 1, иначе.

5.3. Описание контрольного примера

Для описания контрольного примера возьмем процесс построения оптимального плана поставки продукции, выполняемый нашей программой и проведем его вручную.

Фирма имеет 3 склада на которых хранится картофель. С этой фирмой заключили договор на поставку картофеля 4 крупных магазина. Первому магазину необходимо 10 тонн картофеля, второму – 30, третьему – 70, четвертому – 30. На первом складе фирмы хранится 20 тонн картофеля, на втором – 40 тонн, на третьем 80 тонн. Необходимо получать оптимальный план поставки картофеля потребителям. Так же на основе статистических исследований известна стоимость доставки (в сот. руб.) из каждого склада в каждый магазин. Итак, мы имеем начальные данные, которые представлены в таблице 4.

27

Далее приведен метод решения задачи в аналитической форме и в алгоритмической.

6.1. Аналитическая форма представления метода

Искомое значение максимальной площади S окружности, которая лежит внутри четырехугольника ABCD, можно получить в результате ряда экспериментов:

Пусть вершины треугольника Tr имеют координаты (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3). Значение функции Inside (t, Tr), характеризующее принадлежность точки t треугольнику Tr, определяется как истинность равенства площади Tr сумме площадей трех треугольников, образованных точкой t и каждой из трех сторон Tr

(рис. 6.3):

1, если Square (Tr) = Square (t, (x1, y1), (x2, y2)) +

где Square (Tri) – функция, возвращающая площадь треугольника Tri = (pt1, pt2, pt3), pt1, pt2, pt3 T:

Square (Tri) = p p a p b p c .

29

Проверим выпуклость четырехугольника Q. Один из критериев выпуклости многоугольника – одинаковый знак определителей всех пар его смежных сторон. Основываясь на этом свойстве, рассмотрим возможные значения суммы этих определителей

где (xA, yA), (xB, yB), (xC, yC), (xD, yD) – координаты точек A, B, C и D соответственно.

Выпуклый четырехугольник (| | = 4). Случаю выпуклости четырех-

угольника Q соответствует значение | | = 4 (все определители (6.2) имеют одинаковый знак).

Для выпуклого четырехугольника внутренняя окружность максимального радиуса касается минимум трех его сторон (рис. 6.4). Следовательно, центр такой окружности лежит на пересечении биссектрис двух углов, имеющих общую сторону. Радиус окружности с центром в этой точке определяется как минимальное из расстояний от этой точки до каждой из сторон.

где Mij – точка пересечения биссектрис углов ui и uj четырехугольника Q, та-

кая, что Inside(Mij, Q) = 1;

qp – вершины четырехугольника Q = (A, B, C, D), p = 1, …, 4;

xpt, ypt – координаты точки pt T, xpt, ypt .

Уравнение биссектрисы угла, образованного поворотом прямой, заданной нор-

На рис. 6.4 представлен пример построения внутренней окружности максимального радиуса при i = 1, j = 2.

30

Рис. 6.4

Четырехугольник с самопересечением (| | = 0). Случаю четырехуголь-

ника с самопересечением (рис. 6.5) соответствует значение | | = 0 (два определителя (6.2) положительны, два – отрицательны).

Рис. 6.5

Назовем такое натуральное число из множества {1, 2}, что