234 Глава 10 Примеры
Задачитеорииупругости
Stres1: Перфорированная пластина
Тонкая прямоугольная пластина с круглым отверстием посередине, нагруженная растягивающим усилием.
Тип задачи:
Расчет плоско-напряженного состояния.
Геометрия пластины:
Длина: 240 мм; Ширина: 180 мм;
Радиус центрального отверстия: 30 мм; Толщина: 5 мм.
180 |
R30 |
Модель |
Дано: |
Модуль Юнга E = 207000 Н/мм2; Коэффициент Пуассона ν = 0.3.
Равномерное растягивающее усилие (40 Н/мм2) приложено к нижней стороне пластины.
Задачи теории упругости |
235 |
Задача:
Рассчитать коэффициент концентрации напряжения, обусловленный центральным отверстием.
Решение:
Поскольку задача полностью симметрична относительно осей x и y, в модели представлена только нижняя правая четверть пластины. Отсутствующие части пластины замещены граничными условиями закрепления границ разреза в направлениях X и Y соответственно.
Коэффициент концентрации напряжений можно вычислить исходя из приложенной нагрузки (40 Н/мм2) и максимального рассчитанного напряжения
(146 Н/мм2) как
k = 146 / 40 = 3.65.
См. задачу Stres1.pbm в папке Examples.
236 Глава 10 Примеры
Связанныезадачи
Coupl1: Механическое напряженное состояние длинного соленоида
Весьма длинный толстостенный цилиндрический соленоид равномерно обтекается током в окружном направлении. Требуется определить интенсивность магнитного поля и механических напряжений, обусловленных магнитными силами.
Тип задачи:
Осесимметричная совмещенная магнито-упругая задача.
Геометрия:
Дано:
Размеры катушки Ri = 1 см, Ro = 2 см;
Относительная магнитная проницаемость воздуха и катушки µ = 1; Плотность тока в катушке j = 1·105 A/м2;
Модуль Юнга E = 1.075·1011 Н/м2; Коэффициент Пуассона ν = 0.33.
Задача:
Рассчитать распределение магнитного поля и механических напряжений в катушке.
Связанные задачи |
237 |
Решение:
Поскольку никакие физические величины не зависят от координаты z, задача является одномерной, и мы можем в качестве модели выбрать тонкий срез соленоида. Установим произвольно осевую длину соленоида равной 0.2 см. Пренебрежем внешним полем соленоида и положим радиальную компоненту индукции на внешней поверхности катушки равной нулю. Механическое смещение в осевом направлении на боковых сторонах катушки также следует положить равным нулю, чтобы отразить влияние отброшенных бесконечных частей катушки.
Сравнение результатов:
Рассмотрим осевую составляющую магнитной индукции и напряжение сжатия в тангенциальном направлении на радиусе r = 1.3 см:
|
B (Tл) |
σ |
θ |
(Н/м2) |
|
z |
|
|
|
Источник |
8.796·10-3 |
|
97.407 |
|
|
|
|
|
|
ELCUT |
8.798·10-3 |
|
96.71 |
|
|
|
|
|
|
Источник:
F. A. Moon, "Magneto-Solid Mechanics", John Wiley & Sons, N.Y., 1984, Chapter 4.
См. задачи Coupl1MS.pbm и Coupl1SA.pbm в папке Examples соответствующие магнитной и прочностной частям этой задачи.
Смотрите раздел Учебник в файле помощи для получения пошаговых инструкций по созданию и решению этого примера.
238 Глава 10 Примеры
Coupl2: Полый толстостенный цилиндр, подвергнутый нагреву и давлению
Весьма длинный толстостенный цилиндр нагружен давлением изнутри. Кроме того, на его внутренней поверхности поддерживается постоянная температура Ti, а на наружной поверхности To Необходимо рассчитать распределение механических напряжений в цилиндре.
Тип задачи:
Осесимметричная совмещенная термо-упругая задача.
Геометрия:
Дано:
Размеры катушки Ri = 1 см, Ro = 2 cм; Температура внутренней поверхности Ti = 100°C; Температура наружной поверхности To = 0°C;
Коэффициент температурного расширения α = 1·10−6 1/K;
Давление во внутренней полости P = 1 106 Н/м2; Модуль Юнга E = 3 1011 Н/м2;
Коэффициент Пуассона ν = 0.3.
Задача:
Найти распределение механических напряжений в цилиндре.
Решение:
Поскольку никакие физические величины не зависят от координаты z, задача является одномерной, и мы можем в качестве модели выбрать тонкий срез
Связанные задачи |
239 |
цилиндра. Установим произвольно осевую длину цилиндра равной 0.2 см. Осевое смещение на боковых сторонах цилиндра положим равным нулю, чтобы отразить влияние отброшенных бесконечных частей цилиндра.
Сравнение результатов:
Радиальная и |
окружная составляющие тензора напряжений на радиусе |
||||
r = 1.2875 cм: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σr (Н/м2) |
σθ (Н/м2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теория |
|
−3.9834 106 |
−5.9247 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ELCUT |
|
−3.959 106 |
−5.924 106 |
|
|
|
|
|
|
|
Источник:
S. P. Timoshenko and Goodier, "Theory of Elasticity", McGraw-Hill Book Co., N.Y., 1961, pp. 448-449.
См. задачи Coupl2HT.pbm и Coupl2SA.pbm в папке Examples, соответствующие температурной и прочностной частям этой задачи.