Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Ижевский государственный технический университет"

Методические указания к выполнению лабораторной работы

по дисциплине "Вычислительная математика"

на тему "Метод Гаусса"

(теория и варианты заданий) для студентов специальностей

230102, 230104, Направления 230100

Форма обучения очная и заочная

Ижевск 2009

Рецензент:

Исенбаева Е.Н. Методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Вычислительная математика» на тему «Метод Гаусса» (теория и варианты заданий).- Ижевск: Издательство ИжГТУ, 2009 г.-24с.

В методических указаниях приведено описание метода Гаусса. Описан алгоритм получения и уточнения корней системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), вычисления определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента. Рассмотрен вопрос анализа чувствительности СЛАУ к погрешностям входных данных. Приведены примеры реализации указанных алгоритмов. Методические указания содержат варианты заданий на лабораторную работу.

Рекомендовано к изданию на заседании кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления» ИжГТУ (протокол №6 от 23.10.2009).

Учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной формы обучения специальностей 230102, 230104, направления 230100.

© Исенбаева Е.Н., составление,2009

© Издательство ИжГТУ,2009

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 23

ВВЕДЕНИЕ

Данные методического указания предназначены для использования студентами при выполнении лабораторной работы на тему «Метод Гаусса. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Нахождение обратной матрицы» В пособии дается описание метода Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента. Описан алгоритм получения и уточнения корней, а также алгоритм вычисления определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса. Изучен вопрос анализа чувствительности СЛАУ к погрешностям входных данных. Описан алгоритм расчета показателя чувствительности систем линейных уравнений - condA. Все алгоритмы реализованы на конкретных примерах.

В работе приведены варианты заданий на лабораторную работу.

Выполняя данную работу, студент должен научиться решать задачи линейной алгебры и применять полученные навыки при выполнении курсовых работ и дипломной работы.

1. Общая характеристика методов решения линейных алгебраических задач

К линейным алгебраическим задачам относятся задача решения СЛАУ, вычисление определителей, обращение матриц, задачи на собственные значения. Методы решения линейных алгебраических задач можно разбить на две группы:

1. прямые методы – методы, приводящие к решению за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то и решение будет точным. Поэтому другое название этой группы методов – точные методы. К прямым методам относятся метод Гаусса и его модификации, метод Крамера, метод LU-разложения и др.

2. итерационные методы – методы, в которых решение может быть получено с заданной точностью путем бесконечного повторения единообразных действий. К итерационным (приближенным) методам относятся метод простых итераций, метод Зейделя, метод релаксации, Шульца.

Метод Крамера неприемлем для решения СЛАУ большой размерности. Количество арифметических операций (т.е. арифметическая сложность) метода Крамера пропорционально (- размерность системы). При=20 арифметическая сложность оценивается величинойопераций. При существующем быстродействии ЭВМ результат в обозримом будущем мы получить не сможем. Столь большое число операций порождает вторую принципиальную трудность: накопленная от каждой операции вычислительная погрешность дает такой конечный результат, что он часто бывает очень далеким от истинного решения.

Метод Гаусса оказывается гораздо более экономичным. Алгоритмическая сложность этого метода имеет порядок ³.

В настоящее время точные методы обычно используются для решения СЛАУ, порядок которых не превышает 10³. Для решения СЛАУ большей размерности используют итерационные методы.

В данном методическом пособии рассматривается прямой метод решения – метод Гаусса и его модификация – метод Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента.