2.2. Логика высказывани и предикатов.

Логическое высказывание – связанное повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно (На улице идёт дождь – высказывание, какая хорошая погода – не высказывание). В логике высказываний нас интересует не содержание, а истинностное значение высказываний (0 – Ложь, 1 – Истина).

Высказывания А и В равносильны тогда и только тогда, когда истинностные значения А и В совпадают ().

Основные операции над логическими высказываниями: (см. вопрос 2.1).

Логика предикатов –логическая система, средствами которой можно исследовать структуру высказываний.

Предикат – свойство объекта (отношения между объектами). Быть чётным, быть простым, делиться, быть больше.

– унарный.

– бинарный.

– трёхместный.

Предикат – функция, высказывательные переменные которой принимают значения из некоторого множества , а сама функция принимает значения {0; 1}.

Для задания предиката должно быть задано:

1. Область определения , состоящая из множества предметных переменных.

2. Множество – область значений предиката.

3. Правило, по которому каждому элементу из множества ставится в соответствие элемент из множества .

Способы задания предиката.

1. Графический.

2. Табличный

   	1	2	4	5
   	1	0	0	0

3. Словесный

Предикат выполняется при и не выполняется во всех остальных точках x области определения и не выполняется при n = 2,4,5.

4. Формульный (аналитический).

В логике предикатов для образования предложений можно использовать те же логические операции, что и в логике высказываний, т.е. дизъюнкцию, конъюнкцию, эквиваленцию, в результате получаются новые предикаты.

Кванторы.

1. Квантор общности. . Пусть –некоторый предикат, под выражением будем подразумевать высказывание, истинное когда истина для любого из множества и ложное в противоположном случае.

2. Квантор существования. . Пусть –некоторый предикат, под выражением будем подразумевать высказывание, истинное когдасуществует элемент из множества , для которого истинно и ложное в противоположном случае.. Существует такое x, которое кратно 2 и кратно 3.

Операции, уменьшающие местность предиката.

1. Фиксация значений переменной.

2. Операция связывания квантором

Обобщение логических операций с помощью квантора.

Пусть – одноместный предикат, который определён на конечном множестве . . Квантор общности определяет операцию конъюнкция.

Квантор существования обобщает операцию дизъюнкция.

Основные равносильности алгебры предикатов, содержащие кванторы.

1. Законы де Моргана., (перенос отрицания).

2. Перестановка одноимённых кванторов (коммунитативные законы). , .

3. Дистрибутивные законы. ,

4. Законы ограничения действия кванторов , , , .

Все законы, которые работают в алгебре высказываний, переносятся в алгебру предикатов.

3. ИНТУИТИВНОЕ И ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГОРИТМА.

Алгоритм – эффективная процедура, однозначно приводящая к результату.

Основные требования к алгоритму: 1. Каждый алгоритм должен иметь данные: входные, выходные и промежуточные; 2. Данные для своего размещения требуют внутреннюю и внешнюю память; 3. Алгоритм состоит из отдельных элементарных шагов количество, которое конечное; 4. Последовательность шагов алгоритма детерминировано, то есть после каждого шага либо указывается какой шаг делать дальше либо дается команда остановки; 5. Результативность – остановка после конечного числа шагов с указанием того что считать результатом.

Алгоритмическая модель – формализация понятия алгоритма. Она является универсальной, то есть допускается описание любых алгоритмов. Выделяют 3 основных типа алгоритмической модели:1. Рекурсивные функции – вычисление и числовые функции; 2. Машина Тьюринга – прообраз современной ЭВМ. В основе лежит представление, а в алгоритме как в некотором детерминированном устройстве способном выполнять в каждый отдельный момент времени лишь примитивные операции; 3. Каноническая система Поста и нормальные алгоритмы Маркова. Преобразование слов в произвольных алфавитах в кот. элементарные операции это подстановки, то есть замены части слова другим словом.

Машина Тьюринга представляет собой автомат, с конечным числом состояний, соединенный с внешней памятью – лентой, разбитой на ячейки, в каждой из которых записан один из символов конечного алфавита  А= { a1, ... am}. Автомат связан с лентой с помощью головки, которая в каждый момент времени обозревает одну ячейку ленты, и в зависимости от символа в этой ячейке и состояния управляющего устройства записывает в ячейку символ (совпадающий с прежним или пустой), сдвигается на ячейку вправо или влево или остается на месте. Среди состояний управляющего устройства выделим начальное состояние q1  и заключительное состояние qz. В начальном состоянии машина находится перед началом работы. Попав в заключительное состояние, машина останавливается.  Т.о. память машины Т – это конечное множество состояний (внутренняя память) и лента (внешняя память). Лента бесконечна в обе стороны, однако в любой момент времени лишь конечный отрезок ленты будет заполнен символами. Поэтому важна не фактическая бесконечность ленты, а ее неограниченность, т.е. возможность писать на ней сколь угодно длинные, но конечные слова.

Данные в машине Т – это слова в алфавите ленты; на ленте записываются и исходные данные и окончательные результаты. Элементарные шаги – это считывание и запись символов, сдвиг головки на ячейку влево или вправо, а также переход управляющего устройства в следующее состояние.

Детерминированность машины Т определяется следующим образом: для любого внутреннего состояния qi и символа aj  однозначно заданы

а) следующее состояние qi`

б) символ aj`, который надо записать в ту же ячейку вместо aj (стирание – это запись пустого символа )

в) направление сдвига головки dk (L – влево, R – вправо, E – на месте).

Это задание может описываться либо системой правил

                         qi aj    qi` aj` dk

либо таблицей, строкам которой соответствуют состояния, столбцам – входные символы, а на пересечении записана тройка символов qi` aj` dk.

либо блок-схемой (диаграммой переходов), в которой состояниям соответствуют вершины, а правилу  вида (qi aj    qi` aj` dk) – ребро, ведущее из                 qi  в qi` .

3. ТЕОРИЯ СЛОЖНОСТИ В ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ.

Алгоритм имеет сложность O(f(n)), если при увеличении размерности входных данных N, время выполнения алгоритма возрастает с той же скоростью, что и функция f(N).

функции, которые чаще всего используются для вычисления сложности. Функции перечислены в порядке возрастания сложности. Чем выше в этом списке находится функция, тем быстрее будет выполняться алгоритм с такой оценкой. 1. C – константа 2. log(log(N)) 3. log(N) 4. N^C, 0<C<1 5. N 6. N*log(N) 7. N^C, C>1 8. C^N, C>1 9. N! Самый трудоемкий. Если мы хотим оценить сложность алгоритма, уравнение сложности которого содержит несколько этих функций, то уравнение можно сократить до функции, расположенной ниже в таблице. Например, O(log(N)+N!)=O(N!). Если алгоритм вызывается редко и для небольших объёмов данных, то приемлемой можно считать сложность O(N^2), если же алгоритм работает в реальном времени, то не всегда достаточно производительности O(N). Обычно алгоритмы со сложностью N*log(N) работают с хорошей скоростью. Алгоритмы со сложностью N^C можно использовать только при небольших значениях C. Вычислительная сложность алгоритмов, порядок которых определяется функциями C^N и N! очень велика, поэтому такие алгоритмы могут использоваться только для обработки небольшого объёма данных.

Классы сложности.

1. Класс P – задачи, которые могут быть решены за время, полиномиально зависящее от объёма исходных данных, с помощью детерминированной вычислительной машины (например, машины Тьюринга),

2. Класс NP — задачи, которые могут быть решены за полиномиально выраженное время с помощью недетерминированной вычислительной машины, то есть машины, следующее состояние которой не всегда однозначно определяется предыдущими. К классу NP относятся задачи, решение которых с помощью дополнительной информации полиномиальной длины, данной нам свыше, мы можем проверить за полиномиальное время. В частности, к классу NP относятся все задачи, решение которых можно проверить за полиномиальное время. Класс P содержится в классе NP. Классическим примером NP-задачи является задача о коммивояжёре.

Работу такой машины можно представить как разветвляющийся на каждой неоднозначности процесс: задача считается решённой, если хотя бы одна ветвь процесса пришла к ответу.

Поскольку класс P содержится в классе NP, принадлежность той или иной задачи к классу NP зачастую отражает наше текущее представление о способах решения данной задачи и носит неокончательный характер. В общем случае нет оснований полагать, что для той или иной NP-задачи не может быть найдено P-решение. Вопрос о возможной эквивалентности классов P и NP (то есть о возможности нахождения P-решения для любой NP-задачи) считается многими одним из основных вопросов современной теории сложности алгоритмов. Ответа на этот вопрос нет. Сама постановка вопроса об эквивалентности классов P и NP возможна благодаря введению понятия NP-полных задач. NP-полные задачи составляют подмножество NP-задач и отличаются тем свойством, что все NP-задачи могут быть тем или иным способом сведены к ним. Из этого следует, что если для NP-полной задачи будет найдено P-решение, то P-решение будет найдено для всех задач класса NP. Примером NP-полной задачи является задача о конъюнктивной форме.