Дискретка_Экзамен_Ответы / комб / 2 Размещения
.docx2.5. Размещения
Размещением n-элементного множества по k местам называется расположенные в определенном порядке элементы k-элементного подмножества n-элементного множества. Количество мест не превышает количества элементов в множестве.
Теорема 2.3. Количество всех различных размещений n-элементного множества М по k местам определяется формулой
.
Доказательство. Размещение можно представить последовательностью из k мест. Для того чтобы получить одно размещение, нужно выполнить одно за другим k действий: заполнить 1-ое место в последовательности, 2-ое место и так до k-го места. Для выполнения 1-го действия (заполнения 1-го места) можно взять любой элемент из множества М и поставить его на 1-ое место, т.е. его можно выполнить n-способами, и после этого в множестве М останется n-1 элемент. Для выполнения 2-го действия (заполнения 2-го места) можно взять любой элемент из оставшихся в множестве М и поставить его на 2-ое место, т.е. его можно выполнить n-1-способами, и после этого в множестве М останется n-2 элемента и т.д. до k-го места. По правилу произведения все k действий могут быть выполнены
способами, следовательно, количество всех различных размещений n-элементного множества М по k местам равно .
Алгоритм 2.3 порождения размещений n-элементного множества по k местам.
Вход: М – множество, элементы которого можно поставить на i-ое место;
i – заполняемое место в последовательности Р.
Выход: последовательность всех размещений n-элементного множества по k местам.
Глобальные параметры: А – формируемое размещение;
n – мощность множества;
k – количество мест.
Размещение(М,i)
xМ
Ai := x
i=k
+
Конец
A
Размещение(М-{x},i+1)
Рис.2.7. Рекурсивный алгоритм порождения размещений
n-элементного множества по k местам
Пусть задано множество {1,2,3,4} и требуется получить все его размещения по двум местам.
множество
{3,4}
размещение
2 (1,2)
множество множество
{2,3,4} 3 {2,4}
размещение размещение
(1,?) (1,3)
4
множество
{3,4}
размещение
(1,4)
1
множество
{3,4}
размещение
6 (2,1)
множество множество
{1,3,4} 7 {1,4}
размещение размещение
(2,?) (2,3)
8
5 множество
{1,3}
множество размещение
{1,2,3,4} (2,4)
размещение
(?,?) множество
9 {2,4}
размещение
10 (3,1)
множество множество
{1,2,4} 11 {1,4}
размещение размещение
(3,?) (3,2)
13 12
множество
{1,2}
размещение
(3,4)
множество
{2,3}
размещение
14 (4,1)
множество множество
{1,2,3} 15 {1,3}
размещение размещение
(4,?) (4,2)
16
множество
{1,2}
размещение
(4,3)
Рис.2.8. Схема получения всех размещений по алгоритму 2.3